高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸小題》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸小題》專項測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________題型01整數(shù)解型【解題攻略】整數(shù)解，屬于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意求得整數(shù)型參數(shù)的取值范圍，或者整數(shù)解求參數(shù)范圍等，涉及函數(shù)的零點問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖像交點個數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.【典例1-1】（湖南懷化·二模（理））已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是A．3 B．2 C．4 D．5【典例1-2】.（2020·黑龍江實驗中學(xué)三模（理））已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點，且恰好有唯一整數(shù)解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【變式1-1】在關(guān)于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【變式1-2】（黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第四次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若關(guān)于x的不等式在上有且只有150個整數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．【變式1-3】（四川省成都石室中學(xué)高三下學(xué)期考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．題型02函數(shù)零點構(gòu)造型【解題攻略】函數(shù)零點構(gòu)造型，涉及到函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用：與對稱有關(guān)的常用結(jié)論：①若點，關(guān)于直線對稱，則；②若的圖象關(guān)于直線對稱，則；③若，則的圖象關(guān)于直線對稱；④若，則的圖象關(guān)于點對稱．?dāng)?shù)形結(jié)合法解決零點問題：①零點個數(shù)：幾個零點②幾個零點的和③幾個零點的積.【典例1-1】（2020·黑龍江實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若實數(shù)互不相等，且，則的取值范圍為______．【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，，則的取值范圍為___________.【變式1-1】（云南省玉溪第一中學(xué)高三）已知函數(shù)，，若，其中，則的取值范圍是______.【變式1-2】．（浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)已知，且，若的最小值為，則a的值為___________．【變式1-3】.（全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若方程有4個不同的實根，，，，則的取值范圍是______．題型03同構(gòu):方程零點型同構(gòu)【解題攻略】對于既含有指數(shù)式又含有對數(shù)式的等式或不等式，直接求導(dǎo)會出現(xiàn)越求導(dǎo)式子越復(fù)雜的情況，此時可通過同構(gòu)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，把問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題．導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，難點是尋找構(gòu)造突破口。如變形得到，從而構(gòu)造進(jìn)行求解.常見同構(gòu)：①；②；③④；【典例1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知m是方程的一個根，則（

）A．1 B．2 C．3 D．5【典例1-2】（全國·模擬預(yù)測）若方程在上有實根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（全國·模擬預(yù)測）已知是方程的一個根，則（

）A． B． C．2 D．3【變式1-2】（四川綿陽·高三四川省綿陽實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知且則一定有（

）A． B．C． D．【變式1-3】（山東日照·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型04同構(gòu):不等式型同構(gòu)求參【解題攻略】（1）乘積模型：（2）商式模型：（3）和差模型：【典例1-1】（全國·安陽市第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式在上恒成立，則正數(shù)m的最大值為（

）A． B．0 C．e D．1【典例1-2】（2020上·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，，則（

）A．既有最小值，也有最大值 B．有最小值，沒有最大值C．有最大值，沒有最小值 D．既沒有最小值，也沒有最大值【變式1-3】（安徽亳州·高三統(tǒng)考期末）已知，若時，恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型05恒成立求參：移項討論型【解題攻略】一般地，已知函數(shù)，（1）若，，有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故；【典例1-1】（全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B． C． D．【典例1-2】.（全國·高三專題練習(xí)）若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2020·福建省福州第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知，且時，恒成立，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【變式1-3】（江蘇揚州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）當(dāng)時，不等式有解，則實數(shù)m的范圍為（

）A． B． C． D．題型06恒成立求參：虛設(shè)零點型【解題攻略】虛設(shè)零點法：涉及到導(dǎo)函數(shù)有零點但是求解相對比較繁雜甚至無法求解的情形時，可以將這個零點只設(shè)出來而不必求出來，然后尋找一種整體的轉(zhuǎn)換和過度，再結(jié)合其他條件，進(jìn)行代換變形，從而最重獲得問題的解決（1）、整體代換：把超越式子（多為指數(shù)和對數(shù)式子）轉(zhuǎn)化為普通的（如二次函數(shù)一次哈數(shù)等）可解式子，如比值代換等等。（2）、反代消參：反解參數(shù)代入，構(gòu)造單一變量的函數(shù)。如果要求解（或者要證明）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，則可以通過反解參數(shù)，用變量（零點）表示參數(shù)，然后把函數(shù)變成關(guān)于零點的單一函數(shù)，再對單一變量求導(dǎo)就可以解決相應(yīng)的問題。（3）留參降次（留參、消去指對等超越項）：如果要求解的與參數(shù)有關(guān)，則可以通過消去超越項，建立含參數(shù)的方程或者不等式。恒等變形或者化簡方向時保留參數(shù)，通過“降次”變換，一直降到不可再降為止，再結(jié)合條件，求解方程或者不等式，解的相應(yīng)的參數(shù)值或者參數(shù)范圍【典例1-1】（四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（理）試題）已知不等式對恒成立，則取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于的不等式對一切正實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-1】設(shè)實數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-2】已知函數(shù)有唯一零點，則（）A． B． C． D．【變式1-3】若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為（）A． B． C． D．題型07“倍縮”型函數(shù)求參數(shù)【解題攻略】如果函數(shù)在定義域的某個區(qū)間（）上的值域恰為（），則稱函數(shù)為上的k倍域函數(shù)，稱為函數(shù)的一個k倍域區(qū)間．把函數(shù)存在區(qū)間，使得函數(shù)為上的倍域函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為是解答的關(guān)鍵.【典例1-1】（陜西省漢中中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試卷）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是A． B．C． D．【典例1-2】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)西溪校區(qū)2020-2021學(xué)年高三3月數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)的定義域為，若函數(shù)滿足條件：存在，使在上的值域是，則稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是________.【變式1-1】（2020年浙江省新高考考前原創(chuàng)沖刺卷（二））設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍脹函數(shù)”.若函數(shù)為“倍脹函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是________.【變式1-2】（河北省邢臺一中2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期模擬數(shù)學(xué)（理)試題）.設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在，使得在區(qū)間上的值域為，則稱為“倍函數(shù)”.已知函數(shù)為“3倍函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【變式1-3】（2022吉林吉林·高三階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)的定義域為，若滿足條件：存在，使在上的值域為（且），則稱為“倍函數(shù)”，若函數(shù)為“3倍函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型08恒成立求參：“等式”型【解題攻略】一般地，已知函數(shù)，若，，有，則的值域是值域的子集．【典例1-1】（四川·綿陽中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，，若，使得，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【典例1-2】．（福建·泉州市城東中學(xué)高三）已知，是函數(shù)的兩個極值點，且，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【變式1-1】（四川成都·高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)，，其中．若對任意的正實數(shù)，，不等式恒成立，則a的最小值為（

