【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)蘇科版】第十章 分式（15類題型突破）

第十章分式（15類題型突破）題型一分式的定義【例1】在中，分式的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【例2】下列各式：，，，，其中分式有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【例3】在，，，中分式的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練1．下列代數(shù)式，，，，，，其中屬于分式的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．式子，，，，，中，屬于分式的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．下列式子：，，，，，其中是分式的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)題型二分式有意義、無意義、值為0【例4】下列分式中一定有意義的是（

）A． B． C． D．【例5】當(dāng)時(shí)，下列分式?jīng)]有意義的是（

）A． B． C． D．【例6】若分式的值為，則的值是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練4．若分式的值為0，則x的值為（

）A． B．0 C． D．35．若分式無意義，則滿足的條件是（

）A． B． C． D．6．若分式有意義，則x滿足的條件是（

）A． B． C． D．題型三將分式的最高次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)【例7】不改變分式的值，使分式的分子、分母中的最高次項(xiàng)的系數(shù)都是正數(shù)，則分式可化為（

）A． B． C． D．【例8】不改變分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次項(xiàng)的系數(shù)都是正數(shù)，應(yīng)該是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練7．不改變分式的值，使分子、分母最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，正確的是（）A． B． C． D．8．若不改變分式的值，使分子與分母的最高次項(xiàng)的符號(hào)為正，則＝______．9．不改變分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)為正：(1)=______,(2)=_____.題型四分式的基本變形【例9】下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【例10】下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【例11】下列等式中，不成立的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練10．下列分式變形從左到右一定成立的是（）A． B． C． D．11．下列分式與相等的是（

）A． B． C． D．12．下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．題型五利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【例12】一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子擴(kuò)大為原來的4倍，分母縮小為原來的，這個(gè)分?jǐn)?shù)的值（

）A．?dāng)U大為原來的8倍 B．縮小為原來的C．不變 D．?dāng)U大為原來的2倍【例13】如果分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，那么分式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大為原來的2倍C．?dāng)U大為原來的4倍 D．不能確定【例14】把分式中的x和y都擴(kuò)大10倍，分式的值（

）A．?dāng)U大10倍 B．?dāng)U大100倍 C．不變 D．縮小10倍鞏固訓(xùn)練13．分式中x，y的值都擴(kuò)大到原來的3倍，則分式的值（

）A．不變 B．縮小到原來的 C．?dāng)U大到原來的3倍 D．縮小到原來的14．如果把分式中的m，n都變?yōu)樵瓉淼?倍，那么分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍C．變?yōu)樵瓉淼?D．不變15．若在中的x和y都擴(kuò)大到原來的2倍．那么分式的值（）A．縮小為原來的一半 B．不變C．?dāng)U大為原來的4倍 D．?dāng)U大為原來的2倍題型六最簡(jiǎn)分式【例15】下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．【例16】下列分式中，最簡(jiǎn)分式是（

）A． B． C． D．【例17】下列說法正確的是（

）A．分式是最簡(jiǎn)分式B．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可以變形為C．分式中的，都擴(kuò)大為原來的3倍，分式的值不變D．分式的值為零，則的值為鞏固訓(xùn)練16．以下式子是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．17．下列分式中最簡(jiǎn)分式是（

）A． B． C． D．18．分式，，，中，最簡(jiǎn)分式有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型七最簡(jiǎn)公分母【例18】分式與的最簡(jiǎn)公分母是（

）A． B． C． D．【例19】分式與的最簡(jiǎn)公分母是（）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練19．分式與的最簡(jiǎn)公分母是（

）A． B． C． D．20．分式與的最簡(jiǎn)公分母是______．21．分式與的最簡(jiǎn)公分母為__________．題型八通分【例20】分式與通分后的結(jié)果是_____．【例21】通分：(1)，，； (2)，，．【例22】通分：，．鞏固訓(xùn)練22．通分：(1)，，； (2)，，．23．通分：(1)與； (2)與．24．通分：(1)與； (2)，，；(3)，，； (4)，．題型九分式的加減運(yùn)算【例23】計(jì)算：【例24】計(jì)算：．【例25】計(jì)算的結(jié)果是（

）A．3 B． C．2 D．【例26】已知，則的值為（

）A．1 B． C．0 D．2鞏固訓(xùn)練25．計(jì)算的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．26．化簡(jiǎn)式子的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．27．計(jì)算：=_________．28．計(jì)算：_________．題型十分式的化簡(jiǎn)求值【例27】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【例28】化簡(jiǎn)：【例29】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中：鞏固訓(xùn)練29．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．30．先化簡(jiǎn)，再求值，其中滿足．31．先化簡(jiǎn)，后求值：，其中．題型十一分式方程的定義【例30】下列方程中是分式方程的是（）A． B． C． D．【例31】下列是關(guān)于x的分式方程的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練32．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是關(guān)于x的分式方程有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)33．下列方程不是分式方程的是（

）A． B． C． D．題型十二解分式方程【例32】解方程：．【例33】解方程：．【例34】解分式方程：(1)； (2)．鞏固訓(xùn)練34．解方程：．35．解分式方程：．36．解分式方程：(1)． (2)．題型十三分式方程增根問題【例35】已知關(guān)于x的分式方程有增根，則方程的增根為________．【例36】若分式方程有增根，則________．鞏固訓(xùn)練37．如果關(guān)于x的方程有增根，則__________．38．解關(guān)于的方程有增根，則的值為________．題型十四列分式方程【例37】某服裝店用4.5萬元購進(jìn)某種品牌的服裝，由于銷售狀況良好，服裝店又調(diào)撥11萬元資金購進(jìn)該種服裝，但這次的單價(jià)比第一次的單價(jià)貴20元，購進(jìn)服裝的數(shù)量比第一次的2倍還多50件，求該服裝第一次的單價(jià)．為解決此問題，設(shè)該服裝第一次的單價(jià)為元，根據(jù)題意列出方程，其中正確的是（

