高二【數(shù)學(人教A版)】空間向量與立體幾何小結(1)-教學設計

課程基本信息課例編號2020QJ11SXRA015學科數(shù)學年級高二學期一課題空間向量與立體幾何小結（1）教科書書名：普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教學人員姓名單位授課教師于洪偉北京景山學校指導教師雷曉莉東城區(qū)教師研修中心教學目標教學目標：梳理空間向量與立體幾何的知識和方法教學重點：梳理運用空間向量研究立體幾何的過程教學難點：梳理運用空間向量研究立體幾何的過程教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動梳理研究空間向量的過程梳理運用空間向量研究立體幾何的思路問題1空間向量與平面向量有哪些共性和差異？共性：向量是具有大小和方向的量，既適用于平面，也適用于空間；差異：研究向量的維度不同，一個在平面上，一個在空間中.我們研究了空間向量的概念及其運算，這里包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘等線性運算，還有數(shù)量積運算。追問1：我們如何引入空間向量的運算法則？類比平面向量，引入空間向量的運算法則.追問2：如何將空間向量的運算轉化為數(shù)的運算？類比平面向量運算坐標化的過程.追問3：如何理解空間向量可以由三個不共面的向量唯一表示？1.一個非零向量可以唯一表示與其共線的任意一個向量，這由向量的數(shù)乘運算給出解釋；2.兩個不共線向量可以唯一表示其所確定平面上內的任意一個向量，這由向量的線性運算給出解釋，也可以由平行四邊形法則給出幾何解釋。3.三個不共面向量可以唯一表示空間中任意一個向量，我們可以通過圖示理解，空間中不共面的向量a，b，c，對空間中任意非零向量p，討論一般情形。若p與a，b，c，均不共線，向量c與p所確定的平面α和a與b所確定的平面β交線唯一確定，記這條直線方向向量上的單位向量為e，則向量p由c和e唯一表示，記為p=mc+ne，而向量ne在平面β上，可由a，b唯一表示，記為ne=xa+yb，所以p=xa+yb+mc，這樣我們就得到了向量p由不共線的向量a，b，c的唯一表示。若p與其中兩個向量共面，就是平面向量的結論，第三個向量的系數(shù)為0.若p與某一個向量共線，則另外兩個向量的系數(shù)為0.所以對于任意一個向量p，系數(shù)x，y，m都是唯一確定的?？臻g向量就有三個不共面的向量唯一表示了。當換成另一組三個不共面的向量時，系數(shù)x，y，m會改變，但表示仍然是唯一的。也就是說，任意一個空間向量對于給定的一組三個不共面向量，都可以找到唯一的一組系數(shù)表示。問題2有哪些運用空間向量研究立體幾何的方法？一些簡單的問題，可以由空間向量的幾何意義直接來研究立體幾何中的一些問題，相對復雜一些的問題，我們可以將代表空間圖形的向量用空間向量基底表示，通過基向量的運算得到空間向量之間的運算結果，這就是我們所說的向量法。由于向量有其坐標表示，我們可也以用向量的坐標運算來得到空間向量的運算結果，這就是我們所說的坐標法。問題3如何用空間向量表示空間中的點、直線和平面？問題4運用空間向量研究立體幾何中的哪些問題？立體幾何中，我們研究的對象主要是點、直線、平面之間的關系，其中我們重點研究了點、直線、平面的位置關系和度量問題，位置關系包括平行和垂直，度量問題主要研究了角度和距離。平行關系包括直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行；垂直關系包括直線與直線垂直，直線與平面垂直，平面與平面垂直；追問1：如何利用直線的方向向量和平面的法向量刻畫空間中直線、平面的平行和垂直關系？我們記直線的方向向量為u1，u2，u，平面的法向量為n1，n2，n，直線與直線平行可以表示為直線方向向量平行，也就是數(shù)乘運算u1直線與平面平行可以表示為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也就是數(shù)量積運算u?n=0平面與平面平行可以表示為平面的法向量平行，也就是數(shù)乘運算n1直線與直線垂直可以表示為直線的方向向量垂直，也就是數(shù)量積運算u1直線與平面垂直可以表示為直線的方向向量與平面的法向量平行，也就是數(shù)乘運算u=λ平面與平面垂直可以表示為平面的法向量垂直，也就是數(shù)量積運算n1同樣，這些直線的方向向量和平面的法向量之間的運算反過來也可以確定直線、平面的平行、垂直關系，這樣我們就用空間向量的平行和垂直刻畫了立體幾何中的直線、平面的垂直、平行等位置關系。追問2：如何用直線的方向向量或平面的法向量求直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角？因為空間向量之間的夾角可以用數(shù)量積來計算，通過得到的夾角的余弦求得，所以我們盡可能通過求向量夾角的余弦值獲得直線、平面的夾角。直線與直線的夾角可以轉化為直線的方向向量的夾角，但由于直線與直線所成的角與向量夾角的范圍不同，取值在0度到90度，其余弦值不會是負數(shù)，所以直線與直線所成角的余弦值就等于其方向向量夾角余弦值的絕對值；直線與平面所成的角可以轉化為直線的方向向量與平面法向量的夾角，注意到這兩個角相差90度或者互余，而且直線與平面所成角的范圍是0度到90度，所以我們用直線的方向向量與平面法向量求出夾角的余弦值的絕對值，正好等于直線與平面所成角的正弦值；平面與平面的夾角可以轉化為平面法向量的夾角，二者相等或者互補，所以平面與平面夾角的余弦值等于對應法向量夾角的余弦值的絕對值；這樣，我們用空間向量夾角的余弦值，分別給出了直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角的求法。追問3：如何用直線的方向向量或平面的法向量求點到直線、點到平面、平行直線、直線到平面、平行平面間的距離？我們先來看看點到直線的距離和平行直線間距離，會發(fā)現(xiàn)求平行線間距離本質就是求其中一條直線上的一點到另一條直線的距離，這樣就可以把平行直線間距離轉化為點到直線的距離來求。而點到直線的距離可以用投影向量的方法構造直角三角形來求解。類似地，與平面平行的直線到平面的距離、平行平面間的距離可以轉化為點到平面的距離來求解，而點到平面的距離可以用這點與平面內任一點為起點和終點的向量在平面法向量上的投影向量來計算。這樣，我們通過投影向量解決了立體幾何中的距離問題?？偨Y一下，我們研究了空間向量的平行、垂直、夾角和投影，對應解決了立體幾何的位置關系和度量中的夾角和距離問題。追問4：總結一下，我們如何運用空間向量研究立體幾何問題？立體幾何的學習中，我們研究了平行，垂直位置關系和角度、距離等度量問題，在空間向量的學習中，我們研究了空間向量的平行、垂直、夾角和投影，我們運用空間向量的垂直和平行刻畫了立體幾何中的垂直、平行的位置關系。通過計算空間向量的夾角解決立體幾何中的角度問題，運用空間向量的投影以及數(shù)量積等運算解決立體幾何中的距離問題。這樣，我們就完成了運用空間向量研究立體幾何的問題。最后，我們做一下總結，提煉一下運用空間向量研究立體幾何的策略。首先，我們將立體幾何問題向量化，用空間向量來表示立體幾何中的點、直線、平面。然后選取合適的基底，對空間向量做線性運算和數(shù)量積運算，得到關于空間向量的運算結果，最后將空間向量的運算結果幾何化，解釋立