）A．0 B．1 C． D．e【變式1-2】（河南安陽·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（江蘇省南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，對任意的，總存在使得成立，則a的范圍為_________．題型09雙變量型不等式范圍最值【解題攻略】一般地，已知函數(shù)，不等關(guān)系(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【典例1-1】（四川眉山·高三眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點，且，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．有極小值點【典例1-2】（福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)校考）已知函數(shù)，若，且，，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2019下·河南鶴壁·高三鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，曲線上總存在兩點，，使曲線在兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2019下·山西長治·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若方程x﹣2lnx+a＝0存在兩個不相等的實數(shù)根x1和x2，則（）A． B．C． D．【變式1-3】（2021上·高三單元測試）已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．題型10雙變量型：凸凹反轉(zhuǎn)型【解題攻略】凸凹翻轉(zhuǎn)型常見思路，如下圖轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題是關(guān)鍵。【典例1-1】（全國·高三專題練習(xí)）設(shè)大于1的兩個實數(shù)a，b滿足，則正整數(shù)n的最大值為（

）．A．7 B．9 C．11 D．12【典例1-2】（江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B． C．1 D．【變式1-1】.已知實數(shù)，滿足，則的值為A． B． C． D．【變式1-2】（安徽省六安市第一中學(xué)、合肥八中、阜陽一中三校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．題型11多參型：代換型【解題攻略】不等式中，可以借助對數(shù)均值不等式解決，完整的對數(shù)均值不等式為：，可用兩邊同除，令整體換元的思想來構(gòu)造函數(shù)，證明不等式成立求解參數(shù)【典例1-1】（全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對于正實數(shù)a，若關(guān)于t的方程恰有三個不同的正實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）若對任意正實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_________【變式1-1】（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)三次函數(shù)，（a,b,c為實數(shù)且）的導(dǎo)數(shù)為，記，若對任意，不等式恒成立，則的最大值為____________【變式1-2】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），則實數(shù)的可能的取值是（

）A． B． C． D．0【變式1-3】（江蘇省揚州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三考試數(shù)學(xué)）若正實數(shù)滿足，則函數(shù)的零點的最大值為______.題型12多參型：二次構(gòu)造放縮型【解題攻略】多參數(shù)型求參數(shù)范圍，或者多參型最值，難點是能夠兩次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出相應(yīng)函數(shù)的最值【典例1-1】（全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（高三單元測試）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，為實數(shù)，且不等式對任意的恒成立.則當(dāng)取最大值時，的值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)，若時，恒有，則的最大值為A． B． C． D．【變式1-3】（浙江·高三路橋中學(xué)校聯(lián)考）已知，，關(guān)于的不等式無實數(shù)解，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型13多參型：韋達(dá)定理求參型【典例1-1】（北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則錯誤的是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】（山東煙臺·統(tǒng)考二模）若函數(shù)有兩個極值點，且，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（浙江·模擬預(yù)測）已知在上恰有兩個極值點，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（河南開封·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)的兩個極值點分別是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．或 B．C．存在實數(shù)a，使得 D．題型14多參型：單峰函數(shù)絕對值型【典例1-1】（安徽省阜陽市太和第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）若存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.【典例1-2】（中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2019-2020學(xué)年高三1月（一卷）數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)和，總存在，使得，則實數(shù)的最大值為__________．【變式1-1】設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)，總存在使得成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【變式1-2】若，，，對任意，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍____________．【變式1-3】（浙江省溫州市2021-2022學(xué)年高三適應(yīng)性測試一模數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù).若在上的最大值為2，則實數(shù)a所有可能的取值組成的集合是________.題型15導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)【典例1-1】函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【典例1-2】已知函數(shù)，若對于任意的，均有成立，則實數(shù)a的最小值為A． B．1 C． D．3【變式1-1】函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為___________.【變式1-2】已知，且，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列選項中一定成立的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】已知函數(shù)，若f(x)在R上單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．高考練場1.（黑龍江省實驗校2020屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點，且恰好有唯一整數(shù)解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2.（江蘇·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，，若，，則的最小值為___________.3.（廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)，滿足，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．84.（廣東深圳·高三練習(xí)）設(shè)，若存在正實數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．5.（2021下·四川眉山··高三練習(xí)）若，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6.（江蘇省揚州市高郵市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）當(dāng)時，不等式有解，則實數(shù)m的范圍為（

）A． B． C． D．7.（陜西省漢中中學(xué)2022高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是A． B．C． D．8.（湖北省十堰市東風(fēng)高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知，，若存在，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是______.9.（新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）若，令，則的最小值屬于（