）A． B．C． D．【例38】為緬懷革命先烈，傳承紅色精神，某校八年級(jí)師生在清明節(jié)期間前往距離學(xué)校的烈士陵園掃墓．一部分師生騎自行車先走，過了后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)達(dá)到．已知汽車的速度是騎車速度的3倍，設(shè)騎車的速度為，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【例39】九章算術(shù)是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多一天：如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少天．已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為天，則可列方程為（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練39．甲、乙兩地相距240千米，高鐵開通運(yùn)營后，在兩地間行駛的平均車速提高了，時(shí)間比原來縮短了70分鐘．設(shè)原來的平均車速為千米/小時(shí)，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．40．某校組織全體同學(xué)進(jìn)行了兩次地震應(yīng)急演練，在優(yōu)化撤離方案后，第二次平均每分鐘撤離的人數(shù)比第一次的多60，結(jié)果2000名同學(xué)全部撤離的時(shí)間比第一次節(jié)省了20分鐘，若設(shè)第一次平均每分鐘撤離人，則可列方程為（

）A． B．C． D．41．勞動(dòng)課上，八（1）班同學(xué)分成兩組練習(xí)包餃子，女生組包300個(gè)餃子與男生組包200個(gè)所用的時(shí)間相同，已知女生組每分鐘比男生組多包30個(gè)，若設(shè)女生組每分鐘包個(gè)，則可列方程為（

）A． B．C． D．42．為了踐行“綠色生活”的理念，甲、乙兩人每天騎自行車出行，甲勻速騎行40千米的時(shí)間與乙勻速騎行35千米的時(shí)間相同，已知甲每小時(shí)比乙每小時(shí)多騎行2千米，設(shè)甲每小時(shí)騎行x千米，根據(jù)題意列出的方程正確的是（

）A． B． C． D．題型十五用分式方程解決實(shí)際問題【例40】端午節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)佳節(jié)，人們素有吃粽子的習(xí)俗．某超市在節(jié)前準(zhǔn)備購進(jìn)、兩種品牌的粽子進(jìn)行銷售，據(jù)了解，用元購買品牌粽子的數(shù)量比用元購買品牌粽子的數(shù)量多袋，且每袋品牌粽子的價(jià)格是每袋品牌粽子價(jià)格的倍，求每袋品牌粽子的價(jià)格．【例41】我縣教育體育局向全縣中小學(xué)生推出“悅讀悅寫”的分享活動(dòng)．甲、乙兩學(xué)校的同學(xué)分別乘車從距離活動(dòng)地點(diǎn)40千米和20千米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動(dòng)．甲學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度是乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度的1.2倍，乙學(xué)校同學(xué)比甲學(xué)校同學(xué)提前20分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)，求兩個(gè)學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度分別是多少？【例42】贛南臍橙果大形正，橙紅鮮艷，肉質(zhì)脆嫩化渣，風(fēng)味濃甜芳香．2023年贛南臍橙需求量猛增，某水果批發(fā)商用40000元購進(jìn)一批贛南臍橙后，該水果批發(fā)商又用90000元購進(jìn)第二批這種贛南臍橙，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的2倍，但每箱貴了10元．(1)該水果批發(fā)商購進(jìn)的第一批贛南臍橙每箱多少元？(2)為運(yùn)輸兩批水果從市到相距的市，批發(fā)商租用了甲、乙兩種貨車來運(yùn)輸兩批贛南臍橙，其中甲貨車運(yùn)輸?shù)谝慌?，乙貨車運(yùn)輸?shù)诙?，已知甲、乙貨車的速度比為，兩車先后出發(fā)，當(dāng)甲車到達(dá)市后乙車立即出發(fā)，兩車共用4.5小時(shí)，求甲、乙兩貨車的速度．【例43】某班級(jí)為了豐富學(xué)生的課外體育活動(dòng)，購買了排球和跳繩．已知排球的單價(jià)是跳繩的單價(jià)的3倍，購買跳繩共花費(fèi)300元，購買排球共花費(fèi)450元，購買跳繩的數(shù)量比購買排球的數(shù)量多10個(gè)，求跳繩的單價(jià)．鞏固訓(xùn)練43．為賡續(xù)中華優(yōu)秀文脈，促進(jìn)文明交流互鑒，某社區(qū)準(zhǔn)備聘請(qǐng)甲、乙兩支施工隊(duì)參與布置一條長為1200米的宣傳長廊．已知甲隊(duì)單獨(dú)布置完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)布置完成工程多用10天，乙隊(duì)每天布置的數(shù)量是甲隊(duì)每天布置的數(shù)量的1.5倍．(1)求甲、乙兩支施工隊(duì)每天分別布置完成多少米宣傳長廊？(2)現(xiàn)將宣傳長廊布置任務(wù)交給乙隊(duì)并要求25天內(nèi)完成．乙隊(duì)布置若干天后因接到其它布置任務(wù)，經(jīng)社區(qū)同意將余下布置任務(wù)全部交給甲隊(duì)完成．求在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要布置多少天才能按時(shí)完成全部任務(wù)？44．2023年10月26日11時(shí)14分，神舟十七號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的學(xué)生到當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)演播大廳觀看現(xiàn)場(chǎng)直播，學(xué)校準(zhǔn)備為學(xué)生們購進(jìn)兩款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用600元購進(jìn)款和用480元購進(jìn)款的文化衫的數(shù)量相同．(1)求款文化衫和款文化衫每件各多少元？(2)已知畢業(yè)班的學(xué)生一共有280人，學(xué)校計(jì)劃用不多于12700元購買文化衫，則款文化衫最多買多少件？45．八年級(jí)今年的寒假作業(yè)總共220頁，為了強(qiáng)化寒假作業(yè)的復(fù)習(xí)效果，班主任要求學(xué)生每天必須平均完成，如果小美想大年4天不做作業(yè)，每天做老師要求的1.1倍，就能準(zhǔn)時(shí)平均完成作業(yè)，那她每天要做多少頁？46．列分式方程解應(yīng)用題：寶珠梨是昆明市首個(gè)國家地理標(biāo)志保護(hù)產(chǎn)品，2023年12月16日，呈貢區(qū)寶珠梨作為參展產(chǎn)品之一亮相2023全國“土特產(chǎn)”集中推薦活動(dòng)．某網(wǎng)店從甲、乙兩農(nóng)戶手中各花600元購進(jìn)兩種不同品質(zhì)的寶珠梨進(jìn)行網(wǎng)上銷售，從乙農(nóng)戶手中所購的寶珠梨單價(jià)比從甲農(nóng)戶手中所購的單價(jià)高出，且最終從甲農(nóng)戶手中所購的寶珠梨數(shù)量比從乙農(nóng)戶手中所購的多25千克，求分別從甲、乙農(nóng)戶手中所購的寶珠梨的單價(jià)．47．2023年4月，省發(fā)展改革委分解下達(dá)我省教育強(qiáng)國推進(jìn)工程2023年中央預(yù)算內(nèi)投資4億多元，包括公辦幼兒園和義務(wù)教育學(xué)校2個(gè)建設(shè)專項(xiàng)．現(xiàn)某幼兒園建設(shè)工程由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承擔(dān)主體工程建設(shè)任務(wù)，已知甲隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)多用10天，甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同．(1)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)各需多少天？(2)若甲、乙兩隊(duì)共同施工3天后，剩余部分由甲隊(duì)單獨(dú)施工，為了不影響工程進(jìn)度，甲隊(duì)的工作效率提高為原來的2倍，當(dāng)甲隊(duì)的總工作量不少于乙隊(duì)的2倍時(shí)，甲隊(duì)至少需單獨(dú)施工多少天？

