2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上冊(cè)月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（一）附解析

2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝1，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知隨機(jī)變量ξ～B（n，p），若E（ξ）＝2，D（ξ）＝1，則P（ξ＝2）＝（）A．18 B．14 C．383．已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)P（1，t）滿足|PF|＝2，則拋物線方程為（）A．y2=14x B．y2=12x C．4．已知向量a→，b→滿足|a→|=1，|A．1 B．2 C．3 D．25．已知一個(gè)圓錐的體積為3πA．2π B．3π C．?3π 6．已知a=53，b=3A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a7．已知函數(shù)f(x)=acos2x+1?a2sin2x(0＜a≤1)的圖象關(guān)于直線x=π12對(duì)稱，若方程f（x）＝m（m∈A．[12，1) B．[22，1)8．定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(12，12)對(duì)稱，且滿足f(x)=12f(5x)，f(0)=0，當(dāng)0≤x1＜x2≤1時(shí)，都有f（xA．1256 B．1128 C．164二、多選題（多選）9．某社會(huì)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某市四所大學(xué)2024年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)如表：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)畢業(yè)生人數(shù)x（千人）345m自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y（千人）0.10.20.40.5根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)關(guān)于畢業(yè)生人數(shù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y?=0.14A．y與x正相關(guān) B．m＝6 C．當(dāng)x＝3時(shí)，殘差為0.01 D．樣本的相關(guān)系數(shù)r為負(fù)數(shù)（多選）10．設(shè)x＞0，函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=x+2A．存在x＞0，使得f（x）＞x﹣1 B．函數(shù)f（x+1）圖象與函數(shù)y＝ex﹣1的圖象有且僅有一條公共的切線 C．函數(shù)g（x）圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的最小值為22D．函數(shù)f（x）+g（x）的極小值點(diǎn)為x＝1（多選）11．雙曲線C：x2﹣y2＝4的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左右頂點(diǎn)分別為A、B，若P是右支上一點(diǎn)（與B點(diǎn)不重合），如圖，過點(diǎn)P的直線l與雙曲線C的左支交于點(diǎn)Q，與其兩條漸近線分別交于S、T兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．P到兩條漸近線的距離之和為2 B．當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有|QS|＝|TP| C．在△PAB中，tan∠PAB+tan∠PBA+2tan∠APB＝0 D．△PF1F2內(nèi)切圓半徑取值范圍為（0，1）三、填空題12．設(shè)曲線y＝e2ax在（0，1）處的切線與直線x+2y+2＝0垂直，則a＝．13．某一隨機(jī)變量X的分布列如下表，且n﹣m＝0.2，則E（3X+2）＝．X0123P0.1m0.2n14．已知平面四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，則該平面四邊形ABCD面積的最大值為．四、解答題15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin2A＝sinB?cosC+cosB?sinC．（1）求角A的大?。唬?）若b＝2c，△ABC的面積為23，求△ABC16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)F（1，0）的距離和P到定直線l：x＝2的距離的比是常數(shù)22，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)F'（﹣1，0），若曲線C上兩點(diǎn)M，N均在x軸上方，且FM∥F′N，|FM|+|F′N|=87217．如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，AB＝1，AA1＝2．（1）求證：平面B1MC⊥平面AMC；（2）求平面MAC與平面B1AC的夾角的余弦值．18．已知函數(shù)u（x）＝2lnx﹣a（x2﹣1），v（x）＝2x2lnx．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，判斷u（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）＝u（x）+v（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）證明：f（x）的所有零點(diǎn)之和大于3．19．某市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了A、B兩個(gè)套餐服務(wù)，顧客可自由選擇A、B兩個(gè)套餐之一，該游泳館在App上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，如表是App平臺(tái)統(tǒng)計(jì)某周內(nèi)周一至周六銷售優(yōu)惠券情況．星期t123456銷售量y（張）21822423023223690經(jīng)計(jì)算可得：y=參考公式：b?