）A． B． C． D．10.（安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11.（四川省瀘縣第五中學(xué)2021-2022學(xué)年高三模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）若存在兩個正實數(shù)x，y使等式成立，（其中）則實數(shù)m的取值范圍是________.12.（江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－213.（2022下·福建泉州·高三泉州市城東中學(xué)校考）已知，是函數(shù)的兩個極值點，且，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．14.（全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，，若對任意的實數(shù)，，總存在實數(shù)，使得不等式成立，則的最大值是_______．15.已知函數(shù)．若關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)a的取值范圍為___________．參考答案題型01整數(shù)解型【解題攻略】整數(shù)解，屬于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意求得整數(shù)型參數(shù)的取值范圍，或者整數(shù)解求參數(shù)范圍等，涉及函數(shù)的零點問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖像交點個數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.【典例1-1】（湖南懷化·二模（理））已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是A．3 B．2 C．4 D．5【答案】A【解析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對于恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，然后求出的范圍，進(jìn)一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設(shè)，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【典例1-2】.（2020·黑龍江實驗中學(xué)三模（理））已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點，且恰好有唯一整數(shù)解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，由得可求出的范圍，再考查與零的大小比較，在時，結(jié)合題意得出，以及當(dāng)時，，解出實數(shù)的范圍可得出答案．【詳解】，則，由于函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，令，得，所以，，解得，由于，且不等式恰有一整數(shù)解．①當(dāng)時，即當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，．此時，函數(shù)在處取得最小值，則，不合乎題意；②當(dāng)時，即當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．由題意可得，解得，此時，；③當(dāng)時，即當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．由題意可得，解得，此時，．因此，實數(shù)的取值范圍是，故選D．【變式1-1】在關(guān)于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，分別研究兩個函數(shù)的性質(zhì)，確定的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法進(jìn)一步縮小的取值范圍，列出不等式組，求出結(jié)果.【詳解】由，化簡得：，設(shè)，，則原不等式即為.若，則當(dāng)時，，，原不等式的解集中有無數(shù)個大于2的整數(shù)，∴.∵，，∴.當(dāng)，即時，設(shè)，則.設(shè)，則在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞減，∴，∴當(dāng)時，，∴在上為減函數(shù)，即，∴當(dāng)時，不等式恒成立，原不等式的解集中沒有大于2的整數(shù).要使原不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則f3>g3f4>g則實數(shù)的取值范圍為.故選：D【變式1-2】（黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第四次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若關(guān)于x的不等式在上有且只有150個整數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)滿足，得到函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，由時，，用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合偶函數(shù)，作出數(shù)在上的圖象，將不等式在上有且只有150個整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為在一個周期上有3個整數(shù)解分別為-2，2，3求解.【詳解】因為偶函數(shù)滿足，所以，即，所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，函數(shù)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)遞減；當(dāng)當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示：因為不等式在上有且只有150個整數(shù)解，所以不等式在上有且只有3個整數(shù)解，當(dāng)時，不符合題意，故不等式在上有且只有3個整數(shù)解，因為，所以，即，故不等式在上的3個整數(shù)解分別為-2，2，3，所以，，即，故選：B【變式1-3】（四川省成都石室中學(xué)高三下學(xué)期考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵，∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)a>0時,f2(x)+af(x)>0?f(x)<?a或f(x)>0,此時不等式f2(x)+af(x)>0有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當(dāng)a=0時,f2(x)+af(x)>0?f(x)≠0,此時不等式f2(x)+af(x)>0有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當(dāng)a<0時,f2(x)+af(x)>0?f(x)<0或f(x)>?a,要使不等式f2(x)+af(x)>0恰有兩個整數(shù)解，必須滿足f(3)??a<f(2),求解不等式可得實數(shù)的取值范圍是.題型02函數(shù)零點構(gòu)造型【解題攻略】函數(shù)零點構(gòu)造型，涉及到函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用：與對稱有關(guān)的常用結(jié)論：①若點，關(guān)于直線對稱，則；②若的圖象關(guān)于直線對稱，則；③若，則的圖象關(guān)于直線對稱；④若，則的圖象關(guān)于點對稱．?dāng)?shù)形結(jié)合法解決零點問題：①零點個數(shù)：幾個零點②幾個零點的和③幾個零點的積.【典例1-1】（2020·黑龍江實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若實數(shù)互不相等，且，則的取值范圍為______．【答案】【分析】畫出的圖象，結(jié)合圖象得的取值范圍，再由，，用表示，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)可求出的取值范圍.【詳解】解：令，解得，當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象如圖，當(dāng)時，或，因為，所以，，，因為，所以，因為，所以，所以，設(shè)，所以，解得或（舍去），當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，由，所以取值范圍為，故答案為:.【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】畫出的圖像如圖所示，可知為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，可得，故，結(jié)合，可得，有，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可得，即得解【詳解】畫出的圖像如圖所示，可知為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，由于，不妨設(shè)，可知故不妨設(shè)故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故可得的最小值為故答案為：【變式1-1】（云南省玉溪第一中學(xué)高三）已知函數(shù)，，若，其中，則的取值范圍是______.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化條件得，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍即可得解.【詳解】由題意，，，則，，作函數(shù)的草圖如下，由圖可知，當(dāng)時，有唯一解，故，且，∴，設(shè)，，則，令，解得，易得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，即的取值范圍是.故答案為：.【變式1-2】．（浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)已知，且，若的最小值為，則a的值為___________．【答案】1【分析】令，由圖象可知，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值即得.【詳解】令，由圖象如圖所示可知．因為，則，，得，所以．令，則，∴當(dāng)時，即時，，∴在上單調(diào)遞減，所以，解得；∴當(dāng)時，即時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得與矛盾，舍去．綜上可得，．故答案為：1.【變式1-3】.（全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若方程有4個不同的實根，，，，則的取值范圍是______．【答案】【分析】先做出函數(shù)，的大致圖象，利用圖像的對稱性得到，，再由得，，所以．規(guī)定函數(shù)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出的取值范圍【詳解】作出，的大致圖象如圖所示，由，的圖象都關(guān)于直線對稱可得，，由得，，所以．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，的取值范圍是．故答案為：題型03同構(gòu):方程零點型同構(gòu)【解題攻略】對于既含有指數(shù)式又含有對數(shù)式的等式或不等式，直接求導(dǎo)會出現(xiàn)越求導(dǎo)式子越復(fù)雜的情況，此時可通過同構(gòu)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，把問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題．導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，難點是尋找構(gòu)造突破口。如變形得到，從而構(gòu)造進(jìn)行求解.常見同構(gòu)：①；②；③④；【典例1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知m是方程的一個根，則（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】設(shè)，同構(gòu)得到，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到，結(jié)合m是方程的一個根，故，解得，從而求出答案.【詳解】，設(shè)，則恒成立，故單調(diào)遞增，由得，即.因為m是方程的一個根，所以，所以，所以.故選：B.【典例1-2】（全國·模擬預(yù)測）若方程在上有實根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，化簡得到，設(shè)，得到，求得，得到為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在上有實根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，進(jìn)而求得的范圍.【詳解】由，可得，即，因為，可得，所以，其中，設(shè)，則，又因為，所以在上為增函數(shù)，所以，即，所以問題轉(zhuǎn)化為方程在上有實根，設(shè)（），則，所以在上是減函數(shù)，所以，解得．故選：C．【變式1-1】（全國·模擬預(yù)測）已知是方程的一個根，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】解法一

根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)得到在上為增函數(shù)，得到，即，即可求解；解法二

根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在上為增函數(shù)，得到，即可求解.【詳解】解法一

因為是方程的一個根，所以，即，整理得，令，則恒成立，所以在上為增函數(shù)，由，可得，所以，所以．解法二

因為是方程的一個根，所以，即，所以，所以，令，可得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由，可得，所以，所以．故選：D．【變式1-2】（四川綿陽·高三四川省綿陽實驗高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知且則一定有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，利用在上的單調(diào)性比較大小可得答案.【詳解】因為所以，所以，令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，因為所以，則所以，即，故A正確；故B錯誤；因為，所以，因為，所以不確定，故CD錯誤.故選：A.【變式1-3】（山東日照·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由已知得，構(gòu)造，結(jié)合的單調(diào)性知，故將化為，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可.【詳解】∵，∴即，設(shè)，則，且，所以在上，單調(diào)遞增，正實數(shù)，，∴，即，所以等價于，即，∴，設(shè)，∴，∴，設(shè)，，所以單調(diào)遞減，且，所以在上，，，單調(diào)遞增，在上，，，單調(diào)遞減，所以，即最大值為0，故選：A.題型04同構(gòu):不等式型同構(gòu)求參【解題攻略】（1）乘積模型：（2）商式模型：（3）和差模型：【典例1-1】（全國·安陽市第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式在上恒成立，則正數(shù)m的最大值為（

