【八年級下冊數學浙教版】第四章 平行四邊形（6類題型突破）

第四章平行四邊形（6類題型突破）題型一多邊形的內角和相關【例1】（2023秋?唐山期末）四邊形的內角和等于x°，五邊形的外角和等于y°，則下列關系成立的是（）A．x＝y(tǒng) B．x＝2y C．x＝y(tǒng)+180 D．y＝x+180【例2】（2022秋?綏陽縣期末）一個多邊形的內角和為540°，則該多邊形對角線一共有（）A．2條 B．3條 C．5條 D．10條【例3】（2023春?宣漢縣校級期末）一個多邊形的內角和與它的外角和的比為3：1，則這個多邊形的邊數為（）A．8 B．7 C．6 D．5【例4】（2023?樂陵市模擬）如圖所示，第四套人民幣中菊花1角硬幣，則該硬幣邊緣鐫刻的正九邊形的一個外角的度數為__________．【例5】（2023秋?黃岡期末）已知一個多邊形的每個外角都是45°，則這個多邊形的邊數為_______．【例6】（2023秋?新化縣期末）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D＝___________．【例7】（2023春?興隆縣期末）如圖，在五邊形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．（1）五邊形ABCDE的內角和為__________度；（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度數．鞏固訓練1．（2022秋?莊浪縣期末）一個多邊形的內角和為1800°，則這個多邊形的邊數為（）A．10 B．11 C．12 D．132．（2023?桐廬縣一模）一個多邊形的內角和是外角和的3倍，這個多邊形的邊數為（）A．5 B．6 C．7 D．83．（2023秋?荊門期末）如圖，五邊形ABCDE的一個內角，則∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．100° B．180° C．280° D．300°4．（2022秋?廉江市期末）已知一多邊形的內角和等于1440°，則這個多邊形是_______邊形．5．（2023秋?長沙期末）一個多邊形的內角和是其外角和的4倍，則這個多邊形的邊數是_________．6．（2023春?平湖市期中）已知一個多邊形的內角和是外角和的2倍．（1）求這個多邊形的邊數；（2）求這個多邊形的對角線條數．題型二平行四邊形的性質【例1】（2023秋?二道區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，∠A+∠C＝80°，則∠D＝（）A．80° B．40° C．70° D．140°【例2】（2023?義烏市校級開學）在?ABCD中，尺規(guī)作圖后留下的痕跡如圖所示，若AB＝3cm，AD＝10cm，則EF的長為（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【例3】（2023?定遠縣校級一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，連接OE，下列結論：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四邊形ABCD＝AC?CD；④S四邊形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例4】（2023春?舟山期末）如圖，在?ABCD中，點E，F分別在AD和AB上，依次連接EB，EC，FC，FD，陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S4，已知S1＝2，S2＝17，S3＝5，則S4＝_________．【例5】（2023春?巴中期末）如圖，在?ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點A正好落在CD邊上的點F處．若△FDE的周長為8，△FCB的周長為22，則FC的長為_______．【例6】（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，以CB，CD為邊作?DCBE，DE交AB于點F．（1）若∠A＝50°，求∠E的度數．（2）若AD＝3CD，BC＝6，求EF．【例7】（2023春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，在?ABCD中，過AC中點O的直線分別交CB，AD的延長線于點E，F．（1）求證：BE＝DF；（2）連結FC，若EF⊥AC，DF＝2，△FDC的周長為16，求?ABCD的周長．【例8】（2023?新昌縣模擬）如圖所示平行四邊形ABCD中，E，F分別是邊AD，BC上的點，且AE＝CF．（1）求證：BE＝DF；（2）連接AF，若AD＝DF，∠ADF＝40°，求∠AFB的度數．鞏固訓練1．（2023?玉環(huán)市校級開學）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，下列結論中一定成立的是（）A．AC⊥BD B．OA＝OC C．AC＝AB D．OA＝OB2．（2023秋?高青縣期末）如圖，?ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，動點E從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B運動，動點F從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿著CD向D運動，當點E到達點B時，兩個點同時停止．則EF的長為10cm時點E的運動時間是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s3．（2022秋?張店區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點E在AD上，∠EBA＝60°，則的值是（）A． B． C． D．4．（2023春?柯城區(qū)校級期中）如圖，在?ABCD中，P是CD邊上一點，且AP、BP分別平分∠DAB、∠CBA，若AD＝2.5，AP＝4，則?ABCD的面積是（）A．6 B．12 C． D．5．（2023春?衢江區(qū)期末）如圖，?ABCD的面積為18，點E在BC上，點F，G在AD上，則圖中陰影部分的面積為_______．6．（2023春?浙江期中）如圖，平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，且AB＝AE．（1）求證：△ABC≌△EAD；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝30°，BE＝，求∠AED的度數及平行四邊形ABCD的面積．7．（2023春?嵊州市期中）已知：如圖，AC，BD是?ABCD的兩條對角線，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F．求證：EO＝FO．8．（2023春?麗水期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，A，B，C是一個平行四邊形的三個頂點，畫出一個平行四邊形．（1）請用三角板畫出一個平行四邊形的示意圖；（2）若AC＝8，BC＝6，求出你所畫的平行四邊形兩條對角線的長．9．（2023春?余姚市期中）如圖，在?ABCD中，∠ABC＝45°，過點A作AE⊥CD于點E，且，連接BE，延長EA至點F，連接DF，使∠F＝∠BEC，若AE＝2，求DF的長．10．（2023春?東陽市期中）如圖，在直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形OABC是平行四邊形，點A的坐標為（14，0），點B的坐標為（18，）．（1）求點C的坐標和平行四邊形OABC的對稱中心的點的坐標；（2）動點P從點O出發(fā)，沿OA方向以每秒1個單位的速度向終點A勻速運動，動點Q從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個單位的速度向終點B勻速運動，一點到達終點時另一點停止運動．設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△PQC的面積是平行四邊形OABC的一半？（3）當△PQC的面積是平行四邊形OABC面積的一半時，在平面直角坐標系中找到一點M，使以M、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標．題型三平行四邊形的判定【例1】（2022秋?臺江區(qū)校級期末）下列圖形中，一定可以拼成平行四邊形的是（）A．兩個等腰三角形 B．兩個全等三角形 C．兩個銳角三角形 D．兩個直角三角形【例2】（2023春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列不能判定其為平行四邊形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC【例3】（2023春?東陽市期末）平面直角坐標系內有點A（0，0），B（2，2），C（6，0）三點，請確定一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標不可以是（）A．（﹣4，2） B．（4，﹣2） C．（8，2） D．（2，﹣2）【例4】（2023春?