2021屆廣東省茂名市五校聯(lián)盟高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2020-2021學(xué)年廣東省茂名市五校聯(lián)盟高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A={x|2-5x+4≤0}，B={x|x<2，x∈Z}，則A∩B=()A.[1，2]B.[1，4]C.{1，2}D.{1，4}2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)x的值為()A.B.C.－3D.3.在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1張，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為()A.B.C.D.4.設(shè)α，β是兩平面，a，b是兩直線.下列說法正確的個(gè)數(shù)是()①若a∥b，a∥c，則b∥c②若a⊥α，b⊥α，則a∥b③若a⊥α，a⊥β，則α∥β④若α⊥β，α∩β=b，aα，a⊥b，則a⊥βA.1B.2C.3D.45.已知=2，=1，且，則與的夾角為()A.B.C.D.6.若，則sin2α+2cos2α=()A.B.C.D.7.函數(shù)的圖象大致為()A.B.C.D.8.已知三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，BC=，∠BAC=60°，則三棱錐S-ABC外接球的表面積為()A.32B.64C.80D.128二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分)9.某地認(rèn)真貫徹落實(shí)中央十九大精神和各項(xiàng)宏觀調(diào)控政策，經(jīng)濟(jì)運(yùn)行平穩(wěn)增長(zhǎng)，民生保障持續(xù)加強(qiáng)，惠民富民成效顯著，城鎮(zhèn)居民收入穩(wěn)步增長(zhǎng)，收入結(jié)構(gòu)穩(wěn)中趨優(yōu)，據(jù)當(dāng)?shù)亟y(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，現(xiàn)將8月份至12月份當(dāng)?shù)氐娜司率杖朐鲩L(zhǎng)率如圖(一)與人均月收入繪制成如圖(二)所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖，現(xiàn)給出如下信息，其中正確的信息為()A.10月份人均月收入增長(zhǎng)率為2%B.11月份人均月收入約為1570元C.12月份人均月收入有所下降D.從圖中可知該地9月份至12月份這四個(gè)月與8月份相比人均月收入均得到提高10.設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1，則()A.B.C.有最大值D.有最小值11.關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題中真命題的序號(hào)是()A.的最小正周期為2；B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；C.若，則的最小值為D.的圖象與曲線共有4個(gè)交點(diǎn).12.如圖，在樓長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱DD1上一點(diǎn)，且DE=2，F(xiàn)為棱C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則()A.無論點(diǎn)G在線段BC1上如何移動(dòng)，都有異面直線A1G，B1D的夾角為B.三棱錐A-GAE的體積為108C.直線AE與BF所成角的余弦值D.直線A1G與平面BDC1所成最大角的余弦值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙射擊命中目標(biāo)的概率是，甲與乙射擊相互獨(dú)立，則甲乙兩人中恰有一人命中目標(biāo)的概率是___________.14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________，值域是__________.(第一空3分，第二空2分)15.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD⊥BC，AC=，CD=5，BD=2AD，則AD的長(zhǎng)為_________.16.定義在(-1，l)上的函數(shù)滿足，對(duì)任意的x1，x2∈(-1，1)，x1≠x2，恒有，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.四、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.(本題10分)已知函數(shù).(1)求的周期和單調(diào)區(qū)間；(2)若，，求cos2α的值.18.(12分)某種植園在芒果臨近成熟時(shí)，隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果，其質(zhì)量分別在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400](單位：克)中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)的頓率分布直方圖如圖所示.