）A． B．0 C．e D．1【答案】C【分析】將不等式變形得到，構(gòu)造，研究其單調(diào)性得到，取對數(shù)后參變分離得到，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到，從而得到，求出，得到答案.【詳解】變形為，即，其中，，故，令，則有，因為在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，兩邊取對數(shù)得：，則，令，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，也是最大值，，所以，解得：，故正數(shù)m的最大值為.故選：C【典例1-2】（2020上·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用同構(gòu)變形得到，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合其單調(diào)性和求解的是a的最小值，考慮兩種情況，進(jìn)行求解，最終求得實數(shù)a的最小值.【詳解】因為，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，與1的大小不定，但當(dāng)實數(shù)a最小時，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時因為當(dāng)時，單調(diào)遞減，故，兩邊取對數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．故選：C【變式1-1】（2022下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題目不等式構(gòu)造，得到，構(gòu)造，，證明出在上恒成立，得到在上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意，．令，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，故在上恒成立，其中在單調(diào)遞增，故．所以，實數(shù)的取值范圍是.故選：D【變式1-2】（浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，，則（

）A．既有最小值，也有最大值 B．有最小值，沒有最大值C．有最大值，沒有最小值 D．既沒有最小值，也沒有最大值【答案】B【分析】對不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性與同構(gòu)得到，從而利用導(dǎo)函數(shù)研究，求出最大值，從而求出，得到答案.【詳解】變形為：，令（）則上式可化為：，其中，所以（）單調(diào)遞增，故，即，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在處取得極大值，也是最大值，故，所以，解得：，綜上：有最小值，無最大值.故選：B【變式1-3】（安徽亳州·高三統(tǒng)考期末）已知，若時，恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性解出，兩邊取對數(shù)，進(jìn)行參變分離，求導(dǎo)后求出最值，得到答案.【詳解】令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因為，，所以，，因為，所以，兩邊取對數(shù)得，即，故，令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上取得最大值，，故，綜上：的最小值為.故選：C.題型05恒成立求參：移項討論型【解題攻略】一般地，已知函數(shù)，（1）若，，有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故；【典例1-1】（全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知函數(shù)存在極小值且滿足，由此可得出，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析得出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】函數(shù)的定義域為，則，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則存在，使得，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，，由于函數(shù)有唯一零點，則，由，解得，所以，，令，其中，，，則，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，從而可得，解得.故選：C.【典例1-2】.（全國·高三專題練習(xí)）若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，即，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，由遞增，由零點存在定理知存在，使，則可得，，代入，得關(guān)于的不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求得的取值范圍，再由，求得a的最大值.【詳解】令，，所以，因為需要保證有意義，所以，所以在上單調(diào)遞增，因為當(dāng)時，，且，所以，使得，并且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且，所以，，所以所以，考慮函數(shù)，其中，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以解得到，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以的最大值為.故選：C【變式1-1】（2020·福建省福州第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知，且時，恒成立，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，原不等式轉(zhuǎn)化為成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，利用最小值不小于0，可求出a的范圍，從而求其最小值.【詳解】設(shè)，，下面先求，且；當(dāng)時，，設(shè)，，在增，故，當(dāng)時，故，滿足題設(shè)；當(dāng)時，，，則使，即，且在減，在增，則，記，則，，在減，由，即，知，即，故，設(shè)，則，故在減，故，即，因此的最小值是.【變式1-2】（全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】對函數(shù)求導(dǎo)得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點，然后對參數(shù)分類討論，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值；在時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.①當(dāng)時，對任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，，則對任意的，.此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；②當(dāng)時，解方程，得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，.（i）當(dāng)時，即當(dāng)時，則對任意的，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；（ii）當(dāng)時，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，由零點存在定理可知，存在和，使得，即，且當(dāng)和時，，此時，；當(dāng)時，，此時，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則，.因此，實數(shù)的取值范圍是，故選C.【變式1-3】（江蘇揚州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）當(dāng)時，不等式有解，則實數(shù)m的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先令，構(gòu)造導(dǎo)數(shù)證得在上存在使得，即滿足題意，故排除D；再利用一次函數(shù)的單調(diào)性證得當(dāng)時，在上恒成立，即可排除BC，實則至此已經(jīng)可以選擇A選項，然而我們可以進(jìn)一步證得當(dāng)時，題設(shè)不等式也成立，由此選項A正確.【詳解】當(dāng)時，題設(shè)不等式可化為有解，令，則問題轉(zhuǎn)化為有解，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，故在上存在唯一零點，且，兩邊取自然對數(shù)得，所以當(dāng)時，，即，故單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，故單調(diào)遞增；所以，即在上存在使得，即有解，即滿足題意，故排除D.由上述證明可得，即在上恒成立，令，則，故在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，，即，故，即當(dāng)時，在上恒成立，顯然題設(shè)不等式無解，矛盾，故排除BC；當(dāng)時，，即，故，又，故，即至少有一解；綜上：，即選項A正確.故選：A.題型06恒成立求參：虛設(shè)零點型【解題攻略】虛設(shè)零點法：涉及到導(dǎo)函數(shù)有零點但是求解相對比較繁雜甚至無法求解的情形時，可以將這個零點只設(shè)出來而不必求出來，然后尋找一種整體的轉(zhuǎn)換和過度，再結(jié)合其他條件，進(jìn)行代換變形，從而最重獲得問題的解決（1）、整體代換：把超越式子（多為指數(shù)和對數(shù)式子）轉(zhuǎn)化為普通的（如二次函數(shù)一次哈數(shù)等）可解式子，如比值代換等等。（2）、反代消參：反解參數(shù)代入，構(gòu)造單一變量的函數(shù)。如果要求解（或者要證明）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，則可以通過反解參數(shù)，用變量（零點）表示參數(shù)，然后把函數(shù)變成關(guān)于零點的單一函數(shù)，再對單一變量求導(dǎo)就可以解決相應(yīng)的問題。（3）留參降次（留參、消去指對等超越項）：如果要求解的與參數(shù)有關(guān)，則可以通過消去超越項，建立含參數(shù)的方程或者不等式。恒等變形或者化簡方向時保留參數(shù)，通過“降次”變換，一直降到不可再降為止，再結(jié)合條件，求解方程或者不等式，解的相應(yīng)的參數(shù)值或者參數(shù)范圍【典例1-1】（四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（理）試題）已知不等式對恒成立，則取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而通過導(dǎo)數(shù)方法求出函數(shù)的最小值，即可得到答案.【詳解】不等式對恒成立，即對恒成立，令，，而在單調(diào)遞增（增+增），且，所以（x0唯一），使得.