2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 立體幾何與解析幾何（含答案詳解）

2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

一、立體幾何

一、單選題

1.（2022?全國(guó)甲（文、理）T4）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小

正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積V=——x2x2=12.

2

故選：B.

2.（2022.全國(guó)甲（文）T9）在長(zhǎng)方體ABCO-AqCQ中，已知耳。與平面和平

面所成的角均為30°,則（）

A.AB=2ADB.AB與平面AB。]。所成的角為

30°

C.AC=CB、D.8Q與平面BqCC所成的角為

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)==依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，耳。與平面A3CO

cb

所成角為NB^DB,5Q與平面44田田所成角為NOqA,所以5吊30°=方7；=方7；,

D}LJOJLJ

222

即匕=。，BxD=2c=\la+/?+c>解得4=

對(duì)于A,AB—a,AD—hf=y/2,AD>A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,過(guò)8作BE_LA4于￡,易知BE1平面ABC。，所以A3與平面AqCQ所

成角為NBAE,因?yàn)閠an/3AE=￡=①，所以NBAEw3（T，B錯(cuò)誤；

a2

對(duì)于C,AC=\la2+及=百LCB]=yjh2+c2=>/2c，AC工CH1，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,與。與平面8B￡C所成角為NOBC，sinZDBC=—,而

lBQ2c2

0<ZDB,C<90,所以NOBC=45°.D正確.

故選：D.

3.(2022?全國(guó)甲(文)T10)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為

2兀，側(cè)面積分別為S甲和％,體積分別為%和％若*2,則卜()

3乙4

A.75B.2&C.回D.^2

4

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為，i，乙圓錐底面圓半徑為今，根據(jù)圓錐的側(cè)面

積公式可得4=2&,再結(jié)合圓心角之和可?將4,弓分別用/表示，再利用勾股定理分別求出

兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為乙圓錐底面圓半徑為弓，

則落歸」=2,

S乙兀Qr2

所以4=2R,

「24_

27rrL

又一+—^=2^f

則空=1,

故選：C.

4.（2022?全國(guó)甲（理）T7）在長(zhǎng)方體ABS-AAGR中，己知與平面A3c。和平

面所成的角均為30°,則（）

A.AB=2ADB.48與平面ABC。所成的角為

30°

C.AC=CB}D.8Q與平面所成的角為

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)48-4,4/＞一人,4人一。，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與。與平面人88

cb

所成角為與平面田所成角為NOqA,所以5布30°=匕工=3；，

D}U

即b=c,B、D=2c=yjci2+b2+c2，解得a=\[2c?

對(duì)于A,AB=a,AD=b,AB=41AD，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,過(guò)8作于￡,易知BE1平面所以A3與平面AqCQ所

成角為NBAE,因?yàn)閠anNBAE=￡=也，所以N8AEw30°，B錯(cuò)誤：

a2

對(duì)于C，AC=。a2+b?=\!b2+c2=\(2c?AC。CB1,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,BQ與平面BB℃所成角為NDBC,sinZDB,C=—=—=—,而

B、D2c2

0<ZDB)C<90,所以ND4c=45°.D正確.

故選：D.

5.(2022.全國(guó)甲(理)T8)沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史二的杰作，其中收錄

了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，A8是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是的48

中點(diǎn)，。在AB上，CDLAB.“會(huì)圓術(shù)”給出AB的弧長(zhǎng)的近似值S的計(jì)算公式：

CD2

5=A5+-—?當(dāng)04=2,403=60。時(shí)，s=()

11-3>/311-4>/39-3x/3

22

9-473

2

【答案】B

【解析】

【分析】連接oc,分別求出AB,oc,cr>,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接。c,

因?yàn)镃是48的中點(diǎn)，

所以O(shè)C_LAB,

又CO_LA8,所以O(shè),C,。三點(diǎn)共線,

即00=04=08=2,

又N4O8=60。，

所以AB=O4=OB=2,

則OC=豆，故CD=2-B

6.(2022?全國(guó)甲(理)T9)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為

2兀，側(cè)面積分別為S甲和%,體積分別為％和%若酒=2,則券=()