第十章分式（15類題型突破）答案全解全析題型一分式的定義【例1】在中，分式的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】題目主要考查分式的判斷，形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.根據(jù)分式的定義即可判斷．【詳解】解：在中，是分式，共5個(gè)，故選：C．【例2】下列各式：，，，，其中分式有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查分式的定義，注意不是字母，是常數(shù)，所以不是分式，是整式；判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式；【詳解】解：是分式的只有：故選：B．【例3】在，，，中分式的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查的是分式的定義，形如：，且中含有字母，這樣的代數(shù)式是分式，掌握“分式的定義”是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：，，，中分式有：，，共2個(gè)．故選：B．鞏固訓(xùn)練1．下列代數(shù)式，，，，，，其中屬于分式的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查分式的識(shí)別，涉及分式定義，根據(jù)分式定義逐個(gè)判別即可得到答案，熟記分式的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：由分式定義可知，，，，這三個(gè)代數(shù)式是分式，故選：C．2．式子，，，，，中，屬于分式的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵．看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解∶分母中含有字母的是，，，∴分式有3個(gè)，故選：C．3．下列式子：，，，，，其中是分式的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【分析】本題考查了分式的定義，“已知整式和，如果中分母含有字母，那么叫分式”，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)分式的定義得：，是分式，故選：A．題型二分式有意義、無意義、值為0【例4】下列分式中一定有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式有意義的條件和一個(gè)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù)等知識(shí)，根據(jù)分式有意義的條件逐一進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A．因?yàn)?，所以，分式一定有意義，故本選項(xiàng)正確；B．，當(dāng)時(shí)，分式無意義，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．，當(dāng)時(shí)，分式無意義，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D．，當(dāng)時(shí)，分式無意義，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：A．【例5】當(dāng)時(shí)，下列分式?jīng)]有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式無意義的條件，根據(jù)分式無意義的條件進(jìn)行判斷即可，解題的關(guān)鍵是理解分母為零即為分式無意義的條件．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，分式?jīng)]有意義，故選：．【例6】若分式的值為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了分式值為0的條件，根據(jù)分子為0，分母不為0是分式值為0進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵分式的值為，∴且，解得，故選：A鞏固訓(xùn)練4．若分式的值為0，則x的值為（