（1）因?yàn)閮?yōu)惠券銷售火爆，App平臺(tái)在周六時(shí)出現(xiàn)系統(tǒng)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除周六數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為13，選擇B套餐的概率為23，并且A套餐包含兩張優(yōu)惠券，B套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺(tái)累計(jì)銷售優(yōu)惠券為n張的概率為Pn，求P（3）請(qǐng)根據(jù)下列定義，解決下列問題：（i）定義：如果對(duì)于任意給定的正數(shù)σ，總存在正整數(shù)N0，使得當(dāng)n＞N0時(shí)，|an﹣a|＜σ（a是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列{an}收斂于a．（ii）運(yùn)用：記（2）中所得概率Pn的值構(gòu)成數(shù)列{Pn}(n∈N+)．求

答案與試題解析題號(hào)12345678答案ACDABDCD一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝1，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及幾何意義求解即可．解：由（1﹣i）z＝1，得z=1則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．2．已知隨機(jī)變量ξ～B（n，p），若E（ξ）＝2，D（ξ）＝1，則P（ξ＝2）＝（）A．18 B．14 C．38【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式即可求解n=4，p=1解：因?yàn)棣巍獴（n，p），所以E（ξ）＝np＝2，D（ξ）＝np（1﹣p）＝1，解得n=4，p=1所以P(ξ=2)=C故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)分布的期望公式和方差公式，屬于基礎(chǔ)題．3．已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)P（1，t）滿足|PF|＝2，則拋物線方程為（）A．y2=14x B．y2=12x C．【分析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解．解：已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)P（1，t）滿足|PF|＝2，則1+p則p＝2，則拋物線方程為y2＝4x．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了拋物線的定義，屬基礎(chǔ)題．4．已知向量a→，b→滿足|a→|=1，|A．1 B．2 C．3 D．2【分析】根據(jù)向量模長公式及向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程，解方程可得解．解：由|a→|=1可得a→2又(b→?即b→2聯(lián)立①②，解得b→2=1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．5．已知一個(gè)圓錐的體積為3πA．2π B．3π C．?3π 【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖和圓錐體積公式以及側(cè)面積公式，即可求出結(jié)果．解：設(shè)底面半徑為r，高為h，母線為l，如圖所示：則圓錐的體積V=1所以r2h=3，即h=又因?yàn)镾側(cè)=12?2πrl=2π即l＝2r，所以?=l2?解得r＝1，所以圓錐的表面積為S底+S側(cè)＝πr2+2πr2＝3πr2＝3π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐的體積公式和側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．6．已知a=53，b=3A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【分析】根據(jù)a2＜b2得到a＜b，根據(jù)log32＞log33=12解：∵a2∴a＜b，∵log∴c=3+lo∵(7∴74∴c＞3=∴c＞b＞a．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．已知函數(shù)f(x)=acos2x+1?a2sin2x(0＜a≤1)的圖象關(guān)于直線x=π12對(duì)稱，若方程f（x）＝m（m∈A．[12，1) B．[22，1)【分析】利用輔助角公式及函數(shù)的對(duì)稱性求出a，即可得到函數(shù)解析式，再求出函數(shù)在[0，π4]上的單調(diào)性，求出端點(diǎn)函數(shù)值與最大值，依題意y＝f（x）與y＝m解：因?yàn)閒(x)=acos2x+1?a2sin2x=sin(2x+φ)又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π12對(duì)稱，且0＜所以f(π解得a=3所以f(x)=3當(dāng)x∈[0，π4]令π3≤2x+π3令π2≤2x+π3≤所以f（x）在[0，π12]上單調(diào)遞增，在[π12，π因?yàn)榉匠蘤（x）＝m在[0，π4]上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即y＝f（x）與y＝m所以32≤m＜1，即m的取值范圍是故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．8．定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(12，12)對(duì)稱，且滿足f(x)=12f(5x)，f(0)=0，當(dāng)0≤x1＜x2≤1時(shí)，都有f（xA．1256 B．1128 C．