第38講推理與證明二講義資料

新課標高中一輪總復(fù)習第五單元數(shù)列、推理與證明第38講推理與證明(二)1.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的()AA.充分條件B.必要條件C.充要條件D.等價條件分析法是執(zhí)果索因，允許原因能推出結(jié)論即可，并不一定需要充要條件，故必須為充分條件.2.若a,b∈R,且a≠b，有下列四個式子①a2+ab>2b2;②a5+b5>a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1);④

+

>2.其中一定成立的有()DA.4個B.3個C.2個D.1個因為a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以a2+b2≥2a-2b-2,③一定成立，①②④均可找到反例.3.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，假設(shè)正確的是()BA.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60°D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60°“至少有一個不大于的否定”為“都大于”.4.設(shè)a=,b=-,c=-,則a,b,c的大小關(guān)系是

.a>c>b因為b=-=,c=-=,所以b<c，又a==，所以a>c，故a>c>b.也可用分析法.5.若a+b>a+b，則a、b應(yīng)滿足的條件是

.a≥0,b≥0,且a≠b由已知，a-a+b-b>0,則a(-)+b(-)>0,即(-)(a-b)>0,故a≥0，b≥0，且a≠b.1.綜合法一般的，利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：P

Q1→Q1

Q2→Q2

Q3→…→Qn

Q2.分析法一般的，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸納為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等).這種證明的方法叫做分析法.用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：Q

P1→P1

P2→P2

P3→…→得到一個明顯成立的條件3.反證法(1)定義：一般的，假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.(2)用反證法導(dǎo)出的矛盾主要有：①與假設(shè)矛盾；②與數(shù)學公理、定理、定義、公式或與已被證明了的結(jié)論矛盾；③與公認的簡單事實矛盾.4.應(yīng)用在解決問題時，經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P.若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立.在證明一個問題時，如果不容易從條件到結(jié)論證明時，可采取分析的方法或者是間接證明的方法——反證法.有時證明一道題需多法并用.題型一用綜合法證明

例1已知點P是直角三角形ABC所在平面外的一點，O是斜邊AB的中點，并且PA=PB=PC，求證：PO⊥平面ABC.要證明PO⊥平面ABC，也就是要證明PO垂直于平面ABC內(nèi)的兩條相交直線.連接OC,OP，如圖所示，因為AB是Rt△ABC的斜邊，O是AB的中點，所以O(shè)A=OB=OC.又因為PA=PB=PC，所以△POA≌△POB≌△POC,所以∠POA=∠POB=∠POC.因為∠POA+∠POB=180°,所以∠POA=∠POB=90°,所以∠POC=90°.即PO⊥OA，PO⊥OC，所以PO⊥平面ABC.綜合法證明立體幾何問題，以立體幾何的公理、定理、定義為基礎(chǔ)，以遞推的性質(zhì)為依據(jù)進行推理論證，因此，關(guān)鍵是找到與要證結(jié)論相匹配的公理、定理、判定定理及其性質(zhì).同時綜合法必須保證前提是正確的，推理形式合乎邏輯，才能保證結(jié)論成立.已知a>0,b>0，且a+b=1，試用分析法證明不等式(a+)(b+)≥.題型二用分析法證明例2題目條件要求使用分析法證明不等式，只需要注意分析法證明問題的步驟即可.要證(a+)(b+)≥,只需證ab+≥,只需證4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,只需證4(ab)2-8ab-25ab+8≥0,只需證4(ab)2-33ab+8≥0,即證ab≥8或ab≤,由a+b=1,只需證ab≤,而由1=a+b≥2，所以ab≤顯然成立，所以原不等式(a+)(b+)≥成立.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件(不一定是充要)，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)到判定一個明顯成立的條件為止，這種證法也是直接證法中一種常用的方法，特別是當從已知條件推證要證的結(jié)論有困難時，往往采用分析法.題型三用反證法證明例3已知a,b,c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0.利用反證法證明：

.a>0,b>0,c>0假設(shè)a,b,c不同時為正數(shù)，不妨先考慮a不是正數(shù)，從而有a=0和a<0兩種情況.若a=0，則abc=0，與已知abc>0矛盾，故a=0不可能;若a<0,因為abc>0,所以bc<0.又因為a+b+c>0,所以b+c>-a>0,所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0.這與已知ab+bc+ac>0矛盾,所以a<0也不可能.綜上述，a>0成立.同理可知b>0,c>0成立.所以原命題得證.反證法證明問題的一般步驟是：(1)反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，也就是假設(shè)在已知條件下，存在與要證明的結(jié)論相反的情形；(2)歸謬：由反設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，通過正確的邏輯推理，推得矛盾；(3)存真：由所得的矛盾斷言反設(shè)不真，從而肯定原命題的正確性.在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若+=,試問：A，B，C是否成等差數(shù)列，若不成等差數(shù)列，請說明理由；若成等差數(shù)列，請給出證明.

A，B，C成等差數(shù)列，下面用綜合法給出證明.因為+=,所+=3,所以+=1，所以c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，所以b2=a2+c2-ac.在△ABC中,由余弦定理,得cosB===.因為0°<B<180°，所以B=60°，所以A+C=2B=120°,所以A、B、C成等差數(shù)列.1.綜合法的特點：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上尋找它的必要條件.2.分析法的特點：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋找它的充分條件.3.反證法的步驟：①分清命題的條件和結(jié)論；②作出命題結(jié)論不成立的假設(shè)；③由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推理出矛盾的結(jié)果；④否定假設(shè)，從而間接的證明結(jié)論.學例1(2009·四川卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意的正整數(shù)n，都有an=5Sn+1成立，記bn=(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Rn.是否存在正整數(shù)k，使得Rk≥4k成立？若存在，找出一個正整數(shù)k;若不存在;請說明理由;(3)記cn=b2n-b2n-1(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求證：對任意正整數(shù)n，都有Tn＜.(1)當n=1時，a1=5a1+1,所以a1=-.又因為an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1，所以an+1-an=5an+1，即an+1=-an.所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其首項a1=-,公比q=-.所以an=(-)n(n∈N*).所以bn=(n∈N*).(2)不存在正整數(shù)k，使得Rk≥4k成立.下證：對任意的正整數(shù)n，都有Rn＜4n成立.由(1)知bn=4+.因為b2k-1+b2k=8++=8+-=8-＜8，所以，當n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m(m∈N*)，則Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m)＜8m=4n;當n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m-1(m∈N*),則Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1＜8(m-1)+4=8m-4=4n.所以對一切的正整數(shù)n，都有Rn＜4n.所以不存在正整數(shù)k，使得Rk≥4k成立.(3)證明：由(1)知b