柯城區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，有四個點O（0，0），A（3，0），B（1，2），C（x，2），若以O，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則x＝___________．【例5】（2020春?渭濱區(qū)期末）如圖在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A（1，3），B（2，1），直角坐標系中存在點C，使得點O，A，B，C四點構成平行四邊形，則C點坐標為_______．【例6】（2023春?西湖區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，過點A作AD∥BC，且點D在點A的右側，點P，Q分別是射線AD，射線CB上的一點，點E是線段CQ上的點，且CQ＝2AP，設AP＝x，CE為y，則y＝2x﹣2．當點Q為BC中點時，y＝3．（1）BC＝_________．（2）當AP＝___________時，使得以A，B，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形．【例7】（2022春?金華期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣2，0），B（2，3），C（0，4）．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）點D為平面直角坐標系中的點，以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，寫出所有滿足條件的點D的坐標．【例8】（2023春?柯橋區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，點F為AC的中點，連接FD并延長至點E，使FD＝DE，連接BF，CE和BE．證明：四邊形BECF為平行四邊形．【例9】（2022春?吳興區(qū)校級期中）四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O為對角線AC的中點，過O點作直線EF，交DA的延長線于點E，交BC的延長線于點F．求證：四邊形AECF是平行四邊形．鞏固訓練1．（2023春?西湖區(qū)期中）已知四邊形ABCD，有以下四個條件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．從這四個條件中選兩個，下列不能確定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④2．（2023春?方城縣期末）如圖，點A是直線l外一點，在l上取兩點B、C，分別以A、C為圓心，BC、AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，分別連接AB、AD、CD，則四邊形ABCD是平行四邊形．其依據是（）A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形3．（2022春?海曙區(qū)期中）在平面直角坐標系中，A（﹣1，1），B（3，2），C（2m，3m+1），點D在直線y＝﹣1上，若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為______________________．4．（2021春?余姚市校級期中）在如圖的網格中，以格點A、B、C、D、E、F中的4個點為頂點，你能畫出平行四邊形的個數為_______個．5．（2021春?乾安縣期中）如圖，點E，F是?ABCD對角線上兩點，在條件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，選擇一個條件添加，使四邊形DEBF是平行四邊形可添加的條件有__________（寫出所有正確條件的序號）6．（2023春?雁塔區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中點，點P以每秒1個單位長度的速度從A點出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動，點P停止運動時，點Q也隨之停止運動．當運動時間t＝_______秒時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．7．（2023?天心區(qū)校級三模）如圖，已知AC＝AE，BC＝BE，BC∥AD，CD⊥CE．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AD＝CD＝5，AC＝6，求CE的長．8．（2022?濱江區(qū)二模）在①AD＝BC，②AD∥BC，③∠BAD＝∠BCD這三個條件中選擇其中一個你認為合適的，補充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，OA＝OC，若_______（請?zhí)钚蛱枺笞C：四邊形ABCD為平行四邊形．9．（2022春?余姚市校級期中）如圖，E，F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．求證：（1）△AFD≌△CEB；（2）四邊形ABCD是平行四邊形．題型四平行四邊形的性質與判定的綜合【例1】（2023春?海曙區(qū)期末）在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，若∠B＝55°，則∠D的度數是（）A．145° B．125° C．55° D．35°【例2】（2023?陽山縣二模）如圖1，直線l1∥l2，直線l3分別交直線l1，l2于點A，B．小嘉在圖1的基礎上進行尺規(guī)作圖，得到如圖2，并探究得到下面兩個結論：①四邊形ABCD是鄰邊不相等的平行四邊形；②四邊形ABCD是對角線互相垂直的平行四邊形．下列判斷正確的是（）A．①②都正確 B．①錯誤，②正確 C．①②都錯誤 D．①正確，②錯誤【例3】（2023春?乾縣期末）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC邊的中點，G、H是對角線BD上的兩點，且BG＝DH．有下列結論：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四邊形EGFH是平行四邊形；④EG＝FH．則正確的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例4】（2023春?井研縣期末）如圖，E是?ABCD的邊AB上的點，Q是CE中點，連接BQ并延長交CD于點F，連接AF與DE相交于點P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，則陰影部分的面積為（）cm2A．24 B．17 C．13 D．10【例5】（2023春?東陽市期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（9，0），點C的坐標為（3，3），四邊形OABC是平行四邊形，點D、E份別在邊OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．動點P、Q在平行四邊形OABC的一組鄰邊上，以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，其面積為______________________．【例6】（2023春?寬甸縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，且AO＝OC，過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F．（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；（2）連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度數．【例7】（2023秋?拱墅區(qū)月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，，求AD的長．【例8】（2022秋?泰山區(qū)校級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對角線過A，C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F，延長AE，CF分別交CD，AB于M，N．（1）求證：四邊形CMAN是平行四邊形；（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的長．【例9】（2023春?渠縣期末）如圖，在?ABCD中，E，F是直線BD上的兩點，DE＝BF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的長．【例10】（2022秋?招遠市期末）如圖，在?ABCD中，已知AD＝15cm，點P在AD上以1cm/s的速度從點A向點D運動，點Q在BC上以4cm/s的速度從點C出發(fā)往返運動，兩點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止運動（同時點Q也停止），設運動時間為t（s）（t＞0）．