）A． B．0 C． D．3【答案】D【分析】本題考查了分式的值為零的條件：分式的分子等于，且分母不等于．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得，故選D．5．若分式無意義，則滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式無意義的條件．根據(jù)分式無意義的條件是分母等于零即可解答．【詳解】解：若分式無意義，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，分式無意義．故選：C．6．若分式有意義，則x滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查分式有意義的條件，根據(jù)分式的分母不為零求解即可．【詳解】解：要使分式有意義，只須，即，故選：B題型三將分式的最高次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)【例7】不改變分式的值，使分式的分子、分母中的最高次項(xiàng)的系數(shù)都是正數(shù)，則分式可化為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)添括號(hào)法則，對(duì)所求式子添括號(hào)，根據(jù)分式基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：．故選B．【點(diǎn)睛】考查了分式的基本性質(zhì)以及添括號(hào)法則，注意當(dāng)括號(hào)前面加“-”時(shí)，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變正負(fù)號(hào)．【例8】不改變分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次項(xiàng)的系數(shù)都是正數(shù)，應(yīng)該是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由題意可知將分式的分子分母同時(shí)乘得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，分式的基本性質(zhì)是分手的分子分母同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變．鞏固訓(xùn)練7．不改變分式的值，使分子、分母最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】讓分子，分母同時(shí)改變符號(hào)即可讓分子和分母中x的最高次項(xiàng)的系數(shù)都是正數(shù)．【詳解】分子的最高次項(xiàng)為﹣3x2，分母的最高次項(xiàng)為﹣5x3，系數(shù)均為負(fù)數(shù)，所以應(yīng)同時(shí)改變分子，分母的符號(hào)可得原式==．故選D．【點(diǎn)睛】用到的知識(shí)點(diǎn)為：分子，分母，分式本身的符號(hào)，改變其中的2個(gè)，分式的大小不變；分子，分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，應(yīng)同時(shí)改變分子，分母的符號(hào)．8．若不改變分式的值，使分子與分母的最高次項(xiàng)的符號(hào)為正，則＝______．【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)解答．【詳解】原式＝．【點(diǎn)睛】本題考查分式的應(yīng)用，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．不改變分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)為正：(1)=______,(2)=_____.【答案】,【分析】根據(jù)添括號(hào)法則，對(duì)所求式子添括號(hào)，根據(jù)分式基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】故答案為,.【點(diǎn)睛】考查了分式的基本性質(zhì)以及添括號(hào)法則，注意當(dāng)括號(hào)前面加“-”時(shí)，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變正負(fù)號(hào).題型四分式的基本變形【例9】下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)以及分式中的符號(hào)法則進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式的基本性質(zhì)和約分，正確的把分子分母進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．【例10】下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，做題的根據(jù)是看是否符合分式的基本性質(zhì)，特別要注意同乘或同除的數(shù)或整式是否為0．根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時(shí)乘以或除以一個(gè)不為0的數(shù)或整式，分式的值不變，即可得出答案．【詳解】A、D是分子、分母同加或同減，不符合分式的基本性質(zhì)，故選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤；B是分式的分子分母同乘以b，但b有可能為0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C符合分式的基本性質(zhì)，故選項(xiàng)C正確．故選：C．【例11】下列等式中，不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了約分，正確掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用公式法以及提取公因式法將分子與分母分解因式，再利用分式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而判斷即可．【詳解】解：A.，等式不成立；B.，等式成立；C.，等式成立；D.，等式成立；故選A．鞏固訓(xùn)練10．下列分式變形從左到右一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，故本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．11．下列分式與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，正確利用分式的基本性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式的性質(zhì)，可化簡(jiǎn)變形．【詳解】解：A.，故此選項(xiàng)符合題意；B.，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．12．下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的是分式的基本性質(zhì)．利用分式的基本性質(zhì)，逐一分析各選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D題型五利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【例12】一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子擴(kuò)大為原來的4倍，分母縮小為原來的，這個(gè)分?jǐn)?shù)的值（

）A．?dāng)U大為原來的8倍 B．縮小為原來的C．不變 D．?dāng)U大為原來的2倍【答案】A【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，即可通過計(jì)算得到答案．【詳解】設(shè)這個(gè)分?jǐn)?shù)為，其中x，y均為正整數(shù)，當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子擴(kuò)大為原來的4倍，分母縮小為原來的時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)為，即這個(gè)分?jǐn)?shù)的值擴(kuò)大為原來的8倍．故選A．【例13】如果分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，那么分式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大為原來的2倍C．?dāng)U大為原來的4倍 D．不能確定【答案】B【分析】本題考查分式的性質(zhì)．將x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，再進(jìn)行化簡(jiǎn)約分，即可得出結(jié)果．掌握分式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，則：，∴分式的值擴(kuò)大為原來的2倍；故選B．【例14】把分式中的x和y都擴(kuò)大10倍，分式的值（

）A．?dāng)U大10倍 B．?dāng)U大100倍 C．不變 D．縮小10倍【答案】A【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：，∴把分式中的x和y都擴(kuò)大10倍，分式的值擴(kuò)大10倍．故選：A鞏固訓(xùn)練13．分式中x，y的值都擴(kuò)大到原來的3倍，則分式的值（

）A．不變 B．縮小到原來的C．?dāng)U大到原來的3倍 D．縮小到原來的【答案】C【分析】本題主要考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)解決此題．根據(jù)分式的基本性質(zhì)解決此題．【詳解】解：分式中的和都擴(kuò)大到原來的3倍，得到．∴分式的值擴(kuò)大到原來的3倍．故選：C．14．如果把分式中的m，n都變?yōu)樵瓉淼?倍，那么分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍C．變?yōu)樵瓉淼?D．不變【答案】C【分析】本題考查分式的性質(zhì)，根據(jù)分式的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：，即分式的值變?yōu)樵瓉淼?，故選：C．15．若在中的x和y都擴(kuò)大到原來的2倍．那么分式的值（）A．縮小為原來的一半 B．不變C．?dāng)U大為原來的4倍 D．?dāng)U大為原來的2倍【答案】A【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，利用分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式的性質(zhì)：分子分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，可得答案．【詳解】解：把分中的x和y都擴(kuò)大到原來的2倍，得出：，分式的值縮小為原來的，故選：A．題型六最簡(jiǎn)分式【例15】下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了最簡(jiǎn)分式的定義，能熟記最簡(jiǎn)分式的定義是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡(jiǎn)分式的定義（分式的分子和分母除1以外，沒有其它的公因式，這樣的分式叫最簡(jiǎn)分式）逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)符合題意；C、，不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【例16】下列分式中，最簡(jiǎn)分式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式的性質(zhì)、分式的約分等知識(shí)點(diǎn)，掌握最簡(jiǎn)分式的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“分子與分母沒有非零次的公因式的分式叫最簡(jiǎn)分式”逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.的分子分母有非零公因式，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；B.的分子分母有非零公因式，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；C.的分子分母沒有有非零公因式，是最簡(jiǎn)分式，符合題意；D.的分子分母有非零公因式，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；故選：C．【例17】下列說法正確的是（