(1)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)；(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為[200，250)，[250，300)的芒果中隨機(jī)抽取5個(gè)，再從這5個(gè)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間的概率；(3)某經(jīng)銷商來收購芒果，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，用樣本估計(jì)總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè)，經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案：方案①：所有芒果以9元/千克收購；方案②：對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購，對(duì)質(zhì)量高于或等于250克的芒果以3元/個(gè)收購.請(qǐng)通過計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多?參考數(shù)據(jù)：5×125+17×175+20×225+30×275+25×325+3×375=25600.19.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為梯形，ABCD，PA=PD=，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，AB=AD=2DC=2.(1)E為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)在AB上，AF=3FB，求證：EF∥平面PBC(2)求AC與平面PDC所成角的余弦值.20.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，向量，向量=(cosB，cosC)，且.(1)求B的大?。?2)設(shè)點(diǎn)D在邊AC上，且BD=2，BD是ΔABC的角平分線，求a+c的最小值。21.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，中，AD=2AB=2AA1=2，P為棱C1D1中點(diǎn)，E為棱BC中點(diǎn).(1)求二面角P-BE-D平面角的大??；(2)線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得Q到平面PED的距離為？若存在，求出值：若不存在，請(qǐng)說明理由.22.已知二次函數(shù)的圖象與直線y=-6只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足f(0)=-2，且函數(shù)f(x-2)是偶函數(shù)，.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2若對(duì)任意x[1，2]，t[-4，4]，恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍；(3)若函數(shù)恰好三個(gè)零點(diǎn)，求k的值及該函數(shù)的零點(diǎn)。茂名市2020-2021學(xué)年度第二學(xué)期五校聯(lián)盟高一期末試卷高一數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分)題號(hào)123456789101112答案CBADCBDAACACDADACD二、填空題：(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分)13.；14.[-1，1)((-1，1)亦可)，[-2，+∞)；15.5；16.1.答案C解析：∵A＝[1，4]，∴A∩B＝{x|1≤x≤2，x∈Z}＝{1，2}.故選：C.2.答案B解析：，因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，∴故選B.3.答案A解析：設(shè)依次編號(hào)為(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為.4.【答案】D【解析】由平行公理知①對(duì)，垂直于同一平面的兩條直線平行，故②對(duì)；垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，故③對(duì)，由面面垂直性質(zhì)定理知④對(duì).故選：D.5.答案C解析：因?yàn)椋?，而向量的夾角在[0，]上，所以.故選：C.6.答案B，解析：由，求得，而，所以.故選：B.7.答案D解析，且f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(1，＋∞).則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除A，C，，排除B.8.A詳解】AB2+BC2=AC2依題意，故AB⊥BC；∵SA⊥平面ABC，∴可將三棱錐S-ABC可補(bǔ)成三棱柱ABC-A1B1C1，∴ABC外接圓直徑，三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心在兩底面三角形外心O1、O2連線中點(diǎn)O處；RtΔAO1O中，R=AO=，三棱錐S-ABC外接球的表面積為.9.【答案】AC【解析】【分析】由8月份至12月份當(dāng)?shù)氐娜司率杖朐鲩L(zhǎng)率折線圖與人均月收入條形統(tǒng)計(jì)圖直接判斷求解.【詳解】由8月份至12月份當(dāng)?shù)氐娜司率杖朐鲩L(zhǎng)率折線圖與人均月收入條形統(tǒng)計(jì)圖，知：對(duì)于A，根據(jù)圖(一)，10月份人均月收入增長(zhǎng)率為2%，故A正確；對(duì)于B，11月份人均月收入約為1428×(1+1％)≈1442元，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖(一)、圖(二)均可得出收入下降，故C正確；對(duì)于D，從圖中易知該地人均收入8、9月一樣，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.