（1）當點P運動t秒時，線段PD的長度為_____________cm；當點P運動2秒時，線段BQ的長度為_______cm；當點P運動5秒時，線段BQ的長度為_______cm；（2）若經過t秒，以P、D、Q、B四點為頂點的四邊形是平行四邊形．請求出所有t的值．【例11】（2023?鹿城區(qū)校級二模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，AE與CF相交于點G，連接GD，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；（2）若AG＝3，DG＝5，求四邊形ABCD的面積．鞏固訓練1．（2023春?上虞區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，點E，F分別在邊BC，AD上，連結AE，CF，AC，EF，添加下列條件后不能使四邊形AECF成為平行四邊形的是（）A．BE＝DF B．AE∥CF C．OE＝OF D．AF＝AE2．（2022?舟山）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8．點E，F，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長是（）A．32 B．24 C．16 D．83．（2022春?杭州期中）如圖，在?ABCD中，點E、F分別在CD、BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BF，CF＝，EF＝3，則AB的長是（）A． B．1 C． D．4．（2022春?子洲縣期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，點E為BC延長線上一點，連接AE，AE交CD于點H，∠DCE的平分線交AE于點G．若AB＝2AD＝10，點H為CD的中點，HE＝6，則AC的值為（）A．9 B． C．10 D．35．（2023春?嵊州市期末）如圖，在△ABC中，AH⊥BC于點H，其中D，E，F分別是BC，AC，AB的中點，下列三個結論：①四邊形BDEF是平行四邊形；②△DEF≌△HFE；③S△DFH+S△HEC＝S△BDF．其中正確的結論是__________．（填上相應的序號即可）6．（2023春?濱江區(qū)校級期中）如圖，延長△ABC的邊BC至點D，使得CD＝BC，過AC的中點E作EF∥CD（點F位于點E的右側），且EF＝2CD，連結DF，若AB＝，則DF＝______________________．7．（2023?菏澤一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點，分別聯結DE、EF、DF、AE，點O是AE與DF的交點，下列結論中，正確的個數是（）①△DEF的周長是△ABC周長的一半；②AE與DF互相平分；③如果∠BAC＝90°，那么點O到四邊形ADEF四個頂點的距離相等；④如果AB＝AC，那么點O到四邊形ADEF四條邊的距離相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2022春?洋縣期末）如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和等邊△ACE，F為AB的中點，連接DF、EF，DE與AB相交于點G，若∠BAC＝30°，下列結論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為平行四邊形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正確結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2023春?越城區(qū)期中）已知：如圖，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，EF與BD相交于點O，AE＝CF．求證：BD、EF互相平分．10．（2023春?東陽市期末）如圖所示，在?ABCD中，點E，點F分別是AD，BC的中點，連接BE，DF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形．（2）若BC＝2，∠C＝105°，∠CBE＝45°，求線段DF的長度．11．（2023春?金東區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別是AB，AC的中點，連結CD，過點E作EF∥DC交BC的延長線于點F．（1）證明：四邊形CDEF是平行四邊形．（2）若四邊形CDEF的周長是18，AC的長為12，求線段AB的長度．12．（2023?溫州二模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D，E分別為AB，AC的中點，延長DE至F，使EF＝2DE，連結BE，CF，BF，其中BF與AC相交于G．（1）求證：四邊形BCFE是平行四邊形．（2）已知BE＝3，EG＝DE，求BF的長．13．（2023春?拱墅區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，過點C作CF∥AB交DE的延長線于點F，連接BE．（1）求證：四邊形BCFD是平行四邊形；（2）當AB＝BC時，若BD＝2，BE＝3，求：①AC的長；②四邊形BCFD的面積．14．（2023春?鄞州區(qū)校級期中）如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別為AD，BC的中點，點G，H在對角線BD上，且BG＝DH．（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形．（2）如圖2，連結AC交BD于點O，若AC⊥EH，OH＝BH，OH＝2，求AB的長．題型五三角形的中位線【例1】（2023秋?鹿城區(qū)期中）如圖，BD是等腰△ABC底邊AC邊上的中線，ED∥AB，∠C＝65°，則∠BDE度數是（）A．24° B．25° C．30° D．35°【例2】（2023秋?南安市期末）如圖，DE是△ABC的中位線，若BC＝8，則DE的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【例3】（2023秋?錢塘區(qū)期末）中國古代數學家劉徽在《九章算術注》中，給出了證明三角形面積公式的出入相補法．如圖，在△ABC中，分別取AB，AC的中點D，E，連接DE，過點A作AF⊥DE，垂足為F，將△ABC分割后拼接成長方形BCHG．若DE＝5，AF＝3，則△ABC的面積是（）A．20 B．25 C．30 D．35【例4】（2023春?寬甸縣期末）如圖，點P是△ABC內一點，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，點D，E，F，G分別是AP，BP，BC，AC的中點，若四邊形DEFG的周長為28，則AP長為（）A．13 B．9 C．5 D．4【例5】（2023春?柯城區(qū)校級期中）如圖，已知△ABC的周長為1，連結△ABC三邊的中點構成第二個三角形，再連結第二個三角形三邊的中點構成第三個三角形，依此類推，則第2023個三角形的周長為______________________．【例6】（2023春?義烏市期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，點D是邊AC上一點，且AD＝AB，連結BD，過點A作∠BAD的角平分線AE交BD于點E．若點F是邊BC的中點，連結EF，則EF的長為____________________．【例7】（2023春?梁園區(qū)期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，點D、E分別是AC、BC的中點，連接DE，在DE上有一點F，EF＝1cm，連接AF，CF，若AF⊥CF，則AB＝__________．【例8】（2023?鄒城市模擬）如圖，∠MAN＝90°，點C在邊AM上，AC＝2，點B為邊AN上一動點，連接BC，△A′BC與△ABC關于BC所在的直線對稱，點D，E分別為AB，BC的中點，連接DE并延長交A′C所在直線于點F，連接A′E，當△A′EF為直角三角形時，AB的長為______________________．【例9】（2023秋?蒼南縣期中）如圖，在△ABC中，，AD是BC邊上的高，若點E是AC的中點．（1）求證：DE∥AB．（2）連結BE交AD于點F，若∠CBE＝30°，求BE的長．【例10】（2023?杭州二模）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F為CE中點，若AE＝AD，DF＝2．（1）求證：DE為∠ADF的角平分線；（2）求BD的長．【例11】（2020秋?肇源縣期末）在△ABC中，點M是邊BC的中點，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延長線交AC于點E，AB＝12，AC＝20．（1）求證：BD＝DE；（2）求DM的長．鞏固訓練1．（2023春?義烏市月考）如圖，BD、CE是△ABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點，則PQ：BC等于（）A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：72．