《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修5)教師用書：3章末小結(jié)

第三章章末小結(jié)1.一元二次不等式的解法設(shè)a>0,x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,且x1<x2,對(duì)于一元二次不等式ax2+bx+c>0.若Δ=b2-4ac>0,則其解集為{x|x>x2或x<x1};若Δ=0,則其解集為{x|x≠-};若Δ=b2-4ac<0,則其解集為對(duì)于一元二次不等式ax2+bx+c<0,若Δ=b2-4ac>0,則其解集為

;若Δ=b2-4ac≤0,則其解集為若a<0,則先將a轉(zhuǎn)化為正數(shù),再用上述規(guī)律求解.2.線性規(guī)劃(1)在直角坐標(biāo)系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示Ax+By+C=0某側(cè)全部點(diǎn)組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線,表示區(qū)域不包括邊界.而不等式Ax+By+C≥0表示區(qū)域時(shí)則包括邊界,把邊界畫成實(shí)線.(2)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常接受“直線定界,特殊點(diǎn)定域”的方法,特殊地,當(dāng)C≠0時(shí),常把原點(diǎn)(0,0)作為測(cè)試點(diǎn).

(3)在求z=ax+by的最值時(shí),確定要留意線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by中b的符號(hào),若b>0,當(dāng)直線過可行域且在y軸上的截距最大時(shí),z值最大,在y軸上的截距最小時(shí),z值最小;若b<0,當(dāng)直線過可行域且在y軸上的截距最小時(shí),z值最大,在y軸上的截距最大時(shí),z值最小.(4)求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的格式與步驟:①查找線性約束條件,線性目標(biāo)函數(shù);②畫出二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域,即作出可行域;③在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.3.基本不等式(1)兩個(gè)重要不等式假如a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào));

假如a,b∈(0,+∞),那么

≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)).

(2)兩個(gè)重要不等式的常見變形①a2+b2≥

;

②ab≤

;

③ab≤()2;

④()2≤

;

⑤+≥2(a,b同號(hào));

⑥≥

≥

≥

(a,b>0).

(3)兩個(gè)重要的結(jié)論①x,y∈(0,+∞),且xy=P(定值),那么當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值2;

②x,y∈(0,+∞),且x+y=S(定值),那么當(dāng)x=y時(shí),xy有最大值

.

在利用基本不等式求最值時(shí),確定要緊扣“一正二定三相等”這三個(gè)條件,即每項(xiàng)都是正值,和或積是定值,全部的等號(hào)能同時(shí)取得.而二定這個(gè)條件是對(duì)不等式進(jìn)行奇異拆分、組合、添加系數(shù)等使之變成可用基本不等式的形式的關(guān)鍵.三相等,指等號(hào)成立時(shí)的參數(shù)取值存在,若不存在,則此時(shí)無最值;假如要多次用基本不等式求最值,必需保證多次取等號(hào)的全都性.4.不等式的綜合問題(1)不等式恒成立問題①判別式法:ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立?

,ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立?

.

②轉(zhuǎn)化法:f(x)>0恒成立?f(x)min>0;

f(x)<0恒成立?f(x)max<0.

③分別參數(shù)法:f(x)-a>0恒成立(a為參數(shù))?a<f(x)min.不等式的證明方法有:比較法、綜合法、分析法、反證法等.其中比較法是證明不等式的最基本方法,在證明過程中是作差還是作商,完全因題而異,需要具體問題具體分析.(2)解不等式應(yīng)用題的基本步驟:①閱讀理解材料,即審題:要求要領(lǐng)悟問題的實(shí)際背景,確定題目中量與量之間的關(guān)系,初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路,明確解題方向.②建模:即依據(jù)分析,把實(shí)際問題用“符號(hào)語言”“圖形語言”抽象成數(shù)學(xué)模型,并且建立所得數(shù)學(xué)模型和已知數(shù)學(xué)模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以便確定下一步的努力方向.③求解:依據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型和題目要求,爭(zhēng)辯與結(jié)論有關(guān)的不等關(guān)系,得出有關(guān)理論參數(shù)的值.④結(jié)論:依據(jù)上面得到的理論參數(shù)值,結(jié)合題目要求得出問題的結(jié)論.(3)不等式的應(yīng)用格外廣泛,它貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終,它與各個(gè)章節(jié)的學(xué)問都能很好地融合在一起,不等式的應(yīng)用可體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:①求函數(shù)的定義域、值域和最大、最小值問題;②推斷函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間;③利用不等式爭(zhēng)辯方程根的分布以及根的個(gè)數(shù);④解決生活中的一些優(yōu)化問題.題型一:不等式性質(zhì)及應(yīng)用有下列5個(gè)命題:①若ax>b,則x>;②若a2x-1>a2y-1,則x>y;③若>,則vx>μy;④若a>b,c<d,abcd≠0,則>;⑤若<<0,則ab<b2.其中正確的為.(填上你認(rèn)為正確的命題編號(hào))