3乙V乙

A.y/5B.2X/2c.MD.^2

4

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為弓，乙圓錐底面圓半徑為乃，根據(jù)圓錐的側(cè)面

積公式可得4=2為，再結(jié)合圓心角之和可將小為分別用/表示，再利用勾股定理分別求出

兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為弓，乙圓錐底面圓半徑為弓，

吟嚼之2,

所以弓=2r2,

『2萬(wàn)q2乃5-

又一1+—^=2乃，

則牛=1,

所以4=1"=￥，

所以甲圓錐的高z=

乙圓錐的高飽=

%=%為

X——I

所以3=Vio.

"乙:幾片也"2

93

故選：C.

7.（2022?全國(guó)乙（文）T9）在正方體ABC。-AgCQ中，E,尸分別為4氏8。的中點(diǎn)，

則（）

A.平面用E"_L平面BORB.平面與EF_L平面43。

C.平面用￡///平面A.ACD.平面4E/7"平面AG。

【答案】A

【解析】

【分析】證明EF_L平面即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)AB=2,分別求出平面4七/，ABD,4G。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)

系，即可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體A88-A8GA中，

4c_1比）且0￡>1，平面A3CD,

又Mu平面ABCQ,所以所1OR,

因?yàn)橥呤謩e為A8,8c的中點(diǎn),

所以EF||AC,所以EF工BD，

又BDCD?=D,

所以EF_L平面3。。，

又EFu平面&EF,

所以平面與M_L平面故A正確；

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，

則4(22,2),￡(2,1,0),尸(1,2,0),8(2,2,0),A(ZO,2)4(20,0),C(0,20),

G(0,2,2),

則喬=(-1/,0),礫二(0,1,2)：麗二(2,2,0)訪二(2,0,2),

羽=(0,0,2),衣=(_2,2,0),相=(-2,2,0),

設(shè)平面瓦EF的法向量為m=(x1,j1,z1),

m-EF=-玉+y=0

則有，,可取加=(2,2,-1),

m-EB[=y+2Z[=0

同理可得平面ABD的法向量為［=(1,-1,-1),

平面AA。的法向量為卮=(1J0)，

平面4G。的法向量為&=(1,1,一1),

則加=2-2+1=1^0,

所以平面與E尸與平面48。不垂直，故B錯(cuò)誤;

111

因?yàn)檎c〃2不平行，

所以平面4石戶與平面AAC不平行，故c錯(cuò)誤;

因?yàn)槎c％不平行，

所以平面與石戶與平面AC。不平行，故D錯(cuò)誤,

故選:A.

8.（2022?全國(guó)乙（文）T12）已知球。的半徑為1.四棱錐的頂點(diǎn)為底面的四個(gè)頂點(diǎn)

均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A1R1「百D應(yīng)

3232

【答案】C

【解析】

【分析】先證明當(dāng)四棱錐頂點(diǎn)。到底面A8C。所在小圓距離一定時(shí)，底面A3CO面積最

大值為2/，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而

得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.

【詳解】設(shè)該四棱錐底面為四邊形48c。，四邊形A8CO所在小圓半徑為「，

設(shè)四邊形ABC。對(duì)角線夾角為a,

則SA“/）=LAC8力sinaAC802r?2廠=2，

222

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面A8CD所在小圓距離一定時(shí)，底面A8CQ面積最大值為2r2

2

又尸+h=1

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=2h2即時(shí)等號(hào)成立,

故選：c

9.(2022?全國(guó)乙(理)T7)在正方體A8CZ)-A4GA中，E,產(chǎn)分別為A3,的中點(diǎn)，

則()

A.平面四EF±平面BDD】B.平面用EF_L平面人BD

C.平面與￡尸〃平面AACD.平面與所〃平面AC。

【答案】A

【解析】

【分析】證明平面8。。，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)AS=2,分別求山平面8點(diǎn)尸，入孫AG。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)