（2022秋?東平縣期末）如圖，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，則AC的值為（）A．6 B． C．7 D．83．（2023秋?昆明期中）如圖，已知△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點．若△ABC的面積等于12，則△BDE的面積等于_______．4．（2023?黃岡一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點N是BC邊上一點，點M為AB邊上的動點，點D、E分別為CN，MN的中點，則DE的最小值是____________________．5．（2023春?新田縣期末）如圖，點A，B為定點，定直線l∥AB，P是l上一動點，點M，N分別為PA，PB的中點，對于下列各值：①線段MN的長；②△PAB的周長；③∠APB的大小；④直線MN，AB之間的距離．其中會隨點P的移動而不改變的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④6．（2023春?紹興期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，E，F分別是AD，CD的中點，連接BE，BF，EF，若四邊形ABCD的面積為，則△BEF的面積為（）A． B． C． D．37．（2023春?寧波期末）如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，點D在AC邊上，AD＝BC，點E是CD的中點，點F是AB的中點，若AD＝2，則EF的長為（）A．1 B． C． D．8．（2023春?鄞州區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，點E，F分別是邊AD，BC的中點，連接EF，則EF的長是（）A．3 B． C． D．9．（2019?鐵西區(qū)一模）如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O，點E是CD的中點，BD＝12，求△DOE的周長．10．（2023?鹿城區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，點E，F分別為AC，BC的中點，點D為BC上一點，連結AD交EF于點G，已知AE＝EG．（1）求證：∠CAD＝∠BAD；（2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度數．11．（2021秋?偃師市期中）在△ABC中，D、E分別是AB，AC的中點，作∠B的角平分線（1）如圖1，若∠B的平分線恰好經過點E，猜想△ABC是怎樣的特殊三角形，并說明理由．（2）如圖2，若∠B的平分線交線段DE于點F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的長度．（3）若∠B的平分線交直線DE于點F，直接寫出AB、BC、EF三者之間的數量關系．題型六反證法【例1】（2023秋?新安縣期末）用反證法證明“若ab＝0，則a，b中至少有一個為0”時，第一步應假設（）A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0【例2】（2023春?西湖區(qū)期中）用反證法證明命題“三角形中必有一個內角不小于60°”時，首先應假設：這個三角形中（）A．有一個內角小于60° B．有一個內角大于60° C．每一個內角都小于60° D．每一個內角都大于60°【例3】（2023秋?北侖區(qū)期中）要說明命題“若ab＝0，則a+b＝0”是假命題，可舉反例______________________．【例4】（2023春?上城區(qū)校級期中）用反證法證明“在同一平面內，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”時，應假設__________________．鞏固訓練1．（2023?攸縣一模）已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°，下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內角和為180°矛盾②因此假設不成立．∴∠B＜90°③假設在△ABC中，∠B≥90°④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個步驟正確的順序應是（）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②2．（2023?射洪市校級一模）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應假設直角三角形中（）A．兩銳角都大于45° B．有一個銳角小于45° C．有一個銳角大于45° D．兩銳角都小于45°3．（2022秋?古縣期末）用反證法證明“在三角形中至少有一個內角大于或等于60°”，應先假設命題不成立，即三角形的三個內角都_________60°（填“＞”、“＜”或“＝”）．4．（2022秋?嵩縣期末）反證法是數學中經常運用的一類“間接證明法”．用反證法證明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°．”時，第一步應假設_____________．5．（2022春?鹽湖區(qū)期中）用反證法證明“三角形的三個內角中至多有一個鈍角”時，應假設__________________．

第四章平行四邊形（6類題型突破）答案全解全析題型一多邊形的內角和相關【例1】．（2023秋?唐山期末）四邊形的內角和等于x°，五邊形的外角和等于y°，則下列關系成立的是（）A．x＝y(tǒng) B．x＝2y C．x＝y(tǒng)+180 D．y＝x+180【分析】根據多邊形的內角和定理與多邊形外角的關系即可得出結論．【解答】解：∵四邊形的內角和等于x°，∴x°＝（4﹣2）?180°＝360°．∵五邊形的外角和等于y°，∴y°＝360°，∴x＝y(tǒng)．故選：A．【例2】．（2022秋?綏陽縣期末）一個多邊形的內角和為540°，則該多邊形對角線一共有（）A．2條 B．3條 C．5條 D．10條【分析】設多邊形的邊數為n，根據題意得出（n﹣2）×180°＝540°，求出邊數，再求出對角線條數即可．【解答】解：設多邊形的邊數為n，則（n﹣2）×180°＝540°，解得：n＝5，所以這個多邊形的對角線的條數＝5．故選：C．【例3】．（2023春?宣漢縣校級期末）一個多邊形的內角和與它的外角和的比為3：1，則這個多邊形的邊數為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】利用多邊形的內角和與外角和定理得到[（n﹣2）×180°]：360°＝3：1，然后解方程即可．【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，根據題意得[（n﹣2）×180°]：360°＝3：1，解得n＝8，即這個多邊形的邊數為8．故選：A．【例4】．（2023?樂陵市模擬）如圖所示，第四套人民幣中菊花1角硬幣，則該硬幣邊緣鐫刻的正九邊形的一個外角的度數為40°．【分析】利用外角和除以外角的個數即可得到答案．【解答】解：正九邊形的一個外角的度數為360°÷9＝40°，故答案為：40°．【例5】．（2023秋?黃岡期末）已知一個多邊形的每個外角都是45°，則這個多邊形的邊數為八．【分析】根據多邊形的外角和是360°求解即可．【解答】解：∵360÷45＝8（邊），∴多邊形的邊數為八，故答案為：八．【例6】．（2023秋?新化縣期末）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D＝225°．【分析】連接AD，BC，根據三角形內角和、四邊形內角和求解即可．【解答】解：連接AD，BC，四邊形ABCD中，∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝360°，∵∠DEA+∠EAD+∠ADE＝180°，∠DEA＝105°，∴∠EAD+∠ADE＝180°﹣105°＝75°，∵∠CFB+∠FCB+∠FBC＝180°，∠CFB＝120°，∴∠FCB十∠FBC＝180°﹣120°＝60°，∴∠DCF+∠ABF+∠EAB+∠EDC＝360°﹣（∠EAD+∠ADE）﹣（∠FCB+∠FBC）＝360°﹣75°﹣60°＝225°，故答案為：225°．【例7】．（2023春?興隆縣期末）如圖，在五邊形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．（1）五邊形ABCDE的內角和為540度；（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度數．【分析】（1）根據多邊形內角和公式求出即可；（2）求出∠EAB+∠ABC，根據角平分線定義求出∠PAB+∠PBA，即可求出答案．