則時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.所以根據(jù)，所以，所以.故選：A.【典例1-2】（黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于的不等式對一切正實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值，得到，再利用基本不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則對一切正實數(shù)恒成立，即，由，令，則恒成立，所以在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上，存在使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值為，因為，即，所以恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故，所以．故選：C．【變式1-1】設(shè)實數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的符號判斷的單調(diào)性，由零點存在性定理易知使，此時，進(jìn)而討論的單調(diào)性可知，要使題設(shè)不等式恒成立，即成立，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性確定的區(qū)間，進(jìn)而求的范圍.【詳解】令，只需要上恒成立，∵且，∴，即在上單調(diào)遞增，∵，，∴，使，即，∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；故只需，令，∴，故在上遞減，而，∴時，恒成立，可知.故選：C【變式1-2】.已知函數(shù)有唯一零點，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知函數(shù)存在極小值且滿足，由此可得出，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析得出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】函數(shù)的定義域為，則，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則存在，使得，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，，由于函數(shù)有唯一零點，則，由，解得，所以，，令，其中，，，則，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，從而可得，解得.故選：C.【變式1-3】若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，即，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，由遞增，由零點存在定理知存在，使，則可得，，代入，得關(guān)于的不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求得的取值范圍，再由，求得a的最大值.【詳解】令，，所以，因為需要保證有意義，所以，所以在上單調(diào)遞增，因為當(dāng)時，，且，所以，使得，并且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且，所以，，所以所以，考慮函數(shù)，其中，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以解得到，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以的最大值為.故選：C題型07“倍縮”型函數(shù)求參數(shù)【解題攻略】如果函數(shù)在定義域的某個區(qū)間（）上的值域恰為（），則稱函數(shù)為上的k倍域函數(shù)，稱為函數(shù)的一個k倍域區(qū)間．把函數(shù)存在區(qū)間，使得函數(shù)為上的倍域函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為是解答的關(guān)鍵.【典例1-1】（陜西省漢中中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試卷）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)定義及函數(shù)單調(diào)性，分析可得關(guān)于x的方程，判斷出方程有兩個不等的實數(shù)根；構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)求得極值點，代入后求得t的最大值．【詳解】因為函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，且為遞增函數(shù)所以存在，使在上的值域為則，由此可知等價于有兩個不等實數(shù)根。令則，令解得代入方程得解得，因為有兩個不等的實數(shù)根所以t的取值范圍為所以選B【典例1-2】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)西溪校區(qū)2020-2021學(xué)年高三3月數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)的定義域為，若函數(shù)滿足條件：存在，使在上的值域是，則稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，即滿足存在，使在上的值域是由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)在上是增函數(shù)所以，則，即所以方程有兩個不等的實根，且兩根都大于0則，解得所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【變式1-1】（2020年浙江省新高考考前原創(chuàng)沖刺卷（二））設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍脹函數(shù)”.若函數(shù)為“倍脹函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是________.【答案】【分析】根據(jù)定義及函數(shù)的單調(diào)性，可得方程有兩個不等的實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)求得極值點，代入，求得的最大值，進(jìn)而可求解.【詳解】解：因為函數(shù)為“倍脹函數(shù)”，且定義域為，所以存在，使在上的值域為.因為為增函數(shù)，所以，所以方程有兩個不等的實數(shù)根.令，則，令，解得.易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.易知當(dāng)時，，當(dāng)時，所以要使方程有兩個不等的實數(shù)根，只需，得，所以t的取值范圍為.故答案為：【變式1-2】（河北省邢臺一中2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期模擬數(shù)學(xué)（理)試題）.設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在，使得在區(qū)間上的值域為，則稱為“倍函數(shù)”.已知函數(shù)為“3倍函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】問題轉(zhuǎn)化為有兩個不等的實數(shù)根，設(shè)，換元有兩個不等的正實數(shù)根，記，求導(dǎo)則，結(jié)合圖象得出結(jié)論.【詳解】解：由函數(shù)為“3倍函數(shù)”，且函數(shù)單調(diào)遞增，得，即，有兩個不等的實數(shù)根，設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有兩個不等的正實數(shù)根.記，則，令，得，當(dāng)時，，故可畫出函數(shù)與的草圖，如下圖所示：由圖可知，，時，有兩個交點，即有兩個不等的實數(shù)根.故選：A.【變式1-3】（2022吉林吉林·高三階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)的定義域為，若滿足條件：存在，使在上的值域為（且），則稱為“倍函數(shù)”，若函數(shù)為“3倍函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)與方程的關(guān)系得：函數(shù)為“3倍函數(shù)”，即函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點，設(shè)，再利用導(dǎo)數(shù)可得求出的單調(diào)區(qū)間，只需，即可求出【詳解】因為函數(shù)為增函數(shù)，由函數(shù)為“3倍函數(shù)”，即函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點，設(shè)，則，又，所以，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，要使的圖像與直線有兩個不同的交點，則需，即所以，所以所以所以所以即又，所以故選A

.題型08恒成立求參：“等式”型【解題攻略】一般地，已知函數(shù)，若，，有，則的值域是值域的子集．【典例1-1】（四川·綿陽中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，，若，使得，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【解析】直接對和進(jìn)行求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得出在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)和在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，由于，使得，則，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因為函數(shù)，，，在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，所以，，在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，所以，由于使得，所以，當(dāng)時，得或，所以或，所以，得．故選：B．【典例1-2】．（福建·泉州市城東中學(xué)高三）已知，是函數(shù)的兩個極值點，且，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求導(dǎo)由，是極值點，得，進(jìn)而將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)求得最小值，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得，，，所以，是方程的兩個正根，所以，不等式恒成立，即恒成立；又，則，又，可得，則.令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：B.【變式1-1】（四川成都·高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)，，其中．若對任意的正實數(shù)，，不等式恒成立，則a的最小值為（