系，即可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體48co-ASGA中，

AC_L3D且?！?，平面ABC。，

又EFu平面ABCD,所以EF1DR,

因?yàn)橥呤謩e為Aa的中點(diǎn)，

所以E/||AC,所以EF上BD，

又BDCDQ=D,

所以所_1_平面3。2,

又砂U平面片￡7"

所以平面用族，平面8。。，故A正確；

如圖，以點(diǎn)。原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A3=2,

則用(2,2,2),E(2,1,0)/(1,2,0),8(220),A(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),

C.(O,2,2),

則喬二(-1,1,0),西二(OJ2),麗=(2,2,0),西二(2,0,2),

麗=(O,0,2),衣=(-2,2,0)屎=(-2,2,0),

設(shè)平面B,EF的法向量為浣=(5*,zj,

則有V_1/'八,可取相=(2,2,-1),

用Eg=y+2Z1=0'7

同理可得平面A3。的法向量為1=(1,T—1),

平面AiAC的法向量為兀=(1,1,0),

平面4G。的法向量為&二(1,1,-1),

則相勺=2—2+1=1。0,

所以平面4EF與平面45。不垂直，故B錯(cuò)誤；

UU

因?yàn)榧优cn2不平行，

所以平面與所與平面4AC不平行，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)樾脚c彳不平行，

所以平面8也尸與平面AG力不平行，故D錯(cuò)誤，

10.(2022?全國(guó)乙(理)T9)已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)頂點(diǎn)

均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為()

A1R1c6D加

3232

【答案】C

【解析】

【分析】先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABC。所在小圓距離一定時(shí)，底面A8C。面積最

大值為2/，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱隹體積的最大值，從而

得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.

【詳解】設(shè)該四棱錐底面為四邊形45CZ),四邊形A3C。所在小圓半徑為八

設(shè)四邊形ABC。對(duì)角線夾角為。，

則SMsngACmsinavgACIOwgzrNrnZ/

(當(dāng)且僅當(dāng)四邊形人BCD為正方形時(shí)等號(hào)成立)

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)0到底面A8CD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABC。面積最大值為2/

又產(chǎn)+h2=1

當(dāng)且僅當(dāng)r2=2h2即〃邛時(shí)等號(hào)成立,

故選：C

II.(2022?新高考I卷T4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部

分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為MO.Okn?；水位

為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0101?,將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一

個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(J7b2.65)

()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.

1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為MN=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺(tái)的

體積V.

棱臺(tái)上底面積S=140,0km2=140xl06m2，下底面積S'=180.0km2=180xl06m2，

,766,2

V=l/7j5+5+V55]=1x9x(140xl0+180xl0+7140xl80xl0j

=3x(320+60x/7)xl06?(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

故選：C.

12.(2022?新高考I卷T8)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球

的體積為36萬(wàn)，且3W/W3石，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.18,肛27812764

B.C.D.

47773

118,27]

【答案】C

【解

【分析】設(shè)正四棱錐的高為人由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)

系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】V球的體積為36萬(wàn)，所以球的半徑R=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為加，而為〃,

則廣=2"+"，32=2/+(3

所以6〃=『，2a2=l2-h2

1I2廣[21][6、

所以正四棱錐的體積V=-Sh=—x4a~x=-x(/~--)x—=—/4——

333669136J

1(戶

3

所以K4/-T

916

當(dāng)3W/V2#時(shí)，r>0,當(dāng)2后v/《3G時(shí)，V'vO,

-64

所以當(dāng)/=2遙時(shí)，正四棱錐的體積丫取最大值，最大值為7,

2721

又，=3時(shí)，V=—,/=36時(shí)，V=—

44

27

所以正四極錐的體積V的最小值為二,

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是

故選：C.