164【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(12，12)對(duì)稱，可得到f（x）+f（1﹣x）＝1，進(jìn)而求得f（1）＝1，f(12)=12，反復(fù)利用f(x)=12f(5x)，適當(dāng)賦值，再結(jié)合條件當(dāng)0≤x1解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(1所以f（x）+f（1﹣x）＝1，令x＝1，則f（1）+f（0）＝1，又f（0）＝0，所以f（1）＝1，由f(x)=1令x=15，則令x=125，則令x=1125，則令x=1625，則令x=13125，則同理，令x=1由f（x）+f（1﹣x）＝1，則f(1即f(1由f(x)=1令x=110，則令x=150，則令x=1250，則令x=11250，則因?yàn)楫?dāng)0≤x1＜x2≤1時(shí)，都有f（x1）≤f（x2），而0＜1則f(1f(1所以f(1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的對(duì)稱性及利用賦值法求抽象函數(shù)的值，屬于中檔題．二、多選題（多選）9．某社會(huì)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某市四所大學(xué)2024年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)如表：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)畢業(yè)生人數(shù)x（千人）345m自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y（千人）0.10.20.40.5根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)關(guān)于畢業(yè)生人數(shù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y?=0.14A．y與x正相關(guān) B．m＝6 C．當(dāng)x＝3時(shí)，殘差為0.01 D．樣本的相關(guān)系數(shù)r為負(fù)數(shù)【分析】根據(jù)回歸直線的斜率可判斷A選項(xiàng)；將樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程，求出m的值，可判斷B選項(xiàng)；利用的概念可判斷C選項(xiàng)；利用樣本的相關(guān)系數(shù)的概念可判斷D選項(xiàng)．解：對(duì)于A，因?yàn)榛貧w直線的斜率為0.14，所以y與x正相關(guān)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由表格中的數(shù)據(jù)可得x=3+4+5+m4所以樣本中心點(diǎn)為(3+m將樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程得0.14×(3+m解得m＝6，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，當(dāng)x＝3時(shí)，y?所以當(dāng)x＝3時(shí)，殘差為0.1﹣0.09＝0.01，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)閥與x正相關(guān)，所以樣本的相關(guān)系數(shù)r為正數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，考查了相關(guān)系數(shù)和殘差的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．設(shè)x＞0，函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=x+2A．存在x＞0，使得f（x）＞x﹣1 B．函數(shù)f（x+1）圖象與函數(shù)y＝ex﹣1的圖象有且僅有一條公共的切線 C．函數(shù)g（x）圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的最小值為22D．函數(shù)f（x）+g（x）的極小值點(diǎn)為x＝1【分析】構(gòu)造函數(shù)h（x）＝f（x）﹣（x﹣1），通過求導(dǎo)分析單調(diào)性可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)兩函數(shù)互為反函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象特征可得選項(xiàng)B正確；設(shè)g（x）圖象上任意一點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式結(jié)合基本不等式可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；通過求導(dǎo)分析單調(diào)性可得選項(xiàng)D正確．解：對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝lnx﹣x+1，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），可得?′(x)=1當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，所以h（x）≤h（1）＝0，即f（x）≤x﹣1恒成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閥＝f（x+1）＝ln（x+1），所以x+1＝ey，即x＝ey﹣1，則函數(shù)y＝f（x+1）與函數(shù)y＝ex﹣1互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，結(jié)合圖象可得函數(shù)y＝f（x+1）與y＝ex﹣1的圖象都過原點(diǎn)，直線y＝x為函數(shù)y＝f（x+1）與y＝ex﹣1唯一的公切線，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為函數(shù)g（x）圖象上任意一點(diǎn)，此時(shí)OP=x當(dāng)且僅當(dāng)x=42時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)對(duì)于選項(xiàng)D：令F(x)=f(x)+(x)=lnx+x+2可得F′(x)=1當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，所以x＝1是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了邏輯推理、數(shù)形結(jié)合和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）11．