）A．0 B．1 C． D．e【答案】C【分析】根據(jù)不等式恒成立的等價形式，求的最小值，然后分離常數(shù)得恒成立，令求其最大值，從而得到的取值范圍，進(jìn)而求得最小值.【詳解】依題意，當(dāng)時，不等式恒成立，等價于，對于，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；，，的最小值為.故選：C.【變式1-2】（河南安陽·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化不等式為，再分離轉(zhuǎn)化為求最大值，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可確定結(jié)果.【詳解】，，∴令，解得，單調(diào)遞增，∴令，解得，單調(diào)遞減，∵因為對，使得成立，所以使得成立，因為，所以，使得成立，令，所以，在單調(diào)遞增，，因此，在單調(diào)遞增，，，故選：A【變式1-3】（江蘇省南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，對任意的，總存在使得成立，則a的范圍為_________．【答案】【分析】解題的關(guān)鍵在于讀懂“對任意的，總存在使得成立”這一恒成立問題，即要恒成立，先通過求導(dǎo)求出，再通過恒成立問題分離參數(shù)，被分離部分再構(gòu)造函數(shù)求最值，即可求出【詳解】解：對任意的，總存在使得成立，即恒成立∵，∴∴當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，則記，，，在上單減，，所以單減，則，單增，，單減，所以故當(dāng)時，．故實數(shù)a的取值范圍為．題型09雙變量型不等式范圍最值【解題攻略】一般地，已知函數(shù)，不等關(guān)系(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【典例1-1】（四川眉山·高三眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點，且，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．有極小值點【答案】C【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極小值，根據(jù)極小值小于0，判斷A；根據(jù)方程，指對互化，判斷B；根據(jù)極值點的位置，結(jié)合，即可判斷C；根據(jù)A的判斷，即可判斷D.【詳解】由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時，在上恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)有兩個零點且，對A，則，且，所以，解得，所以A正確；對B，，且，，故，，所以，所以B正確；對C，由，且由A可知，，，則，但不能確定，所以C不正確；對D，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值點為，所以D正確；故選：C.【典例1-2】（福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)，若，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)、且，結(jié)合圖象得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)得，結(jié)合變形、基本不等式，即可判斷各項正誤.【詳解】，則，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，在上，且，，，即.綜上，的圖象如下：結(jié)合，，令，如上圖，若且，則，則不一定成立，A錯誤；又，故，則不一定成立，B錯誤；令，則，當(dāng)時，，得，則；當(dāng)時，，得，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，所以在R上恒成立，得，即，又，所以，由，且函數(shù)在單調(diào)遞減，得，即，D正確.又，則，即，故，C錯誤.故選：D.【變式1-1】（2019下·河南鶴壁·高三鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，曲線上總存在兩點，，使曲線在兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題得，分析得到對都成立，再求函數(shù)，的最小值得解.【詳解】由題得函數(shù)的導(dǎo)數(shù).由題意可得（，且）.即有，化為，而，∴，化為對都成立，令，，，對恒成立，即在遞增，∴，∴，∴，即的取值范圍是.選：B.【變式1-2】（2019下·山西長治·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若方程x﹣2lnx+a＝0存在兩個不相等的實數(shù)根x1和x2，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】x1和x2是方程x﹣2lnx+a＝0兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)，代入方程消去得到關(guān)系，令，用表示，進(jìn)而將用表示，構(gòu)造函數(shù)判斷與的大小關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】x1和x2是方程x﹣2lnx+a＝0兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)，,兩式相減得，令，，，令，令恒成立，在是單調(diào)遞增，恒成立，在是單調(diào)遞增，恒成立，，.故選:B.【變式1-3】（2021上·高三單元測試）已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對A，分別作出函數(shù)，，的圖象，通過圖象觀察易得成立；利用基本不等式可證B成立；構(gòu)造函數(shù)可證C成立；構(gòu)造函數(shù)可得，再利用函數(shù)的單調(diào)性，可證得D不成立；【詳解】對A，如圖，作出函數(shù)、和的草圖，因為A，B關(guān)于C對稱，且，因為，所以，故A正確；對B，由基本不等式，，因為，所以等號不成立，故B正確；對C，因為，所以，記，則，故時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，故C正確；對D，記，則，，則，又，易知在上單調(diào)遞增，故，故D錯誤．故選：D．題型10雙變量型：凸凹反轉(zhuǎn)型【解題攻略】凸凹翻轉(zhuǎn)型常見思路，如下圖轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題是關(guān)鍵?！镜淅?-1】（全國·高三專題練習(xí)）設(shè)大于1的兩個實數(shù)a，b滿足，則正整數(shù)n的最大值為（

）．A．7 B．9 C．11 D．12【答案】B【分析】將已知條件變形為，構(gòu)造兩個函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可.【詳解】解：易知等價于．令，則．令得．當(dāng)時；當(dāng)時．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有最大值．令，則．當(dāng)時不符合，舍去，所以．則，．當(dāng)時；當(dāng)時．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有最小值．若成立，只需，即，即．兩邊取自然對數(shù)可得．當(dāng)時等式成立；當(dāng)時有．令，本題即求的最大的正整數(shù)．恒成立，則在上單調(diào)遞減．因為，，，所以的最大正整數(shù)為9．故選：B．【典例1-2】（江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】不等式可化為，分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大、最小值，由不等式左邊最小值等于右邊的最大值，建立方程即可得解.【詳解】由，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；設(shè)，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，則，此時，則.故選：A【變式1-1】.已知實數(shù)，滿足，則的值為A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，得，變形為，令，，求導(dǎo)求最值得,結(jié)合取等條件求出x,y即可【詳解】設(shè)，，則，令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,則在單調(diào)遞增單調(diào)遞減，令，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由題意，，，，,故x+y=2。故選A【變式1-2】（安徽省六安市第一中學(xué)、合肥八中、阜陽一中三校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點定義，令，可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并令，解得，且根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)性，進(jìn)而可得在處取得最大值。所以可得，進(jìn)而根據(jù)極限值情況可得m的取值范圍?！驹斀狻苛?，可化為，令，，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，先增后減，即從負(fù)無窮增大到，然后遞減到，而函數(shù)是時由正無窮遞減到0，然后又逐漸增大，所以，即所以選B題型11多參型：代換型【解題攻略】不等式中，可以借助對數(shù)均值不等式解決，完整的對數(shù)均值不等式為：，可用兩邊同除，令整體換元的思想來構(gòu)造函數(shù)，證明不等式成立求解參數(shù)【典例1-1】（全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對于正實數(shù)a，若關(guān)于t的方程恰有三個不同的正實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】研究的圖像可知，若，令，則，且，可以推出，或，通過對數(shù)不等式寫出關(guān)于的不等式，即可求出的范圍【詳解】因為，，令得：；令得：，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且時，恒成立，的圖像如下：令，則，且①當(dāng)時，，成立，所以是方程的一個實數(shù)根②當(dāng)時，由得：，令則：，兩式相減得：，兩式相加得：所以：，由對數(shù)均值不等式得：所以：，且，所以，，即：所以故選：D【典例1-2】（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）若對任意正實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_________【答案】【分析】將原不等式等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此求得的取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】對任意正實數(shù)恒成立，即恒成立，對任意正實數(shù)恒成立，令則.設(shè)則令則在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，當(dāng)時，在(0，1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故答案為：【變式1-1】（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)三次函數(shù)，（a,b,c為實數(shù)且）的導(dǎo)數(shù)為，記，若對任意，不等式恒成立，則的最大值為____________【答案】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，二次求導(dǎo)，求出，不等式恒成立問題即二次不等式恒成立問題，根據(jù)圖像可得且，可得出，分和討論，利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可求得的最大值．【詳解】因為，所以，即.因為對任意，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以且，即，所以，所以，所以，令，則.①當(dāng)時，；②當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值為.故答案為【變式1-2】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），則實數(shù)的可能的取值是（

