【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第8章-第6節(jié)-空間直角坐標(biāo)系(文)

第八章第六節(jié)一、選擇題1．已知A(2,5，－6)，點(diǎn)P在y軸上，|PA|＝7，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(0,8,0) B．(0,2,0)C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)[答案]C[解析]點(diǎn)P在y軸上，可設(shè)為(0，y,0)，由于|PA|＝7，A(2,5，－6)，所以eq\r(22＋y－52＋62)＝7，解得y＝2或8.2．在空間直角坐標(biāo)系中，全部點(diǎn)P(x,1,2)(x∈R)的集合表示()A．一條直線B．平行于平面xOy的平面C．平行于平面xOz的平面D．兩條直線[答案]A[解析]點(diǎn)P的y坐標(biāo)與z坐標(biāo)不變，只有x坐標(biāo)發(fā)生變化，在空間中表示一條直線．3．(2022·鄭州模擬)A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(eq\f(1,2)，1，－2) B．(eq\f(1,2)，2,3)C．(－12,3,5) D．(eq\f(1,2)，3,2)[答案]B[解析]設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y，z)，則x＝eq\f(－3＋4,2)＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1＋3,2)＝2，z＝eq\f(5＋1,2)＝3，即中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，2,3)．4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x，y，z)，給出下列四條敘述：①點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，－y，z)；②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，－y，－z)；③點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，－y，z)；④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(－x，－y，－z)．其中正確的個數(shù)是()A．3 B．2C．1 D．0[答案]C[解析]①②③不正確；類比平面直角坐標(biāo)系中的對稱問題，易知④正確．5．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(－1,2,3) B．(1，－2，－3)C．(－1，－2,3) D．(－1,2，－3)[答案]B[解析]關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)分別互為相反數(shù)．6．點(diǎn)M(x，y，z)在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影為M1，M1在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的射影為M2，M2在坐標(biāo)平面zOx內(nèi)的射影的坐標(biāo)為()A．(－x，－y，－z) B．(x，y，z)C．(0,0,0) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y＋z,3)，\f(x＋y＋z,3)，\f(x＋y＋z,3)))[答案]C[解析]點(diǎn)M(x，y，z)在平面xOy內(nèi)的射影為M1(x，y,0)，M1在平面yOz內(nèi)的射影為M2(0，y,0)，M2在平面xOz內(nèi)的射影為原點(diǎn)O(0,0,0)．二、填空題7．已知點(diǎn)P在z軸上，且滿足|OP|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1,1)的距離為________．[答案]eq\r(2)或eq\r(6)[解析]設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0，z)，由|OP|＝1得eq\r(z2)＝|z|＝1，故z＝±1.當(dāng)z＝1時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,1)，|PA|＝eq\r(0－12＋0－12＋1－12)＝eq\r(2)；當(dāng)z＝－1時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0，－1)，|PA|＝eq\r(0－12＋0－12＋－1－12)＝eq\r(6).8．在z軸上求一點(diǎn)A，使它到點(diǎn)B(1,1,2)的距離為3eq\r(2)，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．[答案](0,0,6)或(0,0，－2)[解析]設(shè)A(0,0，a)，則|AB|＝eq\r(1－02＋1－02＋2－a2)＝3eq\r(2)，即(a－2)2＝16，∴a＝6或a＝－2，∴A(0,0,6)或(0,0，－2)．9．已知A(3,5，－7)和點(diǎn)B(－2,4,3)，則線段AB在坐標(biāo)平面yOz上的射影的長度為________．[答案]eq\r(101)[解析]求線段AB在坐標(biāo)平面yOz上的射影長，可先求A、B兩點(diǎn)在yOz上的射影，然后再用兩點(diǎn)間距離公式，A(3,5，－7)在yOz上的射影是A′(0,5，－7)，B(－2，4,3)在yOz上的射影是B′(0,4,3)，故|A′B′|＝eq\r(0－02＋5－42＋－7－32)＝eq\r(101).