）A．分式是最簡(jiǎn)分式B．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可以變形為C．分式中的，都擴(kuò)大為原來的3倍，分式的值不變D．分式的值為零，則的值為【答案】A【分析】本題考查了分式的有意義的概念，最簡(jiǎn)分式的概念，分式的基本性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的有意義的概念，最簡(jiǎn)分式的概念及分式的基本性質(zhì)，即可判斷答案．【詳解】選項(xiàng)A，正確，符合題意；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，x不能出現(xiàn)在分母上，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)C，當(dāng)，都擴(kuò)大為原來的3倍時(shí)，分式的值也擴(kuò)大為原來的3倍，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)D，當(dāng)分式的值為零時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．鞏固訓(xùn)練16．以下式子是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了最簡(jiǎn)分式的定義和分式約分化簡(jiǎn)，即一個(gè)分式的分子與分母沒有非零次的公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式．根據(jù)分式約分的方法及最簡(jiǎn)分式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】A.，不是最簡(jiǎn)分式，故不符合題意；B.，不能再化簡(jiǎn)，是最簡(jiǎn)分式，符合題意；C.，不是最簡(jiǎn)分式，故不符合題意；D.，不是最簡(jiǎn)分式，故不符合題意；故選B．17．下列分式中最簡(jiǎn)分式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了最簡(jiǎn)分式的概念，根據(jù)最簡(jiǎn)分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有沒有公因式.【詳解】解：A.，不是最簡(jiǎn)分式，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，不是最簡(jiǎn)分式，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.是最簡(jiǎn)分式，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.，不是最簡(jiǎn)分式，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：C．18．分式，，，中，最簡(jiǎn)分式有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了最簡(jiǎn)分式的判斷，分子和分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：是最簡(jiǎn)分式，符合題意；，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；是最簡(jiǎn)分式，符合題意；不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；故選：B．題型七最簡(jiǎn)公分母【例18】分式與的最簡(jiǎn)公分母是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了最簡(jiǎn)公分母的知識(shí)，求解所有分母的最大公因式是解題的關(guān)鍵．找系數(shù)的最大公因式，所有字母的最高次冪即可得最簡(jiǎn)公分母，進(jìn)而可求解．【詳解】解：分式與的最簡(jiǎn)公分母是．故選：D．【例19】分式與的最簡(jiǎn)公分母是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把第二個(gè)分式的分母分解因式，然后根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的確定方法解答．本題考查了最簡(jiǎn)公分母的確定，解題的關(guān)鍵在于對(duì)分母正確分解因式．【詳解】解：∵，∴與的最簡(jiǎn)公分母為，故D正確．故選：D．鞏固訓(xùn)練19．分式與的最簡(jiǎn)公分母是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查最簡(jiǎn)公分母，解題的關(guān)鍵是：需要掌握最簡(jiǎn)公分母的定義．【詳解】解：在分式與中，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積即最簡(jiǎn)公分母為：，故選：C．20．分式與的最簡(jiǎn)公分母是______．【答案】/【分析】本題考查了最簡(jiǎn)公分母．根據(jù)找最簡(jiǎn)公分母的方法（系數(shù)找最小公倍數(shù)，相同次冪找最高次冪，對(duì)于只在一個(gè)分母中有的，連同它的指數(shù)也作為一個(gè)因式）找出最簡(jiǎn)公分母即可．【詳解】解：分式與的最簡(jiǎn)公分母是．故答案為：．21．分式與的最簡(jiǎn)公分母為__________．【答案】【分析】本題主要考查了最簡(jiǎn)公分母的定義：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母．按照公分母的定義進(jìn)行解答．【詳解】解：與的最簡(jiǎn)公分母為．故答案為：．題型八通分【例20】分式與通分后的結(jié)果是_____．【答案】，【分析】根據(jù)分式通分的方法求解即可．【詳解】解：∵，，∴分式，分式．故答案為，．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的通分，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式通分的方法．【例21】通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查通分，找到各分母的最簡(jiǎn)公倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，的最簡(jiǎn)公倍數(shù)為進(jìn)行通分即可；（2）根據(jù)，，的最簡(jiǎn)公倍數(shù)為進(jìn)行通分即可．【詳解】（1）解：，，的最簡(jiǎn)公倍數(shù)為，；；；（2）解：，，的最簡(jiǎn)公倍數(shù)為，；；．【例22】通分：，．【答案】，【分析】本題考查了通分；把兩個(gè)分母分別分解因式，找出最簡(jiǎn)公分母，再通分即可．【詳解】解：最簡(jiǎn)公分母是，，．鞏固訓(xùn)練22．通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)，，(2)，，【分析】本題考查了通分．解答此題的關(guān)鍵是熟知找公分母的方法：系數(shù)取各系數(shù)的最小公倍數(shù)；凡出現(xiàn)的因式都要取；相同因式的次數(shù)取最高次冪．（1）中最簡(jiǎn)公分母是，利用分式的性質(zhì)變形即可；（2）中三個(gè)分式的分母分別為，，，把視為一個(gè)整體，確定最簡(jiǎn)公分母是．注意中的“”可放在分?jǐn)?shù)線的前面．【詳解】（1）解：∵最簡(jiǎn)公分母是，∴，，．（2）解：∵最簡(jiǎn)公分母是，∴，，．23．通分：(1)與；(2)與．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）最簡(jiǎn)公分母是，通分即可；（2）先把每個(gè)分母因式分解，最簡(jiǎn)公分母是，通分即可．【詳解】（1）解：最簡(jiǎn)公分母是，，；（2）解：最簡(jiǎn)公分母是，，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的通分，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)最簡(jiǎn)公分母．24．通分：(1)與；(2)，，；(3)，，；(4)，．【答案】(1)，(2)，，(3)，，(4)，【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；（2）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；（3）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；（4）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行通分，即可求解；【詳解】（1）解：，．（2）解：，，．（3）解：，，．