）A． B． C． D．0【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，求出的取值范圍，進(jìn)而可得的取值范圍，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】解：，令，又，，且，令，則，再令，在上單調(diào)遞增又，在上，；在上，，則在上，；在上，，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，或或所以結(jié)合選項，可知答案選B.故選：B【變式1-3】（江蘇省揚州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三考試數(shù)學(xué)）若正實數(shù)滿足，則函數(shù)的零點的最大值為______.【答案】【分析】根據(jù)題意，先求出函數(shù)的零點，，然后換元，轉(zhuǎn)化為求的最大值，求導(dǎo)取得其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求t的最大值，再令，再根據(jù)單調(diào)性求最大值，最后求得結(jié)果.【詳解】因為正實數(shù)滿足，則函數(shù)的零點令所以零點的最大值就相當(dāng)于求的最大值令，所以函數(shù)是單調(diào)遞減的，當(dāng)t取最小值時，f(t)取最大值又因為，a+b=1所以令，令，解得，此時遞增。，解得，此時遞減，所以此時故答案為題型12多參型：二次構(gòu)造放縮型【解題攻略】多參數(shù)型求參數(shù)范圍，或者多參型最值，難點是能夠兩次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出相應(yīng)函數(shù)的最值【典例1-1】（全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，則將問題轉(zhuǎn)化為，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值，問題轉(zhuǎn)化為，時，，從而可求出其最小值.【詳解】關(guān)于的不等式恒成立，即，令，則，，當(dāng)時，，則在上遞增，所以無最大值，當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以，得，所以，即，所以當(dāng)時，，令，所以此時取最小值為，當(dāng)時，，綜上，的最小值為，故選：C【典例1-2】（高三單元測試）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，為實數(shù)，且不等式對任意的恒成立.則當(dāng)取最大值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先構(gòu)造函數(shù)，求出，討論確定出得，則有，再構(gòu)造出函數(shù)，同樣利用導(dǎo)數(shù)確定出的最大值，從而得到值.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，，所以在上遞增，不符合條件，故，令得，所以在上遞增，上遞增，故有，即，則有，令，，則在上遞減，且，所以在上遞增，上遞減，所以，此時取得最大值，且，所以.故選：D【變式1-1】（四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求得最大值，轉(zhuǎn)化為，再令，得到，求其最大值即可.【詳解】因為不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立，令，則在上恒成立，令，所以，若，則，在遞增，當(dāng)時，，不等式不成立，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，所以，所以，所以，令，則，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值是故選：D【變式1-2】（四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)校考）已知函數(shù)，若時，恒有，則的最大值為A． B． C． D．【答案】C【分析】對函數(shù)求導(dǎo)并帶入已知不等式中，將不等式恒成立問題由構(gòu)造新函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)利用分類討論求最小值即可求出ab的不等式關(guān)系，進(jìn)而表示，再令并構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】因為函數(shù)，則，由題可知，對，恒有成立，令，則，當(dāng)時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且時，，不符合題意；當(dāng)時，，當(dāng)時，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減；所以，故，令，則，且，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故，綜上所述，的最大值為.故選：C【變式1-3】（浙江·高三路橋中學(xué)校聯(lián)考）已知，，關(guān)于的不等式無實數(shù)解，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得在定義域內(nèi)恒成立，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和最值結(jié)合恒成立問題可得，進(jìn)而利用二次函數(shù)求的最大值.【詳解】構(gòu)建，由題意可得在定義域內(nèi)恒成立，可得的定義域為，且因為，，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以，令，則，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，若，則，即，所以，當(dāng)時，取到最小值.故選：A.題型13多參型：韋達(dá)定理求參型【典例1-1】（北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知，可得函數(shù)在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答即可．【詳解】函數(shù)的定義域為，由，得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)在上有兩個變號零點，而，所以方程有兩個不等的正根，所以，所以，所以，即．故BCD正確，A錯誤．故選：A．【典例1-2】（江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)既有極大值也有極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的方程有兩個不等正根即可解決問題.【詳解】因為，所以函數(shù)定義域為，，由題意，方程，即有兩個不相等的正根，設(shè)為，則，解得，即的取值范圍為，故選：A.【變式1-1】（山東煙臺·統(tǒng)考二模）若函數(shù)有兩個極值點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由極值點定義確定的關(guān)系，化簡，由此求的范圍.【詳解】因為函數(shù)有兩個極值點，又函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)為，所以方程由兩個不同的正根，且為其根，所以，，，所以，則，又，即，可得，所以或（舍去），故選：C.【變式1-2】（浙江·模擬預(yù)測）已知在上恰有兩個極值點，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意得導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間有兩個零點，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得以及，求出的表達(dá)式，將用表示，表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，令，得，由題意知在上有兩個根，，∴，得．由根與系數(shù)的關(guān)系得，由求根公式得，∵，∴，∵，∴．則，令，則．設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，∴，且，∴，故選：D.【變式1-3】（河南開封·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)的兩個極值點分別是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．或 B．C．存在實數(shù)a，使得 D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由有兩個零點求出a范圍判斷A；根據(jù)選項BCD的特征結(jié)合韋達(dá)定理表示成a的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)推理作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，依題意，，即在上有兩個不等的實根，因此，解得，A錯誤；由韋達(dá)定理得，則，B錯誤；，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此恒成立，C錯誤；，令，，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，所以，D正確.故選：D題型14多參型：單峰函數(shù)絕對值型【典例1-1】（安徽省阜陽市太和第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）若存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【分析】不等式可化為不等式，等價于存在實數(shù)a，b，對任意，不等式成立，等價于存在實數(shù)a，b，不等式成立，分別討論，，的情況，注意由任意性和存在性可知需先求出，再求即可解決.【詳解】不等式可化為不等式，