三、解答題10．在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，試問：(1)在y軸上是否存在點(diǎn)M，滿足|MA|＝|MB|?(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．[解析](1)假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，滿足|MA|＝|MB|.由于M在y軸上，所以可設(shè)M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得eq\r(32＋－y2＋12)＝eq\r(－12＋y2＋32)，明顯，此式對任意y∈R恒成立，也就是說y軸上的全部點(diǎn)都滿足|MA|＝|MB|.(2)假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形．由(1)可知，y軸上任一點(diǎn)都滿足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等邊三角形．由于|MA|＝eq\r(3－02＋0－y2＋1－02)＝eq\r(10＋y2)，|AB|＝eq\r(1－32＋0－02＋－3－12)＝eq\r(20)，所以eq\r(10＋y2)＝eq\r(20)，解得y＝±eq\r(10).故y軸上存在點(diǎn)M使△MAB為等邊三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，eq\r(10)，0)或(0，－eq\r(10)，0).一、選擇題1．已知點(diǎn)A(1,2，－1)，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于xOy面對稱，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，則|BC|的值為()A．2eq\r(5) B．4C．2eq\r(2) D．2eq\r(7)[答案]B[解析]點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－2,1)，所以|BC|＝eq\r(1－12＋2＋22＋1－12)＝4.2．已知A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點(diǎn)M在z軸上，且到A、B兩點(diǎn)間的距離相等，則M的坐標(biāo)為()A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)C．(0,0，－3) D．(0,0,3)[答案]C[解析]設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0，z)，則12＋02＋(2－z)2＝12＋32＋(1－z)2，∴z＝－3，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0，－3)．二、填空題3．已知兩點(diǎn)M(3cosα，3sinα，1)，N(2cosβ，2sinβ，1)，則|eq\o(MN,\s\up6(→))|的取值范圍是____________．[答案][1,5][解析]|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝(3cosα－2cosβ)2＋(3sinα－2sinβ)2＝13－12(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝13－12cos(α－β)，則1≤|eq\o(MN,\s\up6(→))|2≤25，∴1≤|eq\o(MN,\s\up6(→))|≤5.4．已知空間中的四個點(diǎn)O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)．則三棱錐O—ABC的體積是________．[答案]eq\f(1,3)[解析]如圖，由題設(shè)知，O，A，B，C為一正方體的四個頂點(diǎn)，且該正方體的棱長為1，其中VO—ABC＝V正方體－4VD－ABC＝1－eq\f(4,6)＝eq\f(1,3).三、解答題5．設(shè)點(diǎn)P在x軸上，它到P1(0，eq\r(2)，3)的距離為到點(diǎn)P2(0,1，－1)的距離的2倍，求點(diǎn)P坐標(biāo)．[解析]∵P在x軸上，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0,0)，∵|PP1|＝2|PP2|，∴eq\r(x－02＋0－\r(2)2＋0－32)＝2eq\r(x－02＋0－12＋0＋12)∴x＝±1，∴P點(diǎn)為(1,0,0)和(－1,0,0)．6.如圖所示，在棱長為2的正方體OABC－O1A1B1C1的對角線O1B上有一點(diǎn)P，棱B1C1上有一點(diǎn)(1)當(dāng)Q為B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對角線O1B上運(yùn)動時，試求|PQ|的最小值(2)當(dāng)Q在B1C1上運(yùn)動，點(diǎn)P在O1B上運(yùn)動時，試求|PQ|的最小值[解析](1)Q為B1C1的中點(diǎn)，所以Q(1,2,2)，P在xOy坐標(biāo)平面上的射影落在線段OB上，在yOz坐標(biāo)平面上的射影落在線段O1∴P的坐標(biāo)(x，y，z)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y(tǒng),y＋z＝2))，設(shè)P＝(x，x,2－x)，則|PQ|＝eq\r(x－12＋x－22＋－x2)＝eq\r(3x2－6x＋5)＝eq\r(3x－12＋2).當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，即P(1,1,1)時，|PQ|有最小值eq\r(2).(2)由(1)和題意得，設(shè)P(x1，x1,