（4）解：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的通分，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型九分式的加減運(yùn)算【例23】計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了分式的加減法，掌握分式的加減法法則及因式分解是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同分母分式的減法法則計(jì)算即可．【詳解】解：原式【例24】計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了同分母分式減法計(jì)算，先把原式變形為，再利用平方差公式把分子分解因式，再分子與分母約分即可得到答案，【詳解】解；【例25】計(jì)算的結(jié)果是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運(yùn)算法則．根據(jù)分式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：C．【例26】已知，則的值為（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【分析】本題考查分式的加法運(yùn)算，掌握通分的技巧和完全平方公式是解題關(guān)鍵．先已知等式通分去分母化簡(jiǎn)為，代入變形后的第二個(gè)分式中即可．【詳解】解：∵，∴，得，∴．故選：B．鞏固訓(xùn)練25．計(jì)算的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：原式，故選：A．26．化簡(jiǎn)式子的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．先把分式同分，再加減即可．【詳解】解：原式故選：B．27．計(jì)算：=______________．【答案】1【分析】此題主要考查分式的加減運(yùn)算，熟練掌握分式運(yùn)算法則是關(guān)鍵，根據(jù)同分母分式加減法法則計(jì)算，并把結(jié)果化成最簡(jiǎn)形式即可．【詳解】解：，，故答案為：1．28．計(jì)算：_________．【答案】2【分析】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算，掌握分式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．直接按同分母分式加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為2．題型十分式的化簡(jiǎn)求值【例27】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；【分析】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【例28】化簡(jiǎn)：【答案】【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：原式．【例29】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中：【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先利用分式的乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將代入原式即可求解，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，把代入原式得：．鞏固訓(xùn)練29．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先把分式化簡(jiǎn)后，再把的值代入求出分式的值即可．【詳解】解：原式．當(dāng)時(shí)，原式．30．先化簡(jiǎn)，再求值，其中滿足．【答案】，【分析】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值；先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：原式．滿足當(dāng)時(shí)，則原式31．先化簡(jiǎn)，后求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．先算小括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的，最后代入求值．【詳解】解：原式．當(dāng)時(shí)，原式．題型十一分式方程的定義【例30】下列方程中是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了分式方程的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．直接利用分式方程的定義分析得出答案．【詳解】解：A、是一元一次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，是一元一次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是一元二次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，是分式方程，正確．故選：D．【例31】下列是關(guān)于x的分式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．【詳解】解：A、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；B、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；C、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，不符合題意；D、分母中含未知數(shù)，是分式方程，符合題意；故選：D．鞏固訓(xùn)練32．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是關(guān)于x的分式方程有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，判斷即可．【詳解】解：①分母中不含有未知數(shù)，是整式方程；②分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；③不是等式，故不是方程；④分母中含有未知數(shù)，故是分式方程．⑤分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；⑥分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；綜上所述：分式方程有②④，共2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．33．下列方程不是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查分式的定義，解答的關(guān)鍵是熟知分式的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．【詳解】解：A、方程分母中含未知數(shù)x，故A是分式方程，不符合題意；B、方程分母中含未知數(shù)x，故B是分式方程，不符合題意；C、方程分母中不含未知數(shù)，故C不是分式方程，符合題意；D、方程分母中含未知數(shù)x，故D是分式方程，不符合題意；故選：C．題型十二解分式方程【例32】解方程：．【答案】【分析】本題考查了解分式方程，先去分母然后解關(guān)于的一次方程，最后檢驗(yàn)，即可求解．【詳解】解：原方程去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：將代入，得，故原方程的解為．【例33】解方程：．【答案】【分析】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．先通過去分母化成整式方程，然后檢驗(yàn)即可解答即可．【詳解】解：，去分母得:，去括號(hào)得:，移項(xiàng)得:，合并同類項(xiàng)，得．【例34】解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解分式方程，關(guān)鍵是利用了轉(zhuǎn)化的思想，把分式方程化為整式方程，解分式方程注意要檢驗(yàn)．（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】（1）整理得：去分母，得：去括號(hào)，得移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得將系數(shù)化為1，得檢驗(yàn)：把代入，所以是原分式方程的解．（2）去分母，得：去括號(hào)，得移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得將系數(shù)化為1，得檢驗(yàn)：把代入，所以是原分式方程的解．