【創(chuàng)新大課堂】2022高考數(shù)學(新課標人教版)一輪總復習練習：第8章-平面解析幾何-第5節(jié)-拋物線

第八章第5節(jié)一、選擇題1．拋物線的頂點在坐標原點，焦點與雙曲線eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1的一個焦點重合，則該拋物線的標準方程可能是()A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12x D．x2＝－12y[解析]由題意得c＝eq\r(5＋4)＝3，∴拋物線的焦點坐標為(0,3)或(0，－3)，∴該拋物線的標準方程為x2＝12y或x2＝－12y.[答案]D2．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．假如直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|等于()A．4eq\r(3) B．8C．8eq\r(3) D．16[解析]設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,8)，y))，則A(－2，y)，由kAF＝－eq\r(3)，即eq\f(y－0,－2－2)＝－eq\r(3)，得y＝4eq\r(3)，|PF|＝|PA|＝eq\f(y2,8)＋2＝8.[答案]83．已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1,0)，過焦點F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，若直線l的傾斜角為45°，則弦AB的中點坐標為()A．(1,0) B．(2,2)C．(3,2) D．(2,4)[解析]依題意得，拋物線C的方程是y2＝4x，直線l的方程是y＝x－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝x－1))消去y得x2－6x＋1＝0，因此線段AB的中點的橫坐標是eq\f(6,2)＝3，縱坐標是y＝3－1＝2，所以線段AB的中點坐標是(3,2)，因此選C.[答案]C4．(2021·北京東城區(qū)期末)已知拋物線y2＝2px的焦點F與雙曲線eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1的右焦點重合，拋物線的準線與x軸的交點為K，點A在拋物線上，且|AK|＝eq\r(2)|AF|，則△AFK的面積為()A．4 B．8C．16 D．32[解析]由題可知拋物線焦點坐標為F(4,0)．過點A作直線AA′垂直于拋物線的準線，垂足為A′，依據(jù)拋物線定義知，|AA′|＝|AF|，在△AA′K中，|AK|＝eq\r(2)|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直線AK的傾斜角為45°，直線AK的方程為y＝x＋4，代入拋物線方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8.所以△AFK為直角三角形，故△AFK的面積為eq\f(1,2)×8×8＝32.[答案]D5．(2021·株洲模擬)已知直線y＝x－2與圓x2＋y2－4x＋3＝0及拋物線y2＝8x依次交于A，B，C，D四點，則|AB|＋|CD|等于()A．10 B．12C．14 D．16[解析]由題可知直線y＝x－2過圓心(2,0)，拋物線的焦點為(2,0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y2＝8x，))得x2－12x＋4＝0.設A(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以|AD|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(2x1＋x22－8x1x2)＝eq\r(2×122－8×4)＝16，故|AB|＋|CD|＝|AD|－2＝14.故選C.[答案]C6．已知拋物線C∶y2＝4x的焦點為F，準線為l，過拋物線C上的點A作準線l的垂線，垂足為M，若△AMF與△AOF(其中O為坐標原點)的面積之比為3∶1，則點A的坐標為()A．(2,2eq\r(2)) B．(2，－2eq\r(2))C．(2，±eq\r(2)) D．(2，±2eq\r(2))[解析]如圖所示，由題意，可得|OF|＝1，由拋物線的定義，得|AF|＝|AM|，∵△AMF與△AOF(其中O為坐標原點)的面積之比為3∶1，∴eq\f(S△AMF,S△AOF)＝eq\f(\f(1,2)×|AF|×|AM|×sin∠MAF,\f(1,2)×|OF|×|AF|×sinπ－∠MAF)＝3，∴|AF|＝3|OF|＝3，∴|AM|＝|AF|＝3，設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))∴eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1＝3，解得y0＝±2eq\r(2).∴eq\f(y\o\al(2,0),4)＝2，∴點A的坐標是(2，±2eq\r(2))．[答案]D二、填空題7．設P是曲線y2＝4x上的一個動點，則點P到點B(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________．[解析]∵拋物線的頂點為O(0,0)，p＝2，∴準線方程為x＝－1，焦點F坐標為(1,0)，∴點P到點B(－1,1)的距離與點P到準線x＝－1的距離之和等于|PB|＋|PF|.如圖，|PB|＋|PF|≥|BF|，當B、P、F三點共線時取得最小值，此時|BF|＝eq\r(－1－12＋1－02)＝eq\r(5).[答案]eq\r(5)8．(2021·武漢調研)已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點．若AB的中點的坐標為(2,2)，則直線l的方程為________．[解析]由于拋物線的焦點坐標為(1,0)，所以拋物線的方程為y2＝4x.明顯當直線的斜率不存在或為零時不滿足題意，故設直線l的方程為y－2＝k(x－2)，其中k≠0，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－2k，,y2＝4x，))消去y得k2x2＋[4k(1－k)－4]x＋4(1－k)2＝0，明顯eq\f(4k2－4k＋4,2k2)＝2，解得k＝1.故直線l的方程為y＝x.[答案]y＝x9．設O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，A是拋物線上的一點，eq\o(FA,\s\up6(→))與x軸正向的夾角為60°，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝________.[解析]過A作AD垂直于x軸于點D，令|FD|＝m，則|FA|＝2m，p＋m＝2m，m＝∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋p))2＋\r(3)p2)＝eq\f(\r(21),2)p.[答案]eq\f(\r(21),2)p三、解答題10．(2021·廈門模擬)如圖所示，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程；(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1＋y2的值及直線AB的斜率．[解](1)由已知條件，可設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)．∵點P(1,2)在拋物線上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求拋物線的方程是y2＝4x，準線方程是x＝－1.(2)設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，則kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq\f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，∴kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得yeq\o\al(2,1)＝4x1， ①yeq\o\al(2,2)＝4x2， ②∴eq\f(y1－2,\f(1,4)y\o\al(2,1)－1)＝eq\f(－y2－2,\f(1,4)y\o\al(2,2)－1)，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得，yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠x2)．11．(2021·淄博模擬)在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點．(1)假如直線l過拋物線的焦點，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值；(2)假如eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，證明直線l必過肯定點，并求出該定點．[解](1)由題意：拋物線焦點為(1,0)，設l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)證明：設l：x＝ty＋b代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.∴直線l過定點(2,0)．∴若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，則直線l必過肯定點(2,0)．12．(2021·福建寧德質檢)已知點P(1，m)在拋物線C：y2＝2px(p＞0)上，F(xiàn)為焦點，且|PF|＝3.(1)求拋物線C的方程．(2)過點T(4,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點．①求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值；②若以A為圓心，|AT|為半徑的圓與y軸交于M，N兩點，求△MNF的面積．[解](1)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).由拋物線的定義得|PF|＝1＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝4，∴拋物線C的方程為y2＝8x.(2)①依題意可設過點T(4,0)的直線l的方程為x＝ty＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x＝ty＋4))可得y2－8ty－32＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝8t，y1y2＝－32，∴x1·x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝16，∴eq\o(OA,\s\up6(→)