【答案】ACD因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，所以，故A正確.(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，∵，故B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確11.【答案】AD【解析】由圖可得：，的最小正周期為2，A正確；，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；離y軸最近的對(duì)稱軸為，所以若，則的最小值為，C錯(cuò)誤；在y軸右邊離y最近的對(duì)稱為，，而，在(0，+)上是減函數(shù)，因此的圖象在第一象限每個(gè)周期內(nèi)與的圖象都有兩個(gè)交點(diǎn)，在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，從而上有4個(gè)交點(diǎn)，D正確；故答案為：AD.12.ACD【詳解】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，易證DB1⊥面A1BC1，又A1G平面A1BC1，所以A1G⊥B1D，所以異面直線A1G，B1D的夾角為，則A正確；V三棱錐A1-GAE=V三棱錐G-A1AE=，則B錯(cuò)誤；在棱CC1上取點(diǎn)N，使CN=2，連結(jié)BN，NE，F(xiàn)N(如圖)，則易知∠FBN為直線AE與BF所成角或其補(bǔ)角，可得BN=，F(xiàn)N=5，F(xiàn)B=9，則cos∠FBN=，則直線AE與BF所成角的余弦值為，則C正確；由題意知三棱錐A1-BDC1為棱長(zhǎng)為的正四面體，作A1O⊥平面BDC1，O為垂足，則O為正ΔBDC1的中心，且A1GO為直線A1G與平面BDC1所成角，所以∠cosA1GO=，當(dāng)點(diǎn)G移動(dòng)到BC1的中點(diǎn)時(shí)，A1G最短，如圖，此時(shí)cos∠A1GO最小，∠A1GO最大，此時(shí)cos∠A1GO則D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.答案解析：記A=“甲射擊命中目標(biāo)”，B=“乙射擊命中目標(biāo)”，甲乙兩人中恰有一人命中目標(biāo)的概率是14.【解析】令，則由，可得-3<x<1.又因?yàn)闉闇p函數(shù)，而函數(shù)在區(qū)間(-3，-1)上單調(diào)遞增，在(-1，1)上單調(diào)遞減.故在區(qū)間(-3，-1)上單調(diào)遞減，在(-1，1)上單調(diào)遞增.易知在區(qū)間(-3，1)上的值域?yàn)?0，4]，故的值域?yàn)閇-2，+∞).【答案】(-1，1)[-2，+∞)15.答案：5解析：如圖，在△ABC中，BD＝2AD，設(shè)AD＝x(x＞0)，則BD＝2x.在△BCD中，因?yàn)镃D⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝.在△ACD中，AD＝x，CD＝5，AC＝，則cos∠ADC＝.因?yàn)椤螩DB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，即，解得x＝5，所以AD的長(zhǎng)為5.16.【答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)閷?duì)任意的x1，x2(-1，1)，x1x2，恒有，所以函數(shù)在(-1，1)上為增函數(shù)，則h(x)在(-1，1)上為增函數(shù)，又，而，所以，所以h(x)為奇函數(shù)，綜上，h(x)為奇函數(shù)，且在(-1，1)上為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，即，亦即，可得，解得.三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.(1)解：∵………1分……………2分…………3分所以，函數(shù)的周期為，……………4分令，解得；令，解得.因此，函數(shù)的增區(qū)間為，……………5分減區(qū)間為；……………6分(2)∵，4sin265，∴，∴，……………7分∴……………8分∴……………9分….……………10分18.(12分)解：(1)由頻率分布直方圖知，各區(qū)間頻率為0.05，0.17，0.20，0.30，0.25，0.03……2分這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).......……4分(2)利用分層抽樣從這兩個(gè)范圍內(nèi)抽取5個(gè)芒果，則質(zhì)量在[200，250)內(nèi)的芒果有2個(gè)，記為a1，a2，質(zhì)量在[250，300)內(nèi)的芒果有3個(gè)，記為b1，b2，b3；………………5分從抽取的5個(gè)芒果中抽取2個(gè)共有10種不同情況：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3).……7分記事件A為“這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間”，則A有4種不同組合：(a1，a2)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3).………8分從而，故這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間的概率為。………9分法二：從抽取的5個(gè)芒果中抽取2個(gè)共有種……6分記事件A為“這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間”，則A的不同組合有種…………8分從而，故這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間的概率為?！?