廣東省廣州市2025屆高三上學(xué)期市調(diào)研適應(yīng)性測試 數(shù)學(xué)試卷（附解析）

廣東省廣州市2025屆高三上學(xué)期市調(diào)研適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則的值為（）A．2 B．0 C． D．4．已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且圓錐側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球體積為（）A． B． C． D．5．在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為A．30 B．36 C．60 D．726．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若對任意的都有，則圖中的值為（）A． B． C． D．7．已知點、是橢圓的左、右焦點，點M為橢圓B上一點，點關(guān)于的角平分線的對稱點N也在橢圓B上，若，則橢圓B的離心率為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域為，且對任意，滿足，且，則（

）A．651 B．676 C．1226 D．1275二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線和圓相交于M，N兩點，則下列說法正確的是（

）A．直線過定點B．的最小值為3C．的最小值為D．圓上到直線的距離為的點恰好有三個，則10．設(shè)函數(shù)，則（）A．當(dāng)時，的極大值大于0B．當(dāng)時，無極值點C．，使在上是減函數(shù)D．，曲線的對稱中心的橫坐標(biāo)為定值11．如圖，已知四面體的各條棱長均等于2，E，F(xiàn)分別是棱AD，的中點.G為平面上的一動點，則下列說法中正確的有（

）A．三棱錐體積為B．線段的最小值為C．當(dāng)G落在直線BD上時，異面直線與所成角的余弦值最大為D．垂直于的一個面，截該四面體截得的截面面積最大為1三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列（）中，，成等比數(shù)列，，則.13．已知4件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐個不放回檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測次數(shù)為，則.14．已知集合，若集合，且M中的所有元素之和為奇數(shù)，稱M為A的奇子集，則A的所有“奇子集元素之和”的總和為.四、解答題（本大題共5小題）15．的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．(1)若，，求的面積；(2)若角為鈍角，求的取值范圍．16．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，分別為，的中點，平面，且.(1)證明：平面；(2)若與平面所成的角是，求二面角的余弦值.17．已知雙曲線的左、右頂點分別是，點在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點，為坐標(biāo)原點，君，求點到直線的距離的最大值．18．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)若與在原點處的切線重合，且函數(shù)有且僅有三個極值點，求實數(shù)的取值范圍.19．若有窮數(shù)列（且）滿足，則稱為M數(shù)列.(1)判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說明理由：①1，2，4，3.②4，2，8，1.(2)已知M數(shù)列中各項互不相同.令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列；(3)已知數(shù)列是（且）個連續(xù)正整數(shù)的一個排列.若，求的所有取值.

答案1．【正確答案】B【詳解】解：由，可得，所以；由，可得，解得，所以；所以.故選：B.2．【正確答案】C【詳解】由，可得，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.故選：C.3．【正確答案】C【詳解】因為向量在向量上的投影向量是，所以，化簡得，因為，所以，解得.故選：C,4．【正確答案】D【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,因為圓錐的軸截面為等邊三角形,所以圓錐的母線長為依題意：,解得.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為,又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以，則內(nèi)切球的體積.故選：D.5．【正確答案】C【詳解】記事件位男生連著出場，即將位男生捆綁，與其他位女生形成個元素，所以，事件的排法種數(shù)為，記事件女生甲排在第一個，即將甲排在第一個，其他四個任意排列，所以，事件的排法種數(shù)為，事件女生甲排在第一位，且位男生連著，那么只需考慮其他四個人，將位男生與其他個女生形成三個元素，所以，事件的排法種數(shù)為種，因此，出場順序的排法種數(shù)種，故選C．6．【正確答案】A【詳解】解：由，得.的圖象上的所有點向左平移個單位長度后得的圖象，由題意知為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，得函數(shù)的圖象過點.設(shè)的最小正周期為，則，所以，故.又，，且，可得，所以，.故選：A.7．【正確答案】B【詳解】由題意可知，，且，，所以，