13.（2022?新高考I卷T9）已知正方體ABCD-A8CQ,則（）

A.直線BG與所成的角為90。B.直線8G與CA所成的角為90。

C.直線8G與平面網(wǎng)所成的角為45。D,直線8G與平面A8C。所成的角為

45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接80、BCif因?yàn)椤//BC，所以直線8G與所成的角即為直

線8G與所成的角，

因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則5C_L8C1,故直線BC1與0A所成的角為90。，A正

確;

連接AC,因?yàn)?旦，平面83℃,B&U平面BB℃,則44_LBG，

因?yàn)榕cC_L8C1,A^ri8C=4,所以8G，平面ABC，

又ACu平面A8C，所以8G~LCA，故B正確：

連接AG，設(shè)AGn&A=。，連接50,

因?yàn)?用_L平面4/1GR，GOU平面ABIGR,則GO_LB13,

因?yàn)镚0_L51R,BQ]CBiB=Bi，所以C0_L平面BBQO,

所以NC；BO為直線Bq與平面8BQQ所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則60=變，BQ=42,sin/G8O=段=；,

2/J乙

所以，直線與平面84Ao所成的角為30'，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镃Q_L平面488,所以NC/C為直線BG與平面4BCO所成的角，易得

ZC,BC=45°,故D正確.

故選：ABD

14.（2022?新高考II卷T7）正三棱臺(tái)高為1,上下底邊長(zhǎng)分別為班加46，所有頂點(diǎn)在

同一球面上，則球的表面積是（）

A.lOOnB.128KC.144兀D.192兀

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可求出正三楂臺(tái)上下底面所在圓面半徑小弓，再根據(jù)球心距，圓面半

徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑不為，所以2彳=上旦,2心=小叵一，即

sin60sin60

4=3,弓=4,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,4,球的半徑為A,所以

4=收一9,―正一⑹故|4一4|=1或4+4=1，即

廬工一??二］闡=1或正行+廬飛=”解得代=25符合題意，所以球的

表面積為S=4TIR2=100兀.

故選：A.

15.（2022?新高考n卷T11）如圖，四邊形A3CO為正方形，ED_L平面43c。，

FB〃ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E-AC。，F(xiàn)-ABC,斤一ACE的體積分別為

XMM，則（）

A.V3=2V2B.匕=2匕

仁匕=丫+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【解析】

【分析】直接由體積公式計(jì)算九匕，連接BO交AC于點(diǎn)M,連接由

匕二匕一￡.+%.￡.計(jì)算出匕，依次判斷選項(xiàng)即可.

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋OJ_平面ABC。，F(xiàn)B\\ED,則

m?勿g(為『二g/,

V4=1-FB^1(2a)2=1a3,連接BD交AC于點(diǎn)M,連接EM,FM,易

JJ4J

得BO_LAC,

又如，平面A8CO,ACu平面ABC。，則￡D_LAC,又EDCBD=D,

ED,BDu平面BDEF,則AC,平面BOEF，

又BM=DM=、BD=6a,過(guò)尸作/GJLOE于G,易得四邊形3DG戶為矩形，則

2

FG=8D=2>/2a,EG=a，

=J(2aj+(V^7)=屈a,FM=小?+(&a)=6a，

貝|JEM=

斯=.+(2缶y:3々,

iq5

2

EM?+FM2=EF2，則S^：FM=-EM?FM=-^-a，AC=2五a，

則匕=%一律盟+匕_防的=；4?！暝?=2。3,則2匕=3匕，匕=3%,匕=耳+匕，

故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.

故選：CD.

16.（2022?北京卷T9）已知正三棱錐「一AB。的六條棱長(zhǎng)均為6,S是及其內(nèi)部的

點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={QeS/Q05},則r表示的區(qū)域的面積為（）

37c

A.—B.nC.2%D.3萬(wàn)

4

【答案】B

【解析】

【分析】求出以P為球心，5為半徑的球與底面A3C的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

【詳解】

設(shè)頂點(diǎn)?在底面上的投影為。，連接30,則。為三角形ABC的中心,

且BO=2x6x立=2百，故戶0=136—12=2#.