雙曲線C：x2﹣y2＝4的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左右頂點(diǎn)分別為A、B，若P是右支上一點(diǎn)（與B點(diǎn)不重合），如圖，過點(diǎn)P的直線l與雙曲線C的左支交于點(diǎn)Q，與其兩條漸近線分別交于S、T兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．P到兩條漸近線的距離之和為2 B．當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有|QS|＝|TP| C．在△PAB中，tan∠PAB+tan∠PBA+2tan∠APB＝0 D．△PF1F2內(nèi)切圓半徑取值范圍為（0，1）【分析】選項(xiàng)A，設(shè)出點(diǎn)P（xP，yP）然后計(jì)算出漸近線，分別計(jì)算距離求解即可；選項(xiàng)B，設(shè)直線l：y＝kx+m，然后分別聯(lián)立雙曲線和漸近線方程計(jì)算交點(diǎn)，計(jì)算即可；選項(xiàng)C，利用點(diǎn)P（xP，yP）坐標(biāo)表示出tan∠PAB=yPxP+2選項(xiàng)D，利用等面積法求三角形內(nèi)切圓半徑的方法，然后化簡求解即可．解：由雙曲線C：x2﹣y2＝4，得x2故兩條漸近線方程分別為y＝x與y＝﹣x，設(shè)點(diǎn)P（xP，yP），由題可知xP＞0，yP≠0，∴點(diǎn)P（xP，yP）到兩個(gè)漸近線的距離分別為d1=|由于xP2?若d1+d2＝2，則d1，d2是方程x2﹣2x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然該方程無解，不符合題意，故A錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)S（xS，yS），T（xT，yT），Q（xQ，yQ），P（xP，yP）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx+m，聯(lián)立y=kx+mx2?y2=4，得（1﹣k2）x2∴xP聯(lián)立y=kx+my=x，解得x聯(lián)立y=kx+my=?x，解得x得xT∴xT+xS＝xP+xQ，即xS﹣xQ＝xP﹣xT，由題可知，|QS|=1+k2可得|QS|＝|TP|，故B正確；不妨設(shè)P（xP，yP），xP＞2，yP＞0，由題可知，A（﹣2，0），B（2，0），則tan∠PAB=yPxtan∠APB=?tan(∠PAB+∠PBA)=?tan∠PAB+tan∠PBAtan∠PAB?tan∠PBA=y由題可知，?y故tan∠PAB?tan∠PBA=?∴tan∠APB=tan∠PAB+tan∠PBA整理得tan∠PAB+tan∠PBA+2tan∠APB＝0，故C正確；在焦點(diǎn)三角形PF1F2中，由等面積法可得r=2由題意知|F1F|PF1|=則r=4∵xP∴r=4∴r2∵xP＞2，∴xP+2＞4，則r2=4(1?4xP+2故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是難題．三、填空題12．設(shè)曲線y＝e2ax在（0，1）處的切線與直線x+2y+2＝0垂直，則a＝1．【分析】求得y＝e2ax的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得所求值．解：y＝e2ax的導(dǎo)數(shù)為y′＝2ae2ax，可得曲線y＝e2ax在（0，1）處的切線斜率為2a，由切線與直線x+2y+2＝0垂直，可得2a?（?1解得a＝1．故1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，以及兩直線垂直的條件，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．某一隨機(jī)變量X的分布列如下表，且n﹣m＝0.2，則E（3X+2）＝8．X0123P0.1m0.2n【分析】根據(jù)概率和為1列方程組求出n、m的值，再計(jì)算E（X）和E（3X+2）的值．解：由題意知，n?m=0.20.1+m+0.2+n=1解得n＝0.45，m＝0.25，所以E（X）＝0×0.1+1×0.25+2×0.2+3×0.45＝2，所以E（3X+2）＝3E（X）+2＝3×2+2＝8．故8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．14．已知平面四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，則該平面四邊形ABCD面積的最大值為26．【分析】先根據(jù)余弦定理可得6cosD﹣cosB＝5，進(jìn)而表示出四邊形ABCD面積S＝sinB+6sinD，進(jìn)而得到S2+52＝37﹣12cos（B+D），進(jìn)而求解．解：連接AC，由余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB＝AD2+DC2﹣2AD?DC?cosD，即12+22﹣2×1×2×cosB＝42+32﹣2×4×3×cosD，即6cosD﹣cosB＝5，又四邊形ABCD的面積S==1則S2+52＝（sinB+6sinD）2+（6cosD﹣cosB）2＝37+12（sinBsinD﹣cosBcosD）＝37﹣12cos（B+D），即S2＝12﹣12cos（B+D）≤24，即S≤26當(dāng)且僅當(dāng)B+D＝π時(shí)，等號(hào)成立，所以平面四邊形ABCD面積的最大值為26故26【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．四、解答題15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin2A＝sinB?cosC+cosB?sinC．（1）求角A的大小；（2）若b＝2c，△ABC的面積為23，求△ABC【分析】（1）先根據(jù)兩角和的正弦公式化簡題干條件可得sin2A＝sinA，進(jìn)而得到2A+A＝π，進(jìn)而求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理求解即可．解：（1）因?yàn)閟in2A＝sinB?cosC+cosB?sinC＝sin（B+C）＝sinA，在△ABC中，2A+A＝π，即A=π（2）由（1）知，A=π所以S△ABC即c＝2，所以b＝4，又a2=b所以△ABC的周長為a+b+c=23【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積公式和余弦定理，屬于中檔題．