鞏固訓(xùn)練34．解方程：．【答案】無解【分析】本題考查解分式方程，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母，得．解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．不是原分式方程的解，原分式方程無解．35．解分式方程：．【答案】無解【分析】本題考查的是解分式方程，解答此類方程時(shí)一定要進(jìn)行驗(yàn)根．先去分母，把分式方程化為整式方程，求出的值，再把的值代入分式方程的分母進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：原方程可化為：，解得，把代入得，，故是原分式方程的增根，原方程無解．36．解分式方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．（1）去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后，檢驗(yàn)即可；（2）去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后，檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘，得．解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．所以，原分式方程的解為；（2）方程兩邊同乘，得．解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．所以，原分式方程無解．題型十三分式方程增根問題【例35】已知關(guān)于x的分式方程有增根，則方程的增根為________．【答案】【分析】本題考查了分式方程的增根．熟練掌握分式方程的增根是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式方程的增根的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵分式方程有增根，∴，解得，故答案為：．【例36】若分式方程有增根，則________．【答案】1【分析】本題考查根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)．先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)增根是使整式方程成立，使分式方程無意義的方程的解，得到，把代入整式方程，求出的值即可．掌握增根的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵方程有增根，∴，∴，∴；故答案為：1．鞏固訓(xùn)練37．如果關(guān)于x的方程有增根，則__________．【答案】/0.5【分析】此題考查了分式方程的增根，先將分式方程化為整式方程，再根據(jù)增根的定義得出x的值，最后將x的值代入整式方程求解即可．【詳解】方程兩邊同時(shí)乘以得：即，∵原方程有增根，∴，解得：，將代入得：，故答案為：．38．解關(guān)于的方程有增根，則的值為________．【答案】【分析】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出x的值后代入整式方程中進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，然后把x的值代入整式方程中進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，，∵分式方程有增根，∴，∴，∴，故答案為：．題型十四列分式方程【例37】某服裝店用4.5萬元購進(jìn)某種品牌的服裝，由于銷售狀況良好，服裝店又調(diào)撥11萬元資金購進(jìn)該種服裝，但這次的單價(jià)比第一次的單價(jià)貴20元，購進(jìn)服裝的數(shù)量比第一次的2倍還多50件，求該服裝第一次的單價(jià)．為解決此問題，設(shè)該服裝第一次的單價(jià)為元，根據(jù)題意列出方程，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)該服裝第一次的單價(jià)為元，表示第二次的單價(jià)，再分別表示兩次購買的數(shù)量，根據(jù)購進(jìn)服裝的數(shù)量比第一次的2倍還多50件列方程即可．【詳解】解：該服裝第一次的單價(jià)為元，則第二次的進(jìn)價(jià)為元，由題意，得故選：B【例38】為緬懷革命先烈，傳承紅色精神，某校八年級(jí)師生在清明節(jié)期間前往距離學(xué)校的烈士陵園掃墓．一部分師生騎自行車先走，過了后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)達(dá)到．已知汽車的速度是騎車速度的3倍，設(shè)騎車的速度為，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，理解題意、找到等量關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．由汽車及騎車師生速度間的關(guān)系可得出汽車的速度為，再利用“時(shí)間、路程、速度”的關(guān)系以及等量關(guān)系“他們同時(shí)達(dá)到”列出關(guān)于x的分式方程即可．【詳解】解：∵汽車的速度是騎車師生速度的3倍，且騎車師生的速度為，∴汽車的速度為，根據(jù)題意得：．故選：B．【例39】九章算術(shù)是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多一天：如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少天．已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為天，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：規(guī)定時(shí)間為天，慢馬所需的時(shí)間為天，快馬所需的時(shí)間為天，又快馬的速度是慢馬的倍，可列出方程．故選：A．鞏固訓(xùn)練39．甲、乙兩地相距240千米，高鐵開通運(yùn)營后，在兩地間行駛的平均車速提高了，時(shí)間比原來縮短了70分鐘．設(shè)原來的平均車速為千米/小時(shí)，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)告訴公路開通前后長途客車平均車速間的關(guān)系，可得出新修的高速公路開通后的平均速度為千米/小時(shí)，利用時(shí)間＝路程÷速度，結(jié)合新修的高速公路開通后時(shí)間比原來縮短了70分鐘，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：∵高鐵開通運(yùn)營后，在兩地間行駛的長途客車平均車速提高了，且原來的平均車速為x千米/小時(shí)，∴高鐵開通運(yùn)營后的平均速度為千米/小時(shí)．根據(jù)題意得：，即．故選：A．40．某校組織全體同學(xué)進(jìn)行了兩次地震應(yīng)急演練，在優(yōu)化撤離方案后，第二次平均每分鐘撤離的人數(shù)比第一次的多60，結(jié)果2000名同學(xué)全部撤離的時(shí)間比第一次節(jié)省了20分鐘，若設(shè)第一次平均每分鐘撤離人，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了列分式方程，設(shè)第一次平均每分鐘撤離人，則第二次平均每分鐘撤離人，根據(jù)“結(jié)果2000名同學(xué)全部撤離的時(shí)間比第一次節(jié)省了20分鐘”列出分式方程即可，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第一次平均每分鐘撤離人，則第二次平均每分鐘撤離人，由題意得：，故選：B．41．勞動(dòng)課上，八（1）班同學(xué)分成兩組練習(xí)包餃子，女生組包300個(gè)餃子與男生組包200個(gè)所用的時(shí)間相同，已知女生組每分鐘比男生組多包30個(gè)，若設(shè)女生組每分鐘包個(gè)，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)女生組每分鐘包個(gè)，則男生組每分鐘包個(gè)，根據(jù)等量關(guān)系即可列出方程.【詳解】解：設(shè)女生組每分鐘包個(gè)，則男生組每分鐘包個(gè)，由題意可得：故選：A．42．為了踐行“綠色生活”的理念，甲、乙兩人每天騎自行車出行，甲勻速騎行40千米的時(shí)間與乙勻速騎行35千米的時(shí)間相同，已知甲每小時(shí)比乙每小時(shí)多騎行2千米，設(shè)甲每小時(shí)騎行x千米，根據(jù)題意列出的方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程的建模能力．