32

因?yàn)槭?5,故。。=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

而三角形A3C內(nèi)切圓的圓心為0,半徑為2x*36：J

3x6—-

故S的軌跡圓在三角形48C內(nèi)部，故其面積為萬(wàn)

故選：B

17.（2022?浙江卷T8）如圖，已知正三棱柱A8C—A8IG，AC=AA，E,尸分別是棱

8CAG上的點(diǎn).記EF與所成的角為。，石尸與平面A8C所成的角為尸，二面角

A.a<p<yB.p<a<yC.P<y<aD.

a<y<P

【答案】A

【解析】

【分析】先用幾何法表示出a，￡，y,再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大小.

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作尸尸_LAC于過(guò)P作尸MJ.8C于“，連接莊

則a=Z.EFP,P=Z-FEP,y=FMP,

tana=〃=""."紅="N1,ta”=&N紅小尸,

FPABKPEPEPMPE

所以。“￡（九

故選：A.

三、解答題

1.（2022?全國(guó)甲（文）T19）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包

裝盒如圖所示：底面A3C。是邊長(zhǎng)為8（單位：cm）的正方形，

△EAB,AFBC,AGCDRHDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面A8CO垂直.

（1）證明：成〃平面A3CO；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;

/640n

(2)—J3.

3

【解析】

【分析】（1）分別取48,8。的中點(diǎn)M,N,連接MN,由平面知識(shí)可知

EM1AB,FN工BC,EM=FN,依題從而可證EM_L平面ABC。，F(xiàn)N_L平面

ABCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知EM//FN,即可知四邊形EMNb為平行四邊

形，于是EF//MN,最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出;

（2）再分別取中點(diǎn)K,L,由（1）知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體

KMVL—E尸GH的體積加上四楂錐5—MVFE體積的4倍，即可解出.

【小問(wèn)1詳解】

如圖所示:

分別取AR3C的中點(diǎn)M,N,連接MN,因?yàn)槭稀魉鵆為全等的正三角形，所以

EM工AB,FN上BC,EM=FN,又平面E4/JL平面A8CD，平面E45c平面

ABCD=AB,EMu平面E46,所以EWJL平面A3CO,同理可得月V_L平面

ABCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知而EM=FN,所以四邊形

為平行四邊形，所以EF//MN,又瓦平面ABC。，MNu平面ABCD,所以

斯〃平面ABC。.

【小問(wèn)2詳解】

如圖所示:

分別取中點(diǎn)K,L,由（I）知，EF//MNaEF=MN,同理有，

HE//KM,HE=KM,HG//KL,HG=KL,GF//LN.GF=LNf由平面知識(shí)可

知，BDLMN,MN工MK,KM=MN=NL=LK,所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方

體KMNL—EFGH的體積加上四棱錐B—MNFE體積的4倍.

因?yàn)镸N=NL=LK=KM=4收，EM=8sin60°=4百，點(diǎn)B到平面MNFE的距離

即為點(diǎn)8到直線MV的距離d,d=2叵,所以該幾何體的體積

V=（4V2）2x4V3+4x|x4>/2x473x2>/2=128>/3+—>/3=—

2.（2022?全國(guó)甲（理）T18）在四棱錐尸一A3CQ中，P￡>_|_底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=T,AB=2,DP=43.

（1）證明：BDLPAx

（2）求P。與平面抬8所成的隹的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

⑵亞

5

【解析】

【分析】(1)作于E，。/_14?于尸，利用勾股定理證明AO_L8O,根據(jù)線

面垂直性質(zhì)可得從而可得8。_L平面尸40,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得

證；

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

證明：在四邊形ABC。中，作于E,于尸，

因?yàn)镃D//AB,AD=CD=CB=l,AB=2,

所以四邊形A8CZ)為等腰梯形，

所以==

2

故DE=g,BD=dDE、BE2=思

所以4)2+瓦)2=”2，

所以A￡>J_8。，

因?yàn)镻T)_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以PDJ_Q，

又PDcAD=D，

所以BO_L平面P4。，

又因/<Au平面K4"，

所以BDLPA；

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖，以點(diǎn)。原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=6.

