第07講-函數(shù)與方程(講義)(原卷版)

第07講函數(shù)與方程目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.（2）理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用.（3）了解用二分法求方程的近似解．2022年天津卷第15題，5分2021年天津卷第9題，5分2021年北京卷第15題，5分從近幾年高考命題來看，高考對(duì)函數(shù)與方程也經(jīng)常以不同的方式進(jìn)行考查，比如：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題、位置問題、近似解問題，以選擇題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的不同位置，且考查得較為靈活、深刻，值得廣大師生關(guān)注．一、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).三、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.【解題方法總結(jié)】函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn).②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出.【典例例題】題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間【例1】（2023·廣西玉林·博白縣中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（

）A． B．0 C．2 D．4【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)依次為，則（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若是方程的一個(gè)解，則可能存在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】求函數(shù)零點(diǎn)的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍【例2】（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為__________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍___________.【解題總結(jié)】本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題【例3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·天津北辰·統(tǒng)考三模）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則___________.【解題總結(jié)】方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·四川資陽·高三統(tǒng)考期末）定義在R上函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且則關(guān)于x的方程()有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則n的所有可能的值為A．2 B．4C．2或4 D．2或4或6【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為A． B．或 C．或 D．或或【解題總結(jié)】2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí)．題型五：函數(shù)的對(duì)稱問題【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且，關(guān)于軸對(duì)稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解題總結(jié)】題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型【例6】（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·湖北·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校?？家荒＃┤糁辽俅嬖谝粋€(gè)，使得方程成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】分類討論數(shù)學(xué)思想方法題型七：唯一零點(diǎn)求值問題【例7】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)A． B． C． D．或【解題總結(jié)】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.題型八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問題【例8】（2023·天津南開·高三南開中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型九：零點(diǎn)嵌套問題【例9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，（其中），則的值為A． B． C．-1 D．1【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2023·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足有三個(gè)不同的零點(diǎn)且則的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【解題總結(jié)】解決函數(shù)零點(diǎn)問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.題型十：等高線問題【例10】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)①若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是②若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是③若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是④方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能是1，2，3，6四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（

）A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）【解題總結(jié)】數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法題型十一：二分法【例11】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對(duì)于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個(gè)方法，解方程，選取初始值，在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：

那么方程的一個(gè)近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練35】（2023·全國·高三專題練習(xí)）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練36】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解（精確到0.1）為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練37】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)