【名師一號】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1：第二章-圓錐曲線與方程-單元同步測試

其次章測試題(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－7，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＝－28y B．y2＝28xC．y2＝－28x D．x2＝28y解析由條件可知eq\f(p,2)＝7，∴p＝14，拋物線開口向右，故方程為y2＝28x.答案B2．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析依題意知c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3.故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案D3．雙曲線x2－eq\f(y2,m)＝1的離心率大于eq\r(2)的充分必要條件是()A．m>eq\f(1,2) B．m≥1C．m>1 D．m>2解析由e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＝eq\f(1＋m,1)＝1＋m>2，m>1.答案C4．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積為m，則m取最大值時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(5,0)或(－5,0) B．(eq\f(5,2)，eq\f(3\r(3),2))或(eq\f(5,2)，－eq\f(3\r(3),2))C．(0,3)或(0，－3) D．(eq\f(5\r(3),2)，eq\f(3,2))或(－eq\f(5\r(3),2)，eq\f(3,2))解析|PF1|＋|PF2|＝2a∴|PF1|·|PF2|≤(eq\f(|PF1|＋|PF2|,2))2＝25.當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝5時(shí)，取得最大值，此時(shí)P點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，故選C.答案C5．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝eq\r(3)x，它的一個焦點(diǎn)在拋物線y2＝24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,108)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,108)－eq\f(y2,36)＝1 D.eq\f(x2,27)－eq\f(y2,9)＝1解析本題主要考查雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于簡潔題．依題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\r(3)，,c＝6，,c2＝a2＋b2，))?a2＝9，b2＝27，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1.答案B6．在y＝2x2上有一點(diǎn)P，它到A(1,3)的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)解析如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，PN⊥l，AN1⊥l，由拋物線的定義知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，N三點(diǎn)共線時(shí)取等號，∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同即為1，則可排解A、C、D項(xiàng)，故選B.答案B7．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上點(diǎn)M(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為()A．4或－4 B．－2C．4 D．2或－2解析由題可知，eq\f(p,2)－(－2)＝4，∴p＝4.∴拋物線的方程為x2＝－8y.將(m，－2)代入可得m2＝16，∴m＝±4.故選A.答案A8．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，過F2且垂直x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析依題意可設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(b2,a)))，又|AB|＝eq\f(b2,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2,a)))＝eq\f(2b2,a)＝3，∴2b2＝3a.又a2－b2＝c2＝1，∴a＝2，b＝eq\r(3).故C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案C9．動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切，則動圓必過點(diǎn)()A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－2)解析直線x＋2＝0是拋物線的準(zhǔn)線，又動圓圓心在拋物線上，由拋物線的定義知，動圓必過拋物線的焦點(diǎn)(2,0)．答案B10．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為d1，d2，焦距為2c，若d1,2c，d2成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(3,4)解析由橢圓的定義可知d1＋d2＝2a又由d1,2c，d2∴4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).答案A11．已知F是拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點(diǎn)，P是該拋物線上的動點(diǎn)，則線段PF中點(diǎn)的軌跡方程是()A．x2＝y(tǒng)－eq\f(1,2) B．x2＝2y－eq\f(1,16)C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2解析由y＝eq\f(1,4)x2?x2＝4y，焦點(diǎn)F(0,1)，設(shè)PF中點(diǎn)Q(x，y)、P(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝0＋x0，,2y＝1＋y0，,4y0＝x\o\al(2,0)，))∴x2＝2y－1.答案C12．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，若eq\f(|PF2|2,|PF1|)的最小值為8a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A．(1,3) B．(1,2)C．(1,3] D．(1,2]解析eq\f(|PF2|2,|PF1|)＝eq\f(|PF1|＋2a2,|PF1|)＝|PF1|＋eq\f(4a2,|PF1|)＋4a≥8a，當(dāng)|PF1|＝eq\f(4a2,|PF1|)，即|PF1|＝2a時(shí)取等號．又|PF1|≥c－a，∴2a≥c－a∴c≤3a，即e≤∴雙曲線的離心率的取值范圍是(1,3]答案C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)13．若雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，則b等于________．解析由題意知eq\f(b,2)＝eq\f(1,2)，解得b＝1.答案114．若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓經(jīng)過點(diǎn)(4,0)，離心率為eq\f(\r(3),2)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析若焦點(diǎn)在x軸上，則a＝4，由e＝eq\f(\r(3),2)，可得c＝2eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1；若焦點(diǎn)在y軸上，則b＝4，由e＝eq\f(\r(3),2)，可得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c2＝eq\f(3,4)a2.又a2－c2＝b2，∴eq\f(1,4)a2＝16，a2＝64.∴橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1.答案eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1，或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝115．