則A（1,O,O）,8（O,G,O）,P（O,O,G）,

則麗=（一1,0,6）,麗=（0,—6,6）,而二（0,0,6卜

設(shè)平面PAB的法向量n=(x,yyz),

nAP=-x+y/3z=0

則有｛可取3=（G,11）,

n-BP=-石y+6z=0

3.（2022?全國(guó)乙（文）T18）如圖,四面體ABC。中，

AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BED_L平面AC。：

(2)設(shè)AB=8Z)=2,NACB=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△人八；的面積最小時(shí)，求三棱

錐產(chǎn)一A3C的體積.

【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析

⑵顯

4

【解析】

【分析】（1）通過(guò)證明4CJ■平面8瓦）來(lái)證得平面平面ACZ）.

（2）首先判斷出三角形AFC的面積最小時(shí)尸點(diǎn)的位置，然后求得尸到平面ABC的距

離，從而求得三棱錐尸-A8C的體積.

【小問(wèn)1詳解】

由于AD=C￡>,E是AC的中點(diǎn)，所以ACJLOE.

AD=CD

由于，30=80,所以△4082△CD8,

NADB=4CDB

所以48=C8,故AC_La）,

由于DEcBD=D，DE,BDl平面BED，

所以AC_L平面BED,

由于ACu平面4c。，所以平面BED_L平面ACO.

【小問(wèn)2詳解】

依題意AB=BD=BC=2,NAC8=60。，三角形ABC是等邊三曲形，

所以4C=2,AE=CE=l,8E=x/J，

由于aO=CDAO_LCD,所以三角形ACO是等腰直角三角形，所以￡>E=1.

DE2+BE2=BD2?所以DE上BE,

由于ACc3E=E,ACBEu平面ABC,所以O(shè)E_L平面ABC.

由于=所以NFB4=NEBC,

BF=BF

由于<N/BA=NFBC,所以△FB4*FBC,

AB=CB

所以4/二6,所以所_LAC，

由于，,c=g?AC-E〃，所以當(dāng)放最短時(shí)，三角形4R:的面積最小值?

過(guò)E作廳力，垂足為產(chǎn)，

在中，-BEDE=-BDEF,解得EF=@,

222

過(guò)戶作切JL3E，垂足為“，則FH〃DE,所以"/JL平面ABC,且

FHBF_3

~DE~~BD~^

3

所以切=一，

4

所以匕…「二、SARCFH=-x-x2xy/3x-=—.

r-ADL3A/WC3244

4.（2022?全國(guó)乙（理）T18）如圖，四面體ABC。中，

AD±CD,AD=CD,ZADB=ABDC,N為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面BEDJ■平面AC。；

（2）設(shè)AB=30=2,NAC8=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△?!”）的面積最小時(shí)，求。尸

與平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析

（2）C/與平面/曲所成的角的正弦值為史3

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明△A5Z運(yùn)△C3D,得到A5=CB,結(jié)合等腰三角形三線

合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到此_LOE，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法

則進(jìn)行計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳D=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以AC_LOE：

在△ABD和△C8O中，因?yàn)锳D=CD,ZADB=/CDB,DB=DB,

所以△A3*ZsCB。，所以A5=CB,又因?yàn)椤隇?。的中點(diǎn)，所以ACJ■的；

又因?yàn)镺E,BEu平面BED，DECBE=E,所以4c_L平面BED,

因?yàn)锳Cu平面ACO,所以平面5&）JL平面4co.

【小問(wèn)2詳解】

連接石/，由（1）知，AC_L平面8瓦）,因?yàn)樯皍平面8瓦）,

所以4C_LE/,所以，^8=；4。七/，

當(dāng)斯_L皮）時(shí)，EF最小,即△AR7的面積最小.