因為，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得，整理得，所以即.故選：B.8．【正確答案】A【分析】由條件可以推出，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，所以，即，所以.故選A.9．【正確答案】AC【詳解】對于A，直線，即，由解得，所以定點坐標(biāo)為，A正確，對于B，圓的圓心為，半徑為，點與圓心的距離為，所以的最小值為，此時直線垂直于軸，故此時無最小值，故B錯誤，對于C，設(shè)，則，當(dāng)，即直線方程為時，取得最小值為，所以C正確，對于D，若圓上到直線的距離為的點恰好有三個，則圓心到直線的距離為，所以，整理得，所以D錯誤.故選：AC10．【正確答案】BD【詳解】對于A，當(dāng)時，，求導(dǎo)得，令得或，由f'x>0，得或，由f'x<0，得，于是在，1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，極大值為，故A錯誤；對于B，，當(dāng)時，，即f'x≥0恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，故B正確；對于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為，故C錯誤；對于D，由，得曲線y=fx的對稱中心的坐標(biāo)為，故D正確.故選：BD.11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，如圖，作平面，垂足為，因為四面體為正四面體，則為三角形的中心，則，所以，即正四面體的高為，點到平面的距離為點平面的距離的一半，即，所以，故A錯誤；對于B，如圖，作點關(guān)于平面的對稱點，連接交平面于點，過點作平面的垂線交平面于點，作，因為平面，所以點，則，，，所以，故B正確；對于C，當(dāng)落在直線上時，由最小角定理可知，與所成的最小角即與平面所成角，即，所以，所以，即異面直線與所成角余弦最大為，故C正確；對于D，如圖，連接，因為是的中點，所以，同理，設(shè)平面交正四面體的棱于點，棱于點，棱于點，棱于點，所以，，，，所以，，又，，是平面內(nèi)的相交直線，則平面，所以，則，即四邊形為矩形，即平面截正四面體的截面為矩形.設(shè)，即，，即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以平面截該四面體截得的截面面積最大為1，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】25或13；【詳解】設(shè)公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，所以或，若，則，，則，，，，故13或25.13．【正確答案】【分析】首先確定，分別求出各自的概率，然后期望公式可求【詳解】記檢測次數(shù)為，則當(dāng)時，檢測的兩件產(chǎn)品均為正品或為次品，則，當(dāng)時，只需前兩件產(chǎn)品中正品和次品各一件，第三件無論是正品還是次品，都能確定所有次品，則，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)為的奇子集，則若，令，若，令為把中的去掉后剩下的元素形成的集合，則中的所有元素之和為偶數(shù)，可稱為偶子集，顯然每個奇子集，均恰有一個偶子集與之對應(yīng)，每個偶子集，均恰有一個奇子集與之對應(yīng)，故的奇子集與偶子集個數(shù)相等；對任一，含的子集共有個，用上面的對應(yīng)方法可知，在時，這個子集中有一半為奇子集，在時，由于，將上邊的3換成5，同樣可得其中有一半為奇子集，于是在計算奇子集元素之和時，含元素的和是，奇子集容量之和是.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由余弦定理可得，由正弦定理得，又因為，則有，因，，則，且，故．由余弦定理，，代入得，，因，則有，即得，故的面積．（2）由正弦定理，可得，且，代入化簡得：．因為鈍角，故由，可得，則，，即，故的取值范圍是16．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）設(shè)的中點為，連接，由為中點，得且，又且，則，，四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，所以平面.（2）取的中點，連接，取的中點，連接，，則且，由平面，得平面，則與平面所成的角為，即，，菱形中，，則，即，直線兩兩垂直，以點原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，由平面得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，因此，所以二面角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）直線的斜率之積為3，構(gòu)造方程求出，再將點代入方程即可；（2）設(shè)直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，由，所以，結(jié)合韋達(dá)定理，求出，再用點到直線距離計算即可.【詳解】（1）由題意可得，則直線的斜率，直線的斜率．因為直線的斜率之積為3，所以，解得．因為點在雙曲線上，所以，解得．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線聯(lián)立整理得則所以．因為，所以，所以即化簡得，故．由點到直線的距離公式可得，點到直線的距離．因為，所以，所以，即點到直線的距離的最大值是．18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，，令得：，當(dāng)時，f'x<0，時，f所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增所以時，.（2），，由得：，所以，問題即：有且僅有三個變號零點當(dāng)時，，故Fx在單調(diào)遞減，又，所以故此時Fx在有且僅有一個變號零點0，不合題意；當(dāng)時，所以在有唯一零點.Fx在遞增，遞減，故此時Fx在至多有兩個變號零點，不合題意；當(dāng)時，，，，所以在有兩個零點：，且時，，時，，時，，所以Fx在遞減，遞增，遞減，又，故，，又時，，因為的增長速度大于的增長速度，故，，于是，又，，所以，令，則，因為的增長速度大于的增長速度，故，，于是，所以Fx在，各有一個零點，，故此時Fx有三個零點：，0，，合題意：所以.19．【正確答案】(1)①數(shù)列不是M數(shù)列；②數(shù)列是M數(shù)列；理由見解析(2)證明見解析(3)的所有取值為4或5【詳解】（1）①因為，所以該數(shù)列不是M數(shù)列；②因為，所以該數(shù)列是M數(shù)列．（2）必要性：若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則．所以數(shù)列是常數(shù)列．充分性：若數(shù)列是常數(shù)列，則，即．所以或．因為數(shù)列的各項互不相同，所以．所以數(shù)列是等差數(shù)列．（3）當(dāng)時，因為，所以