原題等價于存在實數(shù)a，b，對任意，不等式成立，等價于存在實數(shù)a，b，不等式成立，令，則，

（1）在上，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，此時，

當(dāng)時，，且，則，當(dāng)時，，且，則，從而當(dāng)時，設(shè)，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時，取最小值，最小值為；

（2）當(dāng)時，由可得，y在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

①在時，，則，同理可得，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值，最小值為；

②在時，，則，同理可得，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值，最小值為，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，.綜上所述，，即，

.故答案為.【典例1-2】（中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2019-2020學(xué)年高三1月（一卷）數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)和，總存在，使得，則實數(shù)的最大值為__________．【答案】2【分析】將函數(shù)變形為，設(shè)，，畫出函數(shù)圖像，當(dāng)時取最值，得到答案.【詳解】設(shè)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè)畫出函數(shù)圖像：對任意的實數(shù)和，總存在，使得等價于求最大值里的最小值.根據(jù)圖像知：當(dāng)時，最大值的最小值為2故實數(shù)的最大值為2。答案為2【變式1-1】設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)，總存在使得成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】首先設(shè)在上的最大值為，因為存在實數(shù)使不等式，所以，又由對任意實數(shù)，，恒成立，所以可以得到，所以只需求的最小值即可求出實數(shù)的取值范圍.通過取端點值和中間的特值，得到可得，，，然后尋找合適的系數(shù)進(jìn)行組合，并利用絕對值不等式的性質(zhì)化為常數(shù)，得到其最小值.【詳解】∵，∴在上的最大值為，可得，，，可得，即，∴，∵存在實數(shù)使不等式，所以，又由對任意實數(shù)，，恒成立，∴.故答案為：.【變式1-2】若，，，對任意，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍____________．【答案】【分析】先分類討論的最小值，再分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意得到關(guān)于的不等式，利用構(gòu)造函數(shù)，使用導(dǎo)數(shù)研究不等式的解的情況，從而綜合得出實數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：（1）①當(dāng)時，，，，恒成立，在上增函數(shù)，故當(dāng)時，②當(dāng)時，，，（I）當(dāng)即時，在時為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，且此時（II）當(dāng)，即時，在時為負(fù)數(shù)，在時為正數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，且此時（III）當(dāng)，即時，在時為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，故當(dāng)時，．綜上所述，．由于當(dāng)趨近于時，的趨近于，①當(dāng)時，在上,，單調(diào)遞增，在的取值范圍是[g,由題意得，解得；②當(dāng)時，.，即時，在上減，在上增，當(dāng)趨近于時，g的趨近于，由題意得，即(*)設(shè)，，，，所以單調(diào)遞增,∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.∴由得,即，∴時符合題意；③當(dāng)時在遞增，在遞減，在遞增，當(dāng)趨近于時，g的趨近于，若時，由題意得。得（**），設(shè)，.則，所以遞增，且，所以恒成立，∴此時不等式（**）無解；若當(dāng)時，由題意得得，即（***）由于，∴,而，∴不等式（***）無解．綜上，所求a的取值范圍是．故答案為：【變式1-3】（浙江省溫州市2021-2022學(xué)年高三適應(yīng)性測試一模數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù).若在上的最大值為2，則實數(shù)a所有可能的取值組成的集合是________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的最大值,依據(jù)可求出的兩種情況.討論的不同取值,去掉內(nèi)層的絕對值,利用導(dǎo)數(shù)分析三次函數(shù)的極值點,進(jìn)而求得最大值與最小值.通過函數(shù)的上下平移,結(jié)合最值即可求得的所有取值.【詳解】因為函數(shù).若在上的最大值為2所以,即當(dāng)時,不等式化為,解得當(dāng)時,不等式化為,解得由以上可知:(1)當(dāng)時,函數(shù)解析式可化為令,則當(dāng)時解得當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞增當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞減當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞增.所以,當(dāng)時,向下平移個單位可得的圖像因為在上的最大值為2。所以只需滿足即可,即,解得,或(舍)當(dāng)時,向上平移個單位可得到的圖像。由在上的最大值為2?？芍恍铦M足即可.即,解得,符合題意(2)當(dāng),函數(shù)解析式可化為令,則所以在上單調(diào)遞增則當(dāng)時,向下平移個單位可得由在上的最大值為2只需,即解得或(舍)當(dāng)時,向上平移個單位可得由在上的最大值為2只需,即解得或(舍)綜上可知,滿足條件的所有可能的為和故答案為:題型15導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)【典例1-1】函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)周期性只需考慮函數(shù)最值，結(jié)合得時函數(shù)取得最大值，利用導(dǎo)函數(shù)分析單調(diào)性，結(jié)合隱零點求解最值.【詳解】由題，只需考慮函數(shù)最值即可，，所以當(dāng)即時函數(shù)取得最大值，，考慮函數(shù)，，所以必存在唯一零點，，且遞減，遞增，記，由正弦函數(shù)單調(diào)性可得：函數(shù)遞增，函數(shù)遞減，所以函數(shù)，解得，所以.故選：A【典例1-2】已知函數(shù)，若對于任意的，均有成立，則實數(shù)a的最小值為A． B．1 C． D．3【答案】B【分析】首先判斷的單調(diào)性，假設(shè)，將去絕對值，化簡后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合的單調(diào)性進(jìn)行化簡，利用分離常數(shù)法求得實數(shù)的最小值.【詳解】依題意，且.所以，故在時單調(diào)遞增.不妨設(shè)，則，且.故由得，即，構(gòu)造函數(shù)，則在時單調(diào)遞減.故在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.構(gòu)造函數(shù)，，故在區(qū)間上遞減，故，所以.故的最小值為.故選B.【變式1-1】函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為___________.【答案】-7【分析】由函數(shù)解析式可得兩函數(shù)圖象均關(guān)于點（﹣1，0）對稱，進(jìn)而探討函數(shù)的單調(diào)性，然后畫出圖象的大致形狀，即可求得兩圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和.【詳解】易知函數(shù)的圖象關(guān)于點（﹣1，0）對稱，設(shè)函數(shù)圖象上任意一點為，則它關(guān)于（-1,0）的對稱點為，將其代入的