【方法指導(dǎo)】利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逐個(gè)推斷即可,在利用性質(zhì)時(shí)確定要留意每共性質(zhì)成立的條件.【解析】①若a≤0,則不成立;②成立;③只有當(dāng)vy>0時(shí)才成立;④如3>-2,-6<-3,但<,故不正確;⑤∵<<0,∴ab>0,∴ab·<ab·,即b<a.又b<0,∴b2>ab,故正確.故其中正確的有②⑤.【答案】②⑤【小結(jié)】本題主要考查不等式性質(zhì)及應(yīng)用,推斷不等式是否成立,除了利用不等式學(xué)問(如比較法)進(jìn)行推理外,還要擅長(zhǎng)舉反例來說明命題的錯(cuò)誤.另外,還可以用特殊值法更快捷地解決問題,本題要求同學(xué)精確?????把握學(xué)問,正確解題,不要因一個(gè)小題而導(dǎo)致整個(gè)大題錯(cuò).題型二:一元二次不等式及其解法已知函數(shù)f(x)=則不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是().A.[-1,-1]B.(-∞,1]C.(-∞,-1]D.[--1,-1]【方法指導(dǎo)】由于給出的f(x)是一個(gè)分段函數(shù),因此,要求對(duì)f(x+1)中的x+1進(jìn)行爭(zhēng)辯,進(jìn)而將所求不等式轉(zhuǎn)化為不等式組來解.【解析】由題意得或所以或即x<-1或-1≤x≤-1,故不等式的解集是,從而選C.【答案】C【小結(jié)】本題以分段函數(shù)為背景,考查分類爭(zhēng)辯思想及一元一次不等式和一元二次不等式的解法,故按x+1<0,x+1≥0的不同狀況分別代入不同的解析式,將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組求解.本題解題關(guān)鍵是將不等式中f(x+1)用x表示出來,而同學(xué)在進(jìn)行分類爭(zhēng)辯時(shí),易被卡住,要找到對(duì)參數(shù)分類爭(zhēng)辯的緣由,確定好分類標(biāo)準(zhǔn),層次清楚地求解.題型三:線性規(guī)劃問題實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組則z=|x+2y-4|的最大值為.