【解答】解：（1）五邊形ABCDE的內角和為（5﹣2）×180°＝540°，故答案為：540；（2）∵在五邊形ABCDE中，∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E＝540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，∴∠EAB+∠ABC＝230°，∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，∴∠PAB＝∠EAB，∠PBA＝∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝115°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝65°．鞏固訓練1．（2022秋?莊浪縣期末）一個多邊形的內角和為1800°，則這個多邊形的邊數為（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】由多邊形內角和定理，即可求解．【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，由題意得：（n﹣2）×180°＝1800°，∴n＝12．故選：C．2．（2023?桐廬縣一模）一個多邊形的內角和是外角和的3倍，這個多邊形的邊數為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】設這個多邊形的邊數為x，根據多邊形的邊數與內角和的關系以及任意多邊形的外角和等于360度，得180°（x﹣2）＝360°×3，從而解決此題．【解答】解：設這個多邊形的邊數為x．由題意得，180°（x﹣2）＝360°×3．∴x＝8．∴這個多邊形的邊數為8．故選：D．3．（2023秋?荊門期末）如圖，五邊形ABCDE的一個內角，則∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．100° B．180° C．280° D．300°【分析】由題意可求得與∠BAE相鄰的外角的度數，然后利用多邊形的外角和列式計算即可．【解答】解：由圖形可得，與∠BAE相鄰的外角的度數為180°﹣120°＝60°，則∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣60°＝300°，故選：D．4．（2022秋?廉江市期末）已知一多邊形的內角和等于1440°，則這個多邊形是十邊形．【分析】根據多邊形內角和公式180°（n﹣2），設多邊形邊數為n，再列方程180（n﹣2）＝1440，解方程即可．【解答】解：設多邊形邊數為n，由題意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10．故答案為：十．5．（2023秋?長沙期末）一個多邊形的內角和是其外角和的4倍，則這個多邊形的邊數是10．【分析】設這個多邊形的邊數為n，根據內角和公式以及多邊形的外角和為360°即可列出關于n的一元一次方程，解方程即可得出結論．【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，則該多邊形的內角和為（n﹣2）×180°，依題意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，解得：n＝10，∴這個多邊形的邊數是10．故答案為：10．6．（2023春?平湖市期中）已知一個多邊形的內角和是外角和的2倍．（1）求這個多邊形的邊數；（2）求這個多邊形的對角線條數．【分析】（1）設這個多邊形的邊數為n，根據多邊形的內角和是（n﹣2）?180°，外角和是360°，列出方程，求出n的值即可；（2）根據對角線的計算公式即可得出答案．【解答】解：（1）設這個多邊形的邊數為n，根據題意，得：（n﹣2）×180°＝360°×2，解得n＝6，答：這個多邊形的邊數是6；（2）六邊形的對角線條數為：×6×（6﹣3）＝9（條），答：這個多邊形對角線為9條．題型二平行四邊形的性質【例1】．（2023秋?二道區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，∠A+∠C＝80°，則∠D＝（）A．80° B．40° C．70° D．140°【分析】由平行四邊形的性質得∠A＝∠C，AB∥CD，則∠A+∠D＝180°，再求出∠A＝40°，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故選：D．【例2】．（2023?義烏市校級開學）在?ABCD中，尺規(guī)作圖后留下的痕跡如圖所示，若AB＝3cm，AD＝10cm，則EF的長為（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【分析】由平行四邊形的性質得出AB＝CD＝3cm，AD∥BC，再由尺規(guī)作圖后留下的痕跡可知，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，推出∠ABE＝∠AEB，∠DCF＝∠DFC，得出AE＝AB＝3cm，CD＝DF＝3cm，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC，由尺規(guī)作圖后留下的痕跡可知，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF，∴∠ABE＝∠AEB，∠DCF＝∠DFC，∴AE＝AB＝3cm，CD＝DF＝3cm，∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝10﹣3﹣3＝4（cm），故選：C．【例3】．（2023?定遠縣校級一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，連接OE，下列結論：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四邊形ABCD＝AC?CD；④S四邊形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】結合平行四邊形的性質可證明△ABE為等邊三角形，由BC＝AD＝2AB，可判斷①，證明∠BAC＝90°，可判斷②；由平行四邊形的面積公式可判斷③；利用三角形中線的性質結合三角形的面積可求解判斷④，由三角形中位線定理可求AB＝2OE，即可判斷⑤，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE為等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵BC＝AD＝2AB，∴EC＝AE＝BE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正確；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②錯誤；∴S?ABCD＝AB?AC＝AC?CD，故③正確；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中點，∴S△BEO：S△BCD＝1：4，∴S四邊形OECD：S△BCD＝3：4，∴S四邊形OECD：S?ABCD＝3：8，∵S△AOD：S?ABCD＝1：4，∴S四邊形OECD＝S△AOD，故④正確．∵AO＝OC，BE＝EC，∴AB＝2OE，∵AD＝2AB，∴OE＝AD，故⑤正確，故選：D．【例4】．（2023春?舟山期末）如圖，在?ABCD中，點E，F分別在AD和AB上，依次連接EB，EC，FC，FD，陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S4，已知S1＝2，S2＝17，S3＝5，則S4＝10．【分析】陰影部分S2是△CDF與△CBE的公共部分，而S1，S4，S3這三塊是平行四邊形中沒有被△CDF與△CBE蓋住的部分，故△CDF面積+△CBE面積+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四邊形ABCD的面積，而△CDF與△CBE的面積都是平行四邊形ABCD面積的一半，據此求得S4的值．【解答】解：設平行四邊形的面積為S，則，由圖形可知，△CDF面積+△CBE面積+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四邊形ABCD的面積，∴S＝S△CBE+S△CDF+2+S4+5﹣17，即，解得S4＝10，故答案為：10．【例5】．（2023春?巴中期末）如圖，在?ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點A正好落在CD邊上的點F處．若△FDE的周長為8，△FCB的周長為22，則FC的長為7．【分析】根據折疊的性質可得EF＝AE、BF＝BA，從而?ABCD的周長可轉化為：△FDE的周長+△FCB的周長，求出AB+BC，再由△FCB的周長為22，求出FC的長，即可解決問題．【解答】解：由折疊的性質可得EF＝AE、BF＝AB，∴?ABCD的周長＝DF+FC+CB+BA+AE+DE＝△FDE的周長+△FCB的周長＝8+22＝30，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB+BC＝15，∵△FCB的周長＝CF+BC+BF＝CF+BC+AB＝22，即FC+15＝22，∴FC＝7，故答案為7．【例6】．（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，以CB，CD為邊作?DCBE，DE交AB于點F．（1）若∠A＝50°，求∠E的度數．（2）若AD＝3CD，BC＝6，求EF．【分析】（1）根據等腰三角形的性質可求∠C，再根據平行四邊形的性質可求∠E；（2）由平行線分線段成比例求得DF的長度，則EF＝ED﹣DF．