題目已經(jīng)設(shè)甲每小時(shí)騎行x千米，則乙每小時(shí)騎行千米，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：甲勻速騎行30千米的時(shí)間=乙勻速騎行25千米的時(shí)間，再根據(jù)路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系和題目中的等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：設(shè)甲每小時(shí)騎行x千米，則乙每小時(shí)騎行千米，根據(jù)題意得：，故選：A．題型十五用分式方程解決實(shí)際問題【例40】端午節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)佳節(jié)，人們素有吃粽子的習(xí)俗．某超市在節(jié)前準(zhǔn)備購進(jìn)、兩種品牌的粽子進(jìn)行銷售，據(jù)了解，用元購買品牌粽子的數(shù)量比用元購買品牌粽子的數(shù)量多袋，且每袋品牌粽子的價(jià)格是每袋品牌粽子價(jià)格的倍，求每袋品牌粽子的價(jià)格．【答案】每袋品牌粽子的價(jià)格為元．【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)每袋品牌粽子的價(jià)格為元，則每袋品牌粽子的價(jià)格為元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合用元購買品牌粽子的數(shù)量比用元購買品牌粽子的數(shù)量多袋，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出每袋品牌粽子的價(jià)格．【詳解】解：設(shè)每袋品牌粽子的價(jià)格為元，則每袋品牌粽子的價(jià)格為元，依題意得：，解得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．答：每袋品牌粽子的價(jià)格為元．【例41】我縣教育體育局向全縣中小學(xué)生推出“悅讀悅寫”的分享活動(dòng)．甲、乙兩學(xué)校的同學(xué)分別乘車從距離活動(dòng)地點(diǎn)40千米和20千米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動(dòng)．甲學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度是乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度的1.2倍，乙學(xué)校同學(xué)比甲學(xué)校同學(xué)提前20分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)，求兩個(gè)學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度分別是多少？【答案】甲學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為48千米/時(shí)，乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為40千米/時(shí)【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為千米/時(shí)，根據(jù)題意列分式方程求解，檢驗(yàn)后即可得到答案．【詳解】解：設(shè)乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為千米/時(shí)，則甲學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為千米/時(shí)，根據(jù)題意，得：，解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，（千米/時(shí)）答：甲學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為48千米/時(shí)，乙學(xué)校同學(xué)乘坐車的速度為40千米/時(shí)．【例42】贛南臍橙果大形正，橙紅鮮艷，肉質(zhì)脆嫩化渣，風(fēng)味濃甜芳香．2023年贛南臍橙需求量猛增，某水果批發(fā)商用40000元購進(jìn)一批贛南臍橙后，該水果批發(fā)商又用90000元購進(jìn)第二批這種贛南臍橙，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的2倍，但每箱貴了10元．(1)該水果批發(fā)商購進(jìn)的第一批贛南臍橙每箱多少元？(2)為運(yùn)輸兩批水果從市到相距的市，批發(fā)商租用了甲、乙兩種貨車來運(yùn)輸兩批贛南臍橙，其中甲貨車運(yùn)輸?shù)谝慌邑涇囘\(yùn)輸?shù)诙?，已知甲、乙貨車的速度比為，兩車先后出發(fā)，當(dāng)甲車到達(dá)市后乙車立即出發(fā)，兩車共用4.5小時(shí)，求甲、乙兩貨車的速度．【答案】(1)80元(2)甲貨車的速度為，乙貨車的速度為．【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)該水果批發(fā)商購進(jìn)的第一批贛南臍橙每箱x元，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列分式方程，解方程即可；（2）設(shè)甲貨車的速度為，乙貨車的速度為，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列分式方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)該水果批發(fā)商購進(jìn)的第一批贛南臍橙每箱x元，依題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意．答：該水果批發(fā)商購進(jìn)的第一批贛南臍橙每箱80元．（2）設(shè)甲貨車的速度為，乙貨車的速度為，根據(jù)題意得，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意．∴，∴甲貨車的速度為，乙貨車的速度為．【例43】某班級(jí)為了豐富學(xué)生的課外體育活動(dòng)，購買了排球和跳繩．已知排球的單價(jià)是跳繩的單價(jià)的3倍，購買跳繩共花費(fèi)300元，購買排球共花費(fèi)450元，購買跳繩的數(shù)量比購買排球的數(shù)量多10個(gè)，求跳繩的單價(jià)．【答案】跳繩的單價(jià)是15元【分析】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)跳繩的單價(jià)為x元，則排球的單價(jià)為元，根據(jù)題中“購買跳繩的數(shù)量比購買排球的數(shù)量多10個(gè)”列方程即可解答，正確找到數(shù)量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵。【詳解】解：設(shè)跳繩的單價(jià)為x元，則排球的單價(jià)為元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解，且符合題意．答：跳繩的單價(jià)是15元．鞏固訓(xùn)練43．為賡續(xù)中華優(yōu)秀文脈，促進(jìn)文明交流互鑒，某社區(qū)準(zhǔn)備聘請(qǐng)甲、乙兩支施工隊(duì)參與布置一條長為1200米的宣傳長廊．已知甲隊(duì)單獨(dú)布置完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)布置完成工程多用10天，乙隊(duì)每天布置的數(shù)量是甲隊(duì)每天布置的數(shù)量的1.5倍．(1)求甲、乙兩支施工隊(duì)每天分別布置完成多少米宣傳長廊？(2)現(xiàn)將宣傳長廊布置任務(wù)交給乙隊(duì)并要求25天內(nèi)完成．乙隊(duì)布置若干天后因接到其它布置任務(wù)，經(jīng)社區(qū)同意將余下布置任務(wù)全部交給甲隊(duì)完成．求在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要布置多少天才能按時(shí)完成全部任務(wù)？【答案】(1)甲施工隊(duì)每天分別布置40米宣傳長廊，則乙兩支施工隊(duì)每天分別布置60米宣傳長廊；(2)在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要布置10天，才能按照村委會(huì)要求按時(shí)完成【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．（1）設(shè)甲施工隊(duì)每天分別布置x米宣傳長廊，則乙兩支施工隊(duì)每天分別布置米宣傳長廊，利用工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，結(jié)合甲隊(duì)單獨(dú)布置完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)布置完成工程多用10天，可列出關(guān)于x的分式方程