【方法指導(dǎo)】目標(biāo)函數(shù)中含有確定值,可以考慮確定值的幾何意義,也可通過觀看確定值內(nèi)的代數(shù)式的符號(hào)作出推斷.【解析】(法一)作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.z=|x+2y-4|=·,即其幾何含義為陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到直線x+2y-4=0的距離的倍.由得B點(diǎn)坐標(biāo)為(7,9),明顯點(diǎn)B到直線x+2y-4=0的距離最大,此時(shí)zmax=21.(法二)由圖可知,陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)都在直線x+2y-4=0的上方,明顯此時(shí)有x+2y-4>0,于是目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于z=x+2y-4,即轉(zhuǎn)化為一般的線性規(guī)劃問題.明顯當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,zmax=21.【答案】21【小結(jié)】解決這類問題時(shí)需充分把握目標(biāo)函數(shù)的幾何含義,在幾何含義的基礎(chǔ)上加以處理,即方法一的處理方法.另外,方法二是在充分爭(zhēng)辯可行域的基礎(chǔ)上對(duì)問題作出等價(jià)處理,針對(duì)本題,也不失為一種好方法.題型四:實(shí)際應(yīng)用題制造甲、乙兩種煙花,甲種煙花每枚含A藥品3g、B藥品4g、C藥品4g,乙種煙花每枚含A藥品2g、B藥品11g、C藥品6g.已知每天原料的使用限額為A藥品120g、B藥品400g、C藥品240g.甲種煙花每枚可獲利2元,乙種煙花每枚可獲利1元,問每天應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種煙花各多少枚才能獲利最大?【方法指導(dǎo)】依據(jù)題意,設(shè)出未知數(shù),理清變量間的關(guān)系,進(jìn)而可得到線性約束條件,列出目標(biāo)函數(shù)求解.【解析】設(shè)每天生產(chǎn)甲種煙花x枚,乙種煙花y枚,獲利為z元,則作出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)為:z=2x+y.作直線l:2x+y=0,將直線l向右上方平移至l1的位置時(shí),直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A且與原點(diǎn)的距離最大.此時(shí)z=2x+y取最大值.解方程組得答:每天生產(chǎn)甲種煙花24枚、乙種煙花24枚,能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大.【小結(jié)】本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線性約束條件,寫出所爭(zhēng)辯的目標(biāo)函數(shù),通過數(shù)形結(jié)合解答問題.考綱要求“會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一些簡(jiǎn)潔的二元線性規(guī)劃問題,并加以解決”,這是考綱對(duì)實(shí)際力氣考查的要求,所以應(yīng)嫻熟把握實(shí)際問題中線性規(guī)劃問題的解法.其一般步驟是:①分析題意設(shè)出未知量;②列出線性約束條件;③利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解;④作答.題型五::基本不等式及其應(yīng)用設(shè)a>b>c>0,則2a2++-10ac+25c2的最小值是(A.2B.4C.2【方法指導(dǎo)】對(duì)代數(shù)式2a2++-10ac+25c2進(jìn)行化簡(jiǎn)【解析】2a2++-10ac+=(a-5c)2+a=(a-5c)2+ab++a(a-b)+≥0+2+2=當(dāng)且僅當(dāng)a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1,即a=2b=5c=時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)2a2++-10ac+【答案】B【小結(jié)】本題的解題關(guān)鍵是對(duì)代數(shù)式2a2++-10ac+25c2進(jìn)行化簡(jiǎn),觀看代數(shù)式可知,其中有兩個(gè)分式和,而代數(shù)式中沒有毀滅ab與a(a-b)的形式,需依據(jù)已知條件配湊出來題型六::不等式恒成立問題已知f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x∈[-1,+∞)時(shí),f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍.【方法指導(dǎo)】要使f(x)≥a恒成立,易知只需a≤f(x)min即可,這樣就將題目轉(zhuǎn)化為求f(x)最值的問題,明顯這里要爭(zhēng)辯對(duì)稱軸x=a與區(qū)間[-1,+∞)的關(guān)系.【解析】f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=a,①當(dāng)a∈(-∞,-1)時(shí),結(jié)合圖象知,f(x)在[-1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min=f(-1)=2a+3要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得-3≤a<-1②當(dāng)a∈[-1,+∞)時(shí),f(x)min=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-1≤a≤1.綜上所述,所求a的取值范圍為[-3,1].【小結(jié)】解不等式的恒成立問題,通常是利用轉(zhuǎn)化的思想,借助函數(shù)方程思想及函數(shù)圖象,求得函數(shù)的最值,然后變成解不等式問題,即若x∈[a,b]時(shí),f(x)≥c恒成立,只要求得在[a,b]上f(x)的最小值f(x)min.解不等式f(x)min≥c即可;若x∈[a,b]時(shí),f(x)≤c恒成立,只要求得在[a,b]上f(x)的最大值f(x)max,解不等式f(x)max≤c即可.對(duì)這類問題的解題方法不熟是解題的障礙點(diǎn).1.(2021年·北京卷)設(shè)關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0),滿足x0-2y0=2.求得m的取值范圍是().A.(-∞,) B.(-∞,)C.(-∞,-) D.(-∞,-)【解析】如圖,要使可行域存在,必有m<1-2m,由于可行域上存在y=x-1直線上的點(diǎn),所以需要邊界點(diǎn)(-m,1-2m)在直線y=x-1上