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直線的傾斜角和斜率【教學(xué)目標(biāo)】學(xué)問目標(biāo)①讓同學(xué)經(jīng)受傾斜角這個(gè)反映傾斜程度的幾何量的形成過程,能自然理解傾斜角的概念.②通過對坡角、坡度概念回顧,經(jīng)過教學(xué)使同學(xué)能把此學(xué)問遷移到直線的斜率中,并理解斜率的定義.③經(jīng)受用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,使同學(xué)初步把握過已知兩點(diǎn)的直線的斜率坐標(biāo)公式.(2)力量目標(biāo)①通過直線的傾斜角概念學(xué)習(xí)和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示,培育同學(xué)觀看、探究、和抽象概括力量,運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的表達(dá)力量,數(shù)學(xué)溝通與評價(jià)力量.②通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo),掛念同學(xué)進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想,滲透辯證唯物主義思想,滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何爭辯思想.(3)情感目標(biāo):①通過自主探究與合作溝通的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置,激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)熱忱和求知欲,充分體現(xiàn)同學(xué)的主體地位.②通過數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用,讓同學(xué)感受和體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力,培育同學(xué)的數(shù)學(xué)意識和科學(xué)精神.【教學(xué)重點(diǎn)】①直線傾斜角與斜率概念;②推導(dǎo)并把握過兩點(diǎn)的直線斜率公式;③體會(huì)數(shù)形結(jié)合及分類爭辯思想的應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】斜率概念的學(xué)習(xí)和過兩點(diǎn)斜率公式的建立過程.【教法、學(xué)法指導(dǎo)】老師啟發(fā)引導(dǎo)與同學(xué)自主探究相結(jié)合.1.本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有兩大項(xiàng):傾斜角的概念、斜率的概念.同學(xué)思維也對應(yīng)兩個(gè)高潮:傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切.相應(yīng)的教學(xué)過程也有兩個(gè)階段:
①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問題情境,然后通過爭辯明確用角來刻畫直線的方向,如何定義這個(gè)角呢,同學(xué)在爭辯中漸漸明確傾斜角的概念.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對斜率概念的理解。同學(xué)認(rèn)為傾斜角就可以刻畫直線的方向,而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的,而斜率卻不是這樣.還有,為什么要用傾斜角的正切定義斜率?要解決這些問題,可引導(dǎo)同學(xué)聯(lián)想工程問題中的“坡度”問題,以及三角函數(shù)的定義.
2.本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中接受啟發(fā)式探究教學(xué),設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、歸納總結(jié)的教學(xué)模式。同學(xué)在樂觀思維的基礎(chǔ)上,進(jìn)行充分的爭辯、爭辯、溝通、小結(jié).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切,這兩項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在爭辯、溝通、歸納中完成的.在此過程中同學(xué)的思維和力量得到充分的進(jìn)展。老師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問題情境,引發(fā)爭辯,組織溝通,歸納總結(jié).【教學(xué)手段】多媒體幫助課堂教學(xué).