相似矩陣與矩陣的對(duì)角化

相似矩陣與矩陣的對(duì)角化相似矩陣與矩陣的對(duì)角化相似矩陣的概念一、定義6-5c對(duì)n階方陣A，B，若存在一個(gè)n階可逆矩陣P，使P－1AP=B

成立，則稱(chēng)矩陣A與B相似或矩陣A相似于B，記作A~B.矩陣的相似是一種等價(jià)關(guān)系，滿(mǎn)足以下三個(gè)性質(zhì)：（1）反身性：A與自身相似.（2）對(duì)稱(chēng)性：若A與B相似，則B與A相似.（3）傳遞性：若A與B相似，B與C相似，則A與C相似.相似矩陣A與B必有相同的特征值，這是因?yàn)锽－λE=P－1AP－P－1

(λE)P=P－1(A－λE)P=P－1A－λEP=A－λE

即相似矩陣必有相同的特征多項(xiàng)式，從而必有相同的特征值.若矩陣能相似于一個(gè)對(duì)角陣，則稱(chēng)A可對(duì)角化.若方陣A可對(duì)角化，則可大大簡(jiǎn)化許多運(yùn)算過(guò)程，但并不是每個(gè)矩陣都能對(duì)角化.下面從特征向量角度刻畫(huà)矩陣可對(duì)角化的條件.矩陣可對(duì)角化的條件二、定理6-11n階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.證明

必要性：設(shè)方陣A可對(duì)角化，即A與對(duì)角陣Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)相似，則有即有AP=PΛ設(shè)P=(p1,p2,…,pn)，則有于是有Api=λipi（i=1,2,…,n）.因?yàn)镻是可逆矩陣，故上式中的p

i均為非零向量，且p1,p2,…,pn線(xiàn)性無(wú)關(guān)；按定義知，這些pi分別是矩陣A的屬于特征值λi(i=1,2,…,n)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.充分性：若A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量p1,p2,…,pn，有Api=λipi（i=1,2,…,n）將這n個(gè)向量等式合并成一矩陣等式，有若記Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，P=(p1,p2,…,pn)，則P≠0.上式可寫(xiě)為AP=PΛ即A=PΛP－1（6-10）證畢.從以上的證明過(guò)程可見(jiàn)，若把建立分解式（6-10）稱(chēng)為將A對(duì)角化，那么，矩陣對(duì)角化的主要工作在于求出其特征值與特征向量.但是，實(shí)際上怎樣判斷一給定矩陣是否可對(duì)角化呢？或者，已知矩陣可對(duì)角化，又說(shuō)明什么問(wèn)題呢？這就需要在定理6-11的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討特征值、特征向量的性質(zhì)，從而有可能對(duì)矩陣對(duì)角化有更深的認(rèn)識(shí).定理6-12若λ1,λ2,…,λm是n階方陣A的互不相等的特征值，則其對(duì)應(yīng)的特征向量p1,p2,…,pm線(xiàn)性無(wú)關(guān).證明

用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)m=1時(shí)，因特征向量p1≠0，故只含一個(gè)向量的向量組p1線(xiàn)性無(wú)關(guān).假設(shè)當(dāng)m=k－1時(shí)結(jié)論成立，要證當(dāng)m=k時(shí)結(jié)論也成立.即假設(shè)向量組p1,p2,…,pk－1線(xiàn)性無(wú)關(guān)，要證向量組p1,p2,…,pk線(xiàn)性無(wú)關(guān).為此，令x1p1+x2p2+…+xk－1pk－1+xkpk=0（6-11）用A左乘式（6-11），得x1Ap1+x2Ap2+…+xk－1Apk－1+xkApk=0x1λ1p1+x2λ2p2+…+xk－1λk－1pk－1+xkλkpk=0（6-12）式（6-12）減去式（6-11）的λk倍，得x1(λ1－λk)p1+x2(λ2－λk)p2+…+xk－1(λk－1－λk)pk－1=0按歸納法假設(shè)p1,p2,…,pk－1線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故xi(λi－λk)=0(i=1,2,…,k－1).而λi－λk≠0(i=1,2,…,k－1)，于是得xi=0(i=1,2,…,k－1)，代入式（6-11）得xkpk=0，而pk≠0，得xk=0.因此，向量組p1,p2,…,pm線(xiàn)性無(wú)關(guān).因此有以下定理：定理6-13若n階方陣A具有n個(gè)互不相等的特征值，即特征方程只有單根，則矩陣A必可對(duì)角化.注意到特征方程只有單根是矩陣A可對(duì)角化的充分條件，特征方程有重根時(shí)，矩陣A也有可能是可以對(duì)角化的.【例6-9】所以A的特征值為λ1=－2,λ2=λ3=0.對(duì)λ1=－2，解方程組(A+2E)x=0，由對(duì)于λ2=λ3=0，解方程組(A－0E)x=0.由【例6-10】解

