2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值文含解析北師大版

PAGE9-函數(shù)的單調(diào)性與最值核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(-∞,0)上是削減的是 ()A.y=1-x2 B.y=x2+2xC.y=--x D.y=2.函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.(-∞,-2) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)3.設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),則下列結(jié)論肯定正確的是 ()A.y=1f(xB.y=|f(x)|在R上為增函數(shù)C.y=-1f(xD.y=-f(x)在R上為減函數(shù)4.設(shè)函數(shù)f(x)=1,x>0,0,xA.(-∞,0] B.[0,1)C.[1,+∞) D.[-1,0]【解析】1.選D.對(duì)于選項(xiàng)A,該函數(shù)是開口向下的拋物線,在區(qū)間(-∞,0]上是增加的;對(duì)于選項(xiàng)B,該函數(shù)是開口向上的拋物線,在區(qū)間(-∞,-1]上是削減的,在區(qū)間[-1,+∞)上是增加的;對(duì)于選項(xiàng)C,在區(qū)間(-∞,0]上是增加的;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閥=xx-1=1+1x-2.選D.函數(shù)有意義,則x2-2x-8>0,解得:x<-2或x>4,結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則,可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(4,+∞).3.選D.特例法:設(shè)f(x)=x,則y=1f(x)=1x的定義域?yàn)?-∞y=|f(x)|=|x|在R上無(wú)單調(diào)性,B錯(cuò);則y=-1f(x)=-1x的定義域?yàn)?-∞4.選B.因?yàn)間(x)=x作出函數(shù)圖像如圖所示,所以其遞減區(qū)間為[0,1).推斷函數(shù)單調(diào)性的方法(1)定義法:取值→作差→變形→定號(hào)→結(jié)論.(2)圖像法:從左往右看,圖像漸漸上升,單調(diào)遞增;圖像漸漸下降,單調(diào)遞減.(3)利用函數(shù)和、差、積、商和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的推斷法則.(4)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)推斷函數(shù)單調(diào)性.其中(2)(3)一般用于選擇題和填空題.【秒殺絕技】T2用特例法、解除法也可求解.考點(diǎn)二函數(shù)的最值(值域)

【典例】1.函數(shù)y=1-x22.函數(shù)y=x+x-1的最小值為3.已知函數(shù)f(x)=1a-1x(a>0,x>0),若f(x)在12,2上的值域?yàn)?2,【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由1-x2由x+x-13由-1x,【解析】1.(分別常數(shù)法)因?yàn)閥=1-x21+x2=-1+21+x2,又因?yàn)?+x答案:(-1,1]2.方法一:因?yàn)楹瘮?shù)y=x和y=x-1在定義域內(nèi)均為增函數(shù),故函數(shù)y=x+x-1在其定義域[1,+方法二:令t=x-1,且t≥0,則x=t所以原函數(shù)變?yōu)閥=t2+1+t,t≥0.配方得y=t+12又因?yàn)閠≥0,所以y≥14+3故函數(shù)y=x+x-答案:13.由反比例函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f(x)=1a-1x(a>0,x>0)在所以f12=12答案:2求函數(shù)最值的常用方法(1)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性,再利用單調(diào)性求最值.(2)圖像法:先作出函數(shù)的圖像,再視察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn),求出最值.(3)換元法:對(duì)比較困難的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟識(shí)的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求最值.(4)分別常數(shù)法:對(duì)于分式的分子、分母中都含有變量的求值域,變成只有分子或分母有變量的狀況,再利用函數(shù)的觀點(diǎn)求最值.(5)基本不等式法:先對(duì)解析式變形,使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.1.若函數(shù)f(x)=2x,xA.(-∞,2) B.(-∞,2]C.[0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,2)【解析】選A.當(dāng)x<1時(shí),0<2x<2,當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=-log2x≤-log21=0,綜上f(x)<2,即函數(shù)的值域?yàn)?-∞,2).2.函數(shù)y=3x+1x【解析】y=3x+1x-2因?yàn)?x-2≠0,所以3+所以函數(shù)y=3x+1x答案:{y|y≠3}3.(2024·漢中模擬)設(shè)0<x<32,則函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值為________【解析】y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤22x+(3-2x)2所以函數(shù)y=4x(3-2x)0<x<3答案:9考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)考查比較大小問題、與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式和已知單調(diào)性求參數(shù)解不等式等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).2.怎么考:與基本初等函數(shù)、單調(diào)性、最值交匯考查函數(shù)的單調(diào)性、圖像等學(xué)問.3.新趨勢(shì):以基本初等函數(shù)為載體,與其他學(xué)問交匯考查為主.學(xué)霸好方法1.比較大小問題的解題思路(1)利用函數(shù)的單調(diào)性推斷兩個(gè)值的大小.(2)找尋中間量比較兩個(gè)數(shù)值的大小,常常利用1,0,-1等.2.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式問題的解題策略推斷函數(shù)的單調(diào)性,并利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉,使其轉(zhuǎn)化為詳細(xì)的不等式,然后求解即可.3.已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值的解題策略依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性得出含有所求參數(shù)的不等式或方程,解該不等式或方程即可.比較大小問題【典例】(2024·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,當(dāng)x2>x1>1時(shí),[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,設(shè)a=f-12,b=f(2),c=f(e),則a,b,cA.c>a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c【解析】選D.因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱,所以f-12=f52,又由已知可得f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(2)>f52>f(e),與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式問題【典例】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且對(duì)一切x>0,y>0都有fxy=f(x)-f(y),當(dāng)x>1時(shí),有f(x)>0. (1)求f(1)的值;(2)推斷f(x)的單調(diào)性并證明;(3)若f(6)=1,解不等式f(x+5)-f1x【解析】(1)f(1)=fxx(2)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).證明:設(shè)0<x1<x2,則由fxy=f(x)-f(y),得f(x2)-f(x1)=fx2x1,因?yàn)閤2x1>1,所以fx(3)因?yàn)閒(6)=f366=f(36)-f(6),又f(6)=1,所以f(36)=2,原不等式化為f(x2+5x)<f(36),又因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以解得0<x<4.已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值問題【典例】(2024·蚌埠模擬)若f(x)=(3a-1)x+4a,x<1【解析】由題意知,3解得a<13,答案:11.若函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞),則a的值為 ()A.-2B.2C.-6D.6【解析】選C.由圖像易知函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)增區(qū)間是-a2,+∞,令2.f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)增函數(shù),滿意f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,當(dāng)f(x)+f(x-8)≤2時(shí),x的取值范圍是 ()A.(8,+∞) B.(8,9]C.[8,9] D.(0,8)【解析】選B.2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,可得f[x(x-8)]≤f(9),因?yàn)閒(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),所以有x>0,x3.函數(shù)y=f(x)在R上是增函數(shù),且y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,-3)和B(1,3),則不等式|f(2x-1)|<3的解集為________.

【解析】因?yàn)閥=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,-3)和B(1,3),所以f(-2)=-3,f(1)=3.又|f(2x-1)|<3,所以-3<f(2x-1)<3,即f(-2)<f(2x-1)<f(1).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在R上是增函數(shù),所以-2<2x-1<1,即2x-1>-2答案:-(2024·北京模擬)函數(shù)y=f(x),x∈[1,+∞),數(shù)列{an}滿意an=f(n),n∈N*,①函數(shù)f(x)是增加的;②數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.寫出一個(gè)滿意①的函數(shù)f(x)的解析式________.

寫出一個(gè)滿意②但不滿意①的函數(shù)f