分(3)方案①收入：23040(元)；……10分方案②：低于250克的芒果收入為(0.05+0.17+0.2)×10000×2=8400(元)；不低于250克的芒果收入為(0.25+0.3+0.03)×10000×3=17400(元)；故方案②的收入為y2=8400+17400=25800(元).……11分由于23040<25800，所以選擇方案②獲利多.…………12分19.(1)證法一：作PC的中點(diǎn)M，連結(jié)ME、MB………………1分∵E為PD的中點(diǎn)∴EMCD，…2分又AB∥CD，AF=3FB，AB=2CD，∴FBCD，…3分∴EMFB∴四邊形EFBM為平行四邊形，…………4分∴EF∥MB…………5分∵EF平面PBC，MB平面PBC∴EF∥平面PBC…………6分證法二：作CD的中點(diǎn)Q，連結(jié)QE、QF…………1分∵E為PD的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)∴EQ∥PC∵EQ平面PBC，PC平面PBC∴EQ∥平面PBC…………2分∵Q為CD的中點(diǎn)，∴QC=CD=∵AF=3FB∴FB=AB=∴QCFB…………3分∴四邊形QFBC為平行四邊形，∴FQ∥BC∵FQ平面PBC，BC平面PBC∴FQ∥平面PBC…………4分又FQEQ＝Q，且FQ，EQ平面QEF∴平面QEF∥平面PBC…………5分∵EF平面QEF，∴EF∥平面PBC…………6分(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，…………7分∴CD⊥PA…………8分∵PA2+PD2=AD2∴PD⊥A…………9分又PDCD=D∴PA⊥平面PCD于P…………10分∠ACP為AC與平面PCD所成的角，…………11分RtΔPDC中，PC=，RtΔADC中，AC=，RtΔAPC中，cos∠ACP=…………12分法三：作PO⊥AD于O∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO⊥AD，PO平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，……1分∵PA2+PD2=AD2∴PD⊥PAPO=AD=1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A(1，0，0)，C(-1，1，0)，P(0，0，1)，D(-1，0，0)，B(1，2，0)，F(xiàn)(1，，0)E(，0，)，，(1，-1，0)，=(1，2，1)................…2分設(shè)平面PBC法向量為=(x，y，z)，則有.......................3分令x=1，平面PBC法向量為=(1，1，3)………….…4分………….…5分∵EF平面PBC，MB平面PBC∴EF∥平面PBC…………6分(2)=(-2，1，0)，=(1，-1，0)，(1，0，1)，..........................…7分設(shè)平面PDC法向量為=(x，y，z)，則有.......…8分令x=1，平面PDE法向量為(1，0，-1)………….…9分直線AC與平面PDC的角θ的正弦值為…….…11分所以直線AC與平面PDC的角θ的余弦值為………….…12分20.解：(1)∵，∴…………1分∴由正弦定理得2sinA·cosB+sinC·cosB+sinB·cosC=0，…………2分又∵A，B(0，)，∴sinA0，cosB=，…………3分∴；…………4分(2)∵BD為ΔABC的角平分線∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=....................…5分又∵SΔBCD+SΔBAD=SΔABC…………6分∴BD·BC·sin∠CBD+AB·BD·sin∠ABD=AB·BC·sin∠ABC即…………7分∴即…………8分∴.............11分當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)，等號(hào)成立，故a+c的最小值為8…………12分21.解：(1)法一：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO、OC，在ΔPAD中PA=PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD.………….…1分又側(cè)面A1ADD1⊥底面ABCD，平面A1ADD1平面ABCD=AD，PO平面A1ADD1，所以PO⊥平面ABCD.………….…2分PO⊥BE………….…3分因?yàn)锽C∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BE=2，所以ABCO為正方形，所以O(shè)E⊥BE………….…4分POOE=O，所以BE平面POE.∠PEO為二面角P-BE-D的平面角，………….…5分RtΔPOC中，OC=PO=1，∴∠PCO=450………….…6分(2)解：假設(shè)線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PED的距離為.設(shè)QD=x，則SΔDQE=x……….…7分RtΔPOE中，PE=，RtΔDOE中，ED==PE=PD………….…8分所以SΔPED=………….…9分由VP-DQE=VQ-PED，即………….…10分解得………….…11分所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).………….…12分法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，E(1，1，0)，P(0，1，1)，D(0，2，0)，=(1，-1，-1)，=(1，0，-1)，.…..............1分平面ABCD法向量為=(0，0，1)..............….…2分設(shè)平面PBE法