16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)F（1，0）的距離和P到定直線l：x＝2的距離的比是常數(shù)22，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)F'（﹣1，0），若曲線C上兩點(diǎn)M，N均在x軸上方，且FM∥F′N，|FM|+|F′N|=872【分析】（1）根據(jù)距離公式列出方程即可求解；（2）設(shè)kFM＝kF′N＝k，可得直線F′N的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合對(duì)稱性與弦長公式列出方程即可求解．解：（1）由題意，(x?1)整理化簡得，x2所以曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由題意，直線FM，F(xiàn)′N的斜率都存在，設(shè)kFM＝kF′N＝k，則直線F′N的方程為y＝k（x+1），分別延長NF′，MF交曲線C于點(diǎn)N′，M′，設(shè)N（x1，y1），N′（x2，y2），聯(lián)立y=k(x+1)x22+y2=1，消去y整理得（1+2k2）x2+4則x1+x根據(jù)對(duì)稱性，可得|FM|＝|F′N′|，則|FM|+|F′N|＝|NN′|=1+k=1+即22(1+k所以直線FM的斜率為±3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17．如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，AB＝1，AA1＝2．（1）求證：平面B1MC⊥平面AMC；（2）求平面MAC與平面B1AC的夾角的余弦值．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面B1MC、平面AMC的法向量，利用空間向量法證明即可；（2）求出平面B1AC的法向量，利用空間向量法計(jì)算可得．解：（1）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），M（0，0，1），C（0，1，0），B1（1，1，2），所以MC→=(0，1，?1)，AC→設(shè)平面B1MC的法向量為n→則n→⊥MC取n→設(shè)平面AMC的法向量為m→則m→⊥MC取m→因?yàn)閚→即n→所以平面B1MC⊥平面AMC；（2）設(shè)平面B1AC的法向量為u→則u→⊥AC取u→設(shè)平面MAC與平面B1AC的夾角為θ，則cosθ=|所以平面MAC與平面B1AC的夾角的余弦值為33【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．18．已知函數(shù)u（x）＝2lnx﹣a（x2﹣1），v（x）＝2x2lnx．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，判斷u（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）＝u（x）+v（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）證明：f（x）的所有零點(diǎn)之和大于3．【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解；（2）（i）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=1+2lnx?a+1x2（ii）根據(jù)（i）中信息以及f（x）的單調(diào)性可得f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上各有一個(gè)零點(diǎn)，由根據(jù)f(x)=f(1x)解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，u（x）＝2lnx﹣（x2﹣1），函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），可得u′(x)=2當(dāng)0＜x＜1時(shí)，u′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，u′（x）＜0，所以u(píng)（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；（2）（i）因?yàn)閒（x）＝u（x）+v（x）＝2lnx﹣a（x2﹣1）+2x2lnx，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），可得f′(x)=2設(shè)g(x)=1+2lnx?a+1此時(shí)f′（x）＝2xg（x），可得g′(x)=2當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時(shí)，g（x）取得極小值，極小值g（1）＝2﹣a，若a≤2，此時(shí)g（x）≥g（1）＝2﹣a≥0，所以f′（x）＝2xg（x）≥0，則f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）無極值點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)a＞2，此時(shí)f′（1）＝2g（1）＝2（2﹣a）＜0，當(dāng)x→+∞是，f′（x）→+∞，所以f′（x）＝0在（1，+∞）有一個(gè)實(shí)數(shù)根x2，設(shè)m（x）＝lnx﹣x+1，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，m′（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，m′（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減，所以m（x）≤m（1）＝0，即lnx≤x﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以a＞2，lna＜a﹣1，所以f′(=2此時(shí)f′（x）＝0在(1a，1)上有一個(gè)實(shí)數(shù)根則f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，符合題意，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）；（ii）證明：由（i）知0＜x1＜1＜x2，且f（x）在（0，x1），（x2，+∞）單調(diào)遞增，在（x1，x2）單調(diào)遞減，因?yàn)閒（1）＝