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴∠E＝∠C＝65°；（2）∵AD＝3CD，∴＝．∵四邊形DCBE是平行四邊形，∴DE∥BC，DE＝BC＝6．∴＝＝．∴DF＝BC．∵BC＝6，∴DF＝．∴EF＝ED﹣DF＝6﹣＝．【例7】．（2023春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，在?ABCD中，過AC中點O的直線分別交CB，AD的延長線于點E，F．（1）求證：BE＝DF；（2）連結FC，若EF⊥AC，DF＝2，△FDC的周長為16，求?ABCD的周長．【分析】（1）依據平行四邊形的性質，即可得出△AOF≌△COE，依據全等三角形的性質，可得AF＝CE，即可得到BE＝DF；（2）依據EF垂直平分AC，即可得出AF＝CF，再根據△FDC的周長為16，即可得到DF+CF+CD＝16，則AD+CD＝12，進而得到?ABCD的周長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AO＝CO，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠E＝∠F，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AF﹣AD＝CE﹣BC，∴BE＝DF；（2）解：連接CF，∵EF⊥AC，AO＝CO，∴EF垂直平分AC，∴AF＝CF，∵△FDC的周長為16，∴DF+CF+CD＝16，即2+AD+2+CD＝16，∴AD+CD＝12，∴?ABCD的周長為2（AD+CD）＝24．【例8】．（2023?新昌縣模擬）如圖所示平行四邊形ABCD中，E，F分別是邊AD，BC上的點，且AE＝CF．（1）求證：BE＝DF；（2）連接AF，若AD＝DF，∠ADF＝40°，求∠AFB的度數．【分析】（1）證明四邊形BEDF是平行四邊形即可解決問題．（2）利用等腰三角形的性質求出∠DAF即可解決問題．【解答】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE∥BF，DE＝BF∴四邊形BEDF是平行四邊形∴BE＝DF．（2）∵AD＝DF，∠ADF＝40°∴∠DAF＝∠AFD＝70°∵AD∥BC∴∠AFB＝∠FAD＝70°．鞏固訓練1．（2023?玉環(huán)市校級開學）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，下列結論中一定成立的是（）A．AC⊥BD B．OA＝OC C．AC＝AB D．OA＝OB【分析】根據平行四邊形的性質解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB＝DC，故A、C、D錯誤，不符合題意；故選：B．2．（2023秋?高青縣期末）如圖，?ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，動點E從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B運動，動點F從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿著CD向D運動，當點E到達點B時，兩個點同時停止．則EF的長為10cm時點E的運動時間是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【分析】過點D作DG⊥AB于點G，由∠A＝45°，可得△ADG是等腰直角三角形，過點F作FH⊥AB于點H，得矩形DGHF，利用勾股定理得EH＝6cm，由題意可得AE＝2tcm，CF＝tcm，然后分兩種情況列方程求出t的值即可．【解答】解：在?ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如圖，過點D作DG⊥AB于點G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，過點F作FH⊥AB于點H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，當F點在E點左側時，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵點E到達點B時，兩點同時停止運動，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合題意，舍去，∴EF的長為10cm時點E的運動時間是8s，故選：C．3．（2022秋?張店區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點E在AD上，∠EBA＝60°，則的值是（）A． B． C． D．【分析】由平行四邊形的性質可求∠ADB＝30°，由直角三角形的性質可求DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，即可求解．【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AD于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠ADC＝105°，∴∠DAB＝75°，∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝75°，∴∠BDA＝30°，∴BD＝2BH＝AD，DH＝BH，∴AH＝2BH﹣BH，∵∠EBA＝60°，∴∠BEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ABE＝45°，∴∠EBH＝45°＝∠BEH，∴BH＝EH，∴DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，∴＝，故選：D．4．（2023春?柯城區(qū)校級期中）如圖，在?ABCD中，P是CD邊上一點，且AP、BP分別平分∠DAB、∠CBA，若AD＝2.5，AP＝4，則?ABCD的面積是（）A．6 B．12 C． D．【分析】由平行四邊形的性質得CD∥AB，AD∥BC，BC＝AD＝2.5，則∠DPA＝∠BAP，∠CPB＝∠ABP，∠DAB+∠CBA＝180°，而∠DAP＝∠BAP＝∠DAB，∠CBP＝∠ABP＝∠CBA，所以∠DPA＝∠DAP，∠CPB＝∠CBP，∠BAP+∠ABP＝90°，則PD＝AD＝2.5，PC＝BC＝2.5，∠APB＝90°，所以AB＝DC＝5，由勾股定理得BP＝＝3，則S△ABP＝AP?BP＝6，S?ABCD＝2S△ABP＝12，于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，AD∥BC，BC＝AD＝2.5，∴∠DPA＝∠BAP，∠CPB＝∠ABP，∠DAB+∠CBA＝180°，∵AP、BP分別平分∠DAB、∠CBA，∴∠DAP＝∠BAP＝∠DAB，∠CBP＝∠ABP＝∠CBA，∴∠DPA＝∠DAP，∠CPB＝∠CBP，∠BAP+∠ABP＝（∠DAB+∠CBA）＝90°，∴PD＝AD＝2.5，PC＝BC＝2.5，∠APB＝90°，∴AB＝DC＝2.5+2.5＝5，∵AP＝4，∴BP＝＝＝3，∴S△ABP＝AP?BP＝×4×3＝6，∴S?ABCD＝2S△ABP＝2×6＝12，故選：B．5．（2023春?衢江區(qū)期末）如圖，?ABCD的面積為18，點E在BC上，點F，G在AD上，則圖中陰影部分的面積為9．【分析】由平行四邊形的性質得AD∥BC，設AD與BC之間的距離為h，則S?ABCD＝h?BC，而S△FBE+S△GCE＝h?BE+h?CE＝h?BC，所以S△FBE+S△GCE＝S?ABCD，即可求得圖中陰影部分的面積為9，于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，設AD與BC之間的距離為h，則S?ABCD＝h?BC，∵S△FBE+S△GCE＝h?BE+h?CE＝h?BC，∴S△FBE+S△GCE＝S?ABCD＝×19＝9，∴圖中陰影部分的面積為9，故答案為：9．6．（2023春?浙江期中）如圖，平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，且AB＝AE．（1）求證：△ABC≌△EAD；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝30°，BE＝，求∠AED的度數及平行四邊形ABCD的面積．【分析】（1）由已知條件可知△ABC和△EAD中已經有一條邊和一個角分別相等，根據平行的性質和等邊對等角得出∠B＝∠DAE即可證明；（2）有（1）和給出的條件可求出∠AED的度數，過點A作AE⊥BC于H，根據給出的數據和平行四邊形的面積公式即可求出平行四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．∴△ABC≌△EAD．（2）解：過點A作AE⊥BC于H，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵AB＝AE，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∵∠EAC＝30°，∴∠BAC＝90°，∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC＝90°，∵BE＝2，∴AH＝3，∵AB＝BC，∴BC＝4，∴S四邊形ABCD＝3×4＝12．