設(shè)F1和F2是雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積為________．解析由題設(shè)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(||PF1|－|PF2||＝4，,①,|PF1|2＋|PF2|2＝20，,②)))②－①2得|PF1|·|PF2|＝2.∴△F1PF2的面積S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1.答案116．過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點(diǎn)作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.若∠AOB＝120°(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為________．解析如圖，設(shè)雙曲線一個焦點(diǎn)為F，則△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.∴c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝2.答案2三、解答題(本大題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知拋物線y2＝6x，過點(diǎn)P(4,1)引一條弦P1P2使它恰好被點(diǎn)P平分，求這條弦所在的直線方程及|P1P2|.解設(shè)弦兩端點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在拋物線上，∴yeq\o\al(2,1)＝6x1，yeq\o\al(2,2)＝6x2.兩式相減，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(6,y1＋y2)＝3.∴直線的方程為y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝3x－11，))得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.∴|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,9))eq\r(22－4×－22)＝eq\f(2\r(230),3).18．(12分)雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)F1(0，－5)，F(xiàn)2(0,5)，點(diǎn)P(3,4)是雙曲線的漸近線與橢圓的一個交點(diǎn)，求雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解由共同的焦點(diǎn)F1(0，－5)，F(xiàn)2(0,5)，可設(shè)橢圓的方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,a2－25)＝1(a>5)，雙曲線方程為eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,25－b2)＝1.∵點(diǎn)P(3,4)在橢圓上，∴eq\f(16,a2)＋eq\f(9,a2－25)＝1.解得a2＝40或a2＝10(舍去)．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,40)＋eq\f(x2,15)＝1.又過點(diǎn)P(3,4)的雙曲線的漸近線方程為y＝eq\f(b,\r(25－b2))x，即4＝eq\f(b,\r(25－b2))×3，∴b2＝16.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.19．(12分)已知橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，在橢圓上是否存在點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)A(a,0)(其中0＜a＜3)的距離的最小值為1，若存在，求出a的值及P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解設(shè)存在點(diǎn)P(x，y)滿足題設(shè)條件，則|AP|2＝(x－a)2＋y2.又∵eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴y2＝4(1－eq\f(x2,9))．∴|AP|2＝(x－a)2＋4(1－eq\f(x2,9))＝eq\f(5,9)(x－eq\f(9,5)a)2＋4－eq\f(4,5)a2.∵|x|≤3，當(dāng)|eq\f(9,5)a|≤3，又0<a<3即0＜a≤eq\f(5,3)時(shí)，|AP|2的最小值為4－eq\f(4,5)a2.依題意，得4－eq\f(4,5)a2＝1，∴a＝±eq\f(\r(15),2)?eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))，當(dāng)eq\f(9,5)a＞3，即eq\f(5,3)＜a＜3.此時(shí)x＝3，|AP|2取最小值(3－a)2.依題意，得(3－a)2＝1，∴a＝2.此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)．故當(dāng)a＝2時(shí)，存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)．20．(12分)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直線l為圓O：x2＋y2＝b2的一條切線，記橢圓C的離心率為e.(1)若直線l的傾斜角為eq\f(π,3)，且恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)，求e的大?。?2)在(1)的條件下，設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點(diǎn)，且過A，B，F(xiàn)三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x＋eq\r(3)y＋3＝0相切，求橢圓C的方程．解(1)如圖，設(shè)直線l與圓O相切于E點(diǎn)，橢圓C的右頂點(diǎn)為D，則由題意易知，△OED為直角三角形，且|OE|＝b，|OD|＝a，∠ODE＝eq\f(π,3)，∴|ED|＝eq\r(|OD|2－|OE|2)＝c(c為橢圓C的半焦距)．∴橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(2)由(1)知，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴可設(shè)a＝2m(m>0)，則c＝m，b＝eq\r(3)m，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4m2)＋eq\f(y2,3m2)＝1.∴A(0，eq\r(3)m)，∴|AF|＝2m.直線AF的斜率kAF＝eq\r(3)，∴∠AFB＝60°.在Rt△AFB中，|FB|＝eq\f(|AF|,cos∠AFB)＝4m，∴B(3m,0)，設(shè)斜邊FB的中點(diǎn)為Q，則Q(m,∵△AFB為直角三角形，∴過A，B，F(xiàn)三點(diǎn)的圓的圓心為斜邊FB的中點(diǎn)Q，且半徑為2m∵圓Q與直線l：x＋eq\r(3)y＋3＝0相切，∴eq\f(|m＋3|,\r(1＋3))＝2m.∵m是大于0的常數(shù)，∴m＝1.故所求的橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.21．(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\r(\f(2,3))，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m，n)，使得直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．解(1)由e＝eq\r(\f(2,3))＝eq\f(c,a)，得a2＝eq\f(3,2)c2.又a2－b2＝c2，∴a2＝3b2.故橢圓的方程為x2＋3y2＝3b2.又橢圓上的點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)Q(0,2)的距離d＝eq\r(x－02＋y－22)＝eq\r(3b2－3y2＋y－22)＝eq\r(3b2＋6－2y＋12)∴當(dāng)y＝－1時(shí)，有eq\r(3b2＋6)＝3，解得b＝1.∴橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB，當(dāng)∠AOB＝90°，S△AOB取最大值eq\f(1,2)，此時(shí)點(diǎn)O到直線l距離d＝eq\f(1,\r(m2＋n2))＝eq\f(\r(2),2)，∴m2＋n2＝2.又∵eq\f(m2,3)＋n2＝1，解得：m2＝eq\f(3,2)，n2＝eq\f(1,2).∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\