（1）經(jīng)計(jì)算得A的特征值為λ1=1,λ2=λ3=2，且有三個(gè)對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征求得應(yīng)用實(shí)例三、在涉及矩陣的問(wèn)題（工程問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等）中，當(dāng)出現(xiàn)的矩陣可對(duì)角化時(shí)，常可通過(guò)矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形分解，找到解決問(wèn)題的簡(jiǎn)便途徑.在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)將問(wèn)題歸結(jié)為計(jì)算一個(gè)矩陣A的高次冪Ak，一般用矩陣乘積的行乘列法則來(lái)計(jì)算矩陣冪是很麻煩的，特別在冪次很大時(shí)尤甚.我們知道，從對(duì)角陣的特點(diǎn)可知有如下簡(jiǎn)單的結(jié)論：自然想到，當(dāng)A可對(duì)角化時(shí)，能否找到一個(gè)計(jì)算矩陣的高次冪Ak的簡(jiǎn)單方法呢？回答是肯定的.事實(shí)上，若A可對(duì)角化，則可建立起分解式A=PΛP－1，有Ak=(PΛP－1)…(PΛP－1)=PΛkP－1

因?qū)τ趯?duì)角陣

Λ=diag(λ1,…,λn)

有

Λk=diag(λk1,…,λkn)

故

Ak=PΛkP－1=Pdiag(λk1,…,λkn)P－1

作為計(jì)算矩陣高次冪的一個(gè)實(shí)例，我們看如下的問(wèn)題.設(shè)某城市共有30萬(wàn)人從事農(nóng)、工、商各行業(yè)的工作，假定這個(gè)總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社會(huì)調(diào)查表明：（1）在這30萬(wàn)就業(yè)人員中，目前約有15萬(wàn)人從事農(nóng)業(yè)，9萬(wàn)人從事工業(yè)，而有6萬(wàn)人經(jīng)商.（2）在從農(nóng)人員中，每年約有20%改為從工，10%改為經(jīng)商.（3）在從工人員中，每年約有20%改為從農(nóng)，10%改為經(jīng)商.（4）在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為從農(nóng)，10%改為從工.

現(xiàn)預(yù)測(cè)一兩年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過(guò)多年之后，從事各業(yè)人員總數(shù)的發(fā)展趨勢(shì).【例6-12】解

若用3維向量xi表示第i年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)（單位：萬(wàn)人），則已知而欲求x1,x2，并考察在n→∞時(shí)，xn的發(fā)展趨勢(shì).引進(jìn)三階矩陣A=（aij），用以刻畫(huà)從事各業(yè)人員間的轉(zhuǎn)移.例如，元a23=0.1表明每年有10%的從工人員改去經(jīng)商.于是有由矩陣乘法，得（因“轉(zhuǎn)移矩陣”A恰為對(duì)稱(chēng)矩陣）因A的各行元之和均為1，故A具有一明顯的特征值λ1=1，以及對(duì)應(yīng)的特征向量ξ1=1,1,1T

事實(shí)上，A的特征多項(xiàng)式為故A的特征值為λ1=1,λ2=0.7,λ3=0.5.若分別求出規(guī)范特征向量p1，p2，p3，并令P=p1,p2,p3，則有A=PΛP－1

從而有An=PΛnP－1

而從xn=Anx0

的表達(dá)式，可做出必要的分析，其計(jì)算細(xì)節(jié)留給讀者作為練習(xí).現(xiàn)給出另一途徑的分析過(guò)程.從可知，當(dāng)n→∞時(shí)，Λn將趨于故知A將趨于

因而xn將趨于一確定的向量x*，因xn－1亦必趨于x*.由