7．（2023春?嵊州市期中）已知：如圖，AC，BD是?ABCD的兩條對角線，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F．求證：EO＝FO．【分析】根據平行四邊形的性質得出AB＝CD，AB∥CD，根據平行線的性質得出∠ABE＝∠CDF，求出∠AEB＝∠CFD＝90°，根據AAS推出△ABE≌△CDF，得出對應邊相等即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵OB＝OD，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，∴OE＝OF．8．（2023春?麗水期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，A，B，C是一個平行四邊形的三個頂點，畫出一個平行四邊形．（1）請用三角板畫出一個平行四邊形的示意圖；（2）若AC＝8，BC＝6，求出你所畫的平行四邊形兩條對角線的長．【分析】（1）由題意畫出圖形即可；（2）由勾股定理可得出答案；【解答】解：（1）如圖所示：方法一：方法二：方法三：（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，方法一（圖①）：連結BD交AC于點O，則OB＝＝2，∴對角線，AC＝8．方法二（圖②）：對角線AB＝CD＝10．方法三（圖③）：連結AD交BC于點O，∴，∴對角線，BC＝6．9．（2023春?余姚市期中）如圖，在?ABCD中，∠ABC＝45°，過點A作AE⊥CD于點E，且，連接BE，延長EA至點F，連接DF，使∠F＝∠BEC，若AE＝2，求DF的長．【分析】由平行四邊形的性質得∠ADC＝∠ABC＝45°，AD＝CB，而∠AED＝90°，則∠EAD＝∠EDA＝45°，所以DE＝AE＝2，再證明∠DAF＝∠BCE＝135°，進而證明△DAF≌△BCE，得AF＝CE＝DE＝1，則EF＝3，即可根據勾股定理求得DF＝＝．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝45°，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，AD＝CB，∵AE⊥CD于點E，∴∠AED＝90°，∴∠EAD＝∠EDA＝45°，∴DE＝AE＝2，∵AB∥CD，∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠DAF＝180°﹣∠EAD＝135°，∴∠DAF＝∠BCE，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS），∴AF＝CE＝DE＝×2＝1，∴EF＝AE+AF＝2+1＝3，∴DF＝＝＝，∴DF的長是．10．（2023春?東陽市期中）如圖，在直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形OABC是平行四邊形，點A的坐標為（14，0），點B的坐標為（18，）．（1）求點C的坐標和平行四邊形OABC的對稱中心的點的坐標；（2）動點P從點O出發(fā)，沿OA方向以每秒1個單位的速度向終點A勻速運動，動點Q從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個單位的速度向終點B勻速運動，一點到達終點時另一點停止運動．設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△PQC的面積是平行四邊形OABC的一半？（3）當△PQC的面積是平行四邊形OABC面積的一半時，在平面直角坐標系中找到一點M，使以M、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標．【分析】（1）根據平行四邊形與直角坐標系中坐標的性質，可直接寫出點C的坐標；平行四邊形OABC的對稱中心即是對角線的中點；（2）S△PQC＝S?ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S?ABCD，根據三角形的面積公式列出方程，繼而求出此時的t值即可；（3）根據（2）中得出的t值，找出此時點P和Q的位置，然后根據平行四邊形的性質直接寫出點M的坐標即可．【解答】解：（1）∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AO＝BC＝14，∵點A的坐標為（14，0），點B的坐標為（18，），∴點C的坐標為（4，4），平行四邊形OABC的對稱中心的點的坐標為（9，2）．（2）根據題意得：S△PQC＝S?ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S?ABCD，∴×14×＝×t×4+（14﹣t）×t+×14×（4﹣t）化簡得：t2﹣2t＝0，解得：t＝4，即當點P運動4秒時，△PQC的面積是平行四邊形OABC的一半．t＝0秒時，△PQC的面積是平行四邊形OABC的一半．綜上所述，t＝4或t＝0時，△PQC的面積是平行四邊形OABC的一半．（3）①t＝4時，由（2）知，此時點Q與點B重合，畫出圖形如下所示，根據平行四邊形的性質，可知點M1的坐標為M1（18，0），M2（﹣10，0），M3（18，8）．t＝0時，同法可得：M（18，4）或（﹣10，4）或（10，﹣4）．題型三平行四邊形的判定【例1】．（2022秋?臺江區(qū)校級期末）下列圖形中，一定可以拼成平行四邊形的是（）A．兩個等腰三角形 B．兩個全等三角形 C．兩個銳角三角形 D．兩個直角三角形【分析】因在拼組平行四邊形時，平行四邊形的兩組對邊平行且相等，且有公共邊，所以只有兩個完全一樣的三角形，才可能拼成一個平行四邊形．據此解答．【解答】解：∵平行四邊形的兩組對邊平行且相等，且有公共邊，∴只有兩個完全一樣的三角形，才可能拼成一個平行四邊形．故選：B．【例2】．（2023春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列不能判定其為平行四邊形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC【分析】根據平行四邊形的判定方法求解．【解答】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、∵AB∥CD，AB＝CD∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、∵AB∥CD，AD＝BC，∴不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項D符合題意；故選：D．【例3】．（2023春?東陽市期末）平面直角坐標系內有點A（0，0），B（2，2），C（6，0）三點，請確定一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標不可以是（）A．（﹣4，2） B．（4，﹣2） C．（8，2） D．（2，﹣2）【分析】結合平行四邊形性質，利用點的平移分三種情況即可得到答案即可得到答案．【解答】解：∵平面直角坐標系內有點A（0，0），B（2，2），C（6，0）三點，∴連接A（0，0），B（2，2），C（6，0）構成△ABC，過△ABC的頂點作其對邊平行線，分別交于D1、D2、D3，如圖所示：①在平行四邊形ACBD1中，CB∥AD1，∵C（6，0），B（2，2），∴C（6，0）向左平移4個單位長度、向上平移2個單位長度得到B（2，2），∵A（0，0），∴由點的平移可得D1（﹣4，2）；②在平行四邊形CABD2中，AB∥CD2，∵A（0，0），B（2，2），∴A（0，0）向右平移2個單位長度、向上平移2個單位長度得到B（2，2），∵C（6，0），∴由點的平移可得D2（8，2）；③在平行四邊形CBAD3中，BA∥CD3，∵B（2，2），A（0，0），∴B（2，2）向左平移2個單位長度、向下平移2個單位長度得到A（0，0），∵C（6，0），∴由點的平移可得D3（4，﹣2）；綜上所述，符合題意的點D1（﹣4，2）、D2（8，2）或D3（4，﹣2）三種情況．故選：D．【例4】．（2023春?柯城區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，有四個點O（0，0），A（3，0），B（1，2），C（x，2），若以O，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則x＝﹣2或4．【分析】由B（1，2），C（x，2）得BC∥x軸，而O（0，0），A（3，0），則BC＝OA＝3，再分兩種情況討論，一是點C在點B左側，則x＝﹣2；二是點C在點B右側，則x＝4，于是得到問題的答案．【解答】解：∵B（1，2），C（x，2），∴BC∥x軸，∵以O，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，O（0，0），A（3，0），∴BC＝OA＝3，當點C在點B左側，如圖1，則x＝1﹣3＝﹣2，當點C在點B右側，如圖2，則x＝1+3＝4，故答案為：﹣2或4．【例5】．（2020春?渭濱區(qū)期末）如圖在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A（1，3），B（2，1），直角坐標系中存在點C，使得點O，A，B，C四點構成平行四邊形，則C點坐標為（3，4）或（1，﹣2）或（﹣1，2）．