四、教學(xué)方法利用計(jì)算機(jī)和實(shí)物投影等幫助教學(xué),接受啟發(fā)和探究-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式.五、教學(xué)過程教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境直線——最簡潔的幾何圖形(飛逝的流星等)結(jié)合平面幾何確定直線得幾何條件:1.兩點(diǎn)確定一條直線2.過一個(gè)點(diǎn)有很多條直線運(yùn)用同學(xué)生疏的流星的運(yùn)動(dòng)軌跡,以趣引思,激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)熱忱.探究問題(一)問題1:確定一條直線的幾何要素是什么?(除了點(diǎn)以外,還有直線的方向,也就是直線的傾斜程度)讓同學(xué)觀看生活中簡單的直線(如右圖斜拉橋)傾斜角的概念:在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線,把軸(正方向)按逆時(shí)針方向圍著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所成的角,叫做直線的傾斜角.通常傾斜角用表示。師提出問題:把誰旋轉(zhuǎn)?怎么樣旋轉(zhuǎn)?旋轉(zhuǎn)到什么位置?師引導(dǎo)同學(xué)給出直線在坐標(biāo)系中的四種位置關(guān)系:總結(jié):直線傾斜角的范圍是:辨析訓(xùn)練:下列圖中標(biāo)出的直線的傾斜角對不對?問題2:導(dǎo)出直線斜率的概念探究問題(二)(二)探究問題(二)(二)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角刻畫了直線的傾斜程度。在日常生活中,我們用坡度來刻畫道路的“傾斜程度”,坡度即坡面的鉛直高度和水平長度的比,這相當(dāng)于在水平方向移動(dòng)1km,在鉛直方向上升或下降的數(shù)值(km),這個(gè)比值表示了坡度的大小。這樣的例子很多,比如,樓梯的坡度等。為了用坐標(biāo)的方法刻畫直線的傾斜角,我們引入了直線的斜率的概念先來看看過原點(diǎn),傾斜角為的直線的斜率。(1)的直線的斜率觀看圖(1),圖中直線上的點(diǎn),,當(dāng)橫坐標(biāo)x從0到1增加一個(gè)單位時(shí),縱坐標(biāo)y從0增加到k(k0),我們稱k為這條直線的斜率,不同的傾斜角對應(yīng)不同的斜率。探究問題(二)圖(2)中,由于△OPQ與△ABC相像,所以==K,這樣,斜率K可以用來計(jì)算實(shí)際上斜率K就是這條直線傾斜角的正切值。通常我們把也叫直線的斜率,記如圖(3),在直線l上任取兩個(gè)不同點(diǎn)設(shè)△x=x2-x1,y2-y1由相像三角形的關(guān)系可得,所以,直線斜率可以表示為,其中.(2).90°<<180°的直線的斜率如圖(4),直線上的點(diǎn),當(dāng)橫坐標(biāo)x從0到1增加一個(gè)單位時(shí),縱坐標(biāo)y從0削減了k(k0),我們稱-k為這條直線的斜率。在以后的學(xué)習(xí)中,我們將知道,90°<<180°的直線的斜率也可以用它的傾斜角的正切值表示。(3)=0°的直線的斜率由可知,當(dāng)=0°時(shí),縱坐標(biāo)的增量為零,故此時(shí)直線的斜率為零。(4)=90°的直線的斜率由可知,當(dāng)=90°時(shí),橫坐標(biāo)的增量為零,即分母為零無意義。故傾斜角為90°的直線斜率不存在。思考溝通:(1)0°≤90°時(shí),斜率是非負(fù)的,傾斜角變化時(shí),直線的斜率如何變化?(2)90°<<180°時(shí),斜率是負(fù)的,傾斜角變化時(shí),直線的斜率如何變化?呈現(xiàn)結(jié)論:(1)當(dāng)傾斜角0°≤90°時(shí),斜率是非負(fù)的,傾斜角越大,直線的斜率就越大;(2)當(dāng)傾斜角90°<<180°時(shí),斜率是負(fù)的,傾斜角越大,直線的斜率就越大。概念辨析:下列哪些說法是正確的(E)A.任一條直線都有傾斜角,也都有斜率B.直線的傾斜角越大,斜率也越大C.平行于x軸的直線的傾斜角是0°或180°D.兩直線的傾斜角相等,它們的斜率也相等E.兩直線的斜率相等,它們的傾斜角也相等例1已知直線的傾斜角求直線的斜率例題演示及練習(xí)及練習(xí)及練習(xí)(1)0°,(2)30°,(3)45°(4)60°例題演示及練習(xí)及練習(xí)及練習(xí)例2求過兩點(diǎn)的直線的斜率直線PQ過點(diǎn);直線AB過點(diǎn)變式訓(xùn)練:求圖中直線OB,OC,OD的斜率(一)引導(dǎo)同學(xué)從以下四個(gè)方面進(jìn)行總結(jié):小結(jié)與作業(yè)1直線傾斜角的定義及范圍:小結(jié)與作業(yè)2.直線斜率的定義:3.斜率與傾斜角的關(guān)系:4.斜率公式:(二)作業(yè):課本第63頁:4,5反思提升:將從
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