【分析】由平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊平行且相等，即可求得點C的坐標；注意三種情況．【解答】解：如圖所示：∵以O、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），∴三種情況：①當AB為對角線時，點C的坐標為（3，4）；②當OB為對角線時，點C的坐標為（1，﹣2）；③當OA為對角線時，點C的坐標為（﹣1，2）；故答案為（3，4）或（1，﹣2）或（﹣1，2）．【例6】．（2023春?西湖區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，過點A作AD∥BC，且點D在點A的右側，點P，Q分別是射線AD，射線CB上的一點，點E是線段CQ上的點，且CQ＝2AP，設AP＝x，CE為y，則y＝2x﹣2．當點Q為BC中點時，y＝3．（1）BC＝10．（2）當AP＝4或12時，使得以A，B，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形．【分析】（1）當y＝3時，由3＝2x﹣2，得x＝，則AP＝x＝，CQ＝2AP＝5，所以BC＝2CQ＝10，于是得到問題的答案；（2）由AP∥BE，可知當AP＝BE時，以A，B，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，一是點E在邊BC上，則x＝10﹣（2x﹣2）；二是點E在CB的延長線上，則x＝2x﹣2﹣10，解方程求出相應的x的值即可．【解答】解：（1）CE＝y(tǒng)＝2x﹣2，當y＝3時，則3＝2x﹣2，解得x＝，∴AP＝x＝，CQ＝2AP＝2×＝5，∵此時Q為BC中點，∴BC＝2CQ＝2×5＝10，故答案為：10．（2）∵AD∥CB，點P在AD上，點E在CB上，∴AP∥BE，∴當AP＝BE時，以A，B，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形，當點E在邊BC上，則x＝10﹣（2x﹣2），解得x＝4，∴AP＝4；當點E在CB的延長線上，則x＝2x﹣2﹣10，解得x＝12，∴AP＝12，故答案為：4或12．【例7】．（2022春?金華期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣2，0），B（2，3），C（0，4）．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）點D為平面直角坐標系中的點，以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，寫出所有滿足條件的點D的坐標．【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出答案；（2）由平行四邊形的性質可得出答案．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵AC2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝42+32＝25，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ACB是直角三角形；（2）如圖，以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，∴D1（0，﹣1），D2（﹣4，1），D3（4，7）．即D點坐標為（0，﹣1）或（﹣4，1）或（4，7）．【例8】．（2023春?柯橋區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，點F為AC的中點，連接FD并延長至點E，使FD＝DE，連接BF，CE和BE．證明：四邊形BECF為平行四邊形．【分析】根據等腰三角形的性質得出BD＝CD，根據FD＝DE，得出BC、EF互相平分，根據平行四邊形的判定方法得出四邊形BECF為平行四邊形．【解答】證明：∵△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD＝CD，∵FD＝DE，∴BC、EF互相平分，∴四邊形BECF為平行四邊形．【例9】．（2022春?吳興區(qū)校級期中）四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O為對角線AC的中點，過O點作直線EF，交DA的延長線于點E，交BC的延長線于點F．求證：四邊形AECF是平行四邊形．【分析】根據平行四邊形的判定和性質得出AO＝CO，進而利用全等三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定解答即可．【解答】證明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，在△AEO與△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形．鞏固訓練1．（2023春?西湖區(qū)期中）已知四邊形ABCD，有以下四個條件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．從這四個條件中選兩個，下列不能確定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【分析】根據平行四邊形的判定方法即可找到所有組合方式：（1）兩組對邊平行①③；（2）兩組對邊相等②④；（3）一組對邊平行且相等①②或③④，所以有四種組合．【解答】解：依題意得有四種組合方式：（1）①③，利用兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形判定；（2）②④，利用兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形判定；（3）①②或③④，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定．故選：C．2．（2023春?方城縣期末）如圖，點A是直線l外一點，在l上取兩點B、C，分別以A、C為圓心，BC、AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，分別連接AB、AD、CD，則四邊形ABCD是平行四邊形．其依據是（）A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 C．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形【分析】由題意可知，AD＝BC，CD＝AB，再由兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得出結論．【解答】解：由題意可知，AD＝BC，CD＝AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選：B．3．（2022春?海曙區(qū)期中）在平面直角坐標系中，A（﹣1，1），B（3，2），C（2m，3m+1），點D在直線y＝﹣1上，若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為（﹣，﹣1），（0，﹣1），（2，﹣1）．【分析】需要以已知線段AB為邊和對角線分類討論，利用平行四邊形的對角線交點也是對角線的中點和兩點坐標求中點坐標的知識點，從而求出點D坐標．【解答】解：設D（n，﹣1），∵A（﹣1，1），B（3，2），C（2m，3m+1），∴以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形可得：①若四邊形ABCD為平行四邊形，對角線中點坐標為：（，）或（，），∴，解得，∴D（﹣，﹣1）；②若四邊形ADBC為平行四邊形，對角線中點坐標為：（，）或（，），∴，解得，∴D（0，﹣1）；③若四邊形ABDC為平行四邊形，對角線中點坐標為：（，0）或（，），∴，解得，∴D（2，﹣1）．綜上，點D坐標為（﹣，﹣1），（0，﹣1），（2，﹣1）．故答案為：（﹣，﹣1），（0，﹣1），（2，﹣1）．4．（2021春?余姚市校級期中）在如圖的網格中，以格點A、B、C、D、E、F中的4個點為頂點，你能畫出平行四邊形的個數為3個．【分析】根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，結合網格結構的特點找出平行四邊形即可得解．【解答】解：如圖所示：圖中平行四邊形有?ABEC，?BDEC，?BEFC共3個．故答案為：3．5．（2021春?乾安縣期中）如圖，點E，F是?ABCD對角線上兩點，在條件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，選擇一個條件添加，使四邊形DEBF是平行四邊形可添加的條件有②③④（寫出所有正確條件的序號）【分析】通過證明三角形全等，得出四邊形DEBF的一組對邊平行且相等，即可得出是平行四邊形．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE，①DE＝BF時，不能證明△ADE≌△CBF，不能證明四邊形DEBF是平行四邊形；②∠ADE＝∠CBF時，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；③AF＝