因?yàn)椤髅稕堋鰿8￡>,所以Cfi=AB=2,

又因?yàn)镹AC5=60。，所以△ABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為4c的中點(diǎn)，所以4E=EC=1,BE=5

因?yàn)?OJ_C￡）,所以。E=LAC=1,

2

在中，DE2+BE2=BD1,所以BE_LDE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則4（1,0,0）,40,后0）,。（0,0,1）,所以標(biāo)二（-1,0,1）,麗二卜1,點(diǎn)0）,

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,

n-AD=-x4-z=0

則，―,取y=百，則〃=（3,百,3）,

nAH=-x+

又因?yàn)镃（—1,0,0）,尸,所以CF=l，f，：

4石

設(shè)CF與平面ABD所成的角的正弦值為。（0《6><1

所以sin0=卜05（多CT7）卜'

所以CT7與平面說(shuō)所成的角的正弦值為巫.

5.（2022.新高考I卷T19）如圖.直三棱柱43C-AgG的體積為4,△A^C的面積為

2近.

(1)求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，M=ABf平面A8C_L平面,求二面角

A—30—C的正弦值.

【答案】(1)72

⑵B

2

【解析】

【分析】(1)由等體積法運(yùn)算即可得解；

(2)由面面垂直的性質(zhì)及判定可得3cl,平面48片4,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量法即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

在直三棱柱ABC-A4G中，設(shè)點(diǎn)4到平面\BC的距離為h,

=

則匕ARC~~^九隗,h=——h=V..=—SAliC-A,A=—VABCAAC=—，

解得力二夜，

所以點(diǎn)A到平面A,8C的距離為我；

【小問(wèn)2詳解】

取的中點(diǎn)及連接AE,如圖，因?yàn)锳4,=A8,所以4E_LAB,

又平面ABCJL平面ABB14,平面ABCn平面,

且4Eu平面484A，所以他_L平面A/C,

在直三棱柱ABC—AMG中，BB|_L平面ABC,

由5Cu平面ABC,BCu平面48c可得AEJ_8C,BBX1BC,

又AE.BB]u平面ABB.\且相交，所以BC_L平面ABB.\,

所以3cBA,B與兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由（D得AE=6,所以照=A8=2,仲=2板,所以BC=2,

則A(0,2,0),4(0,2,2),3(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中點(diǎn)。(1』』),

則而=(1,1,1),麗=(0,2,0)屁=(2,0,0),

tn-BD=x+y+z=0

設(shè)平面的一個(gè)法向量機(jī)=（x,y,z）,貝?卜

mBA=2y=0

可取加=(1,0,—1),

m?BD=a+b+c=0

設(shè)平面80c的一個(gè)法向量3=（〃,。,c）,則，

m?BC=2。=0

可取i=(O,l,T),

mn11

R=麗=引0

所以二面角A—80—C的正弦值為=乎.

6.(2022.新高考II卷T20)如圖.P。是三棱錐尸一A3C的高，PA=PB

AB1AC,E是PB的中點(diǎn).

(1)求證：0E〃平面R4C；

(2)若NABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵U

13

【解析】

【分析】(1)連接5。并延長(zhǎng)交4C于點(diǎn)O,連接。4、PD，根據(jù)三角形全等得到

OA=OB,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到40=。。，即可得到。為的中點(diǎn)從而得到

0E//PD,即可得證；

(2)過(guò)點(diǎn)A作4z〃QP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦

值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；

小問(wèn)1詳解】

證明：連接8。并延長(zhǎng)交4c于點(diǎn)。，連接04、PD，

因?yàn)槭琌是三棱錐尸一ABC的高，所以尸0_L平面ABC,AO,8Ou平面A8C,

所以P0J.A0、POLBO,

又PA=PB、所以△PQ42△P06,即OA=OB,所以NO4B=NQB4,

又A3_LAC,即NBAC=90。，所以NO4B+NO4D=90。，N08A+NQD4=90。,

所以NQDA=NQW

所以4。=。。，即AO=QO=Q8,所以。為3。的中點(diǎn)，又E為心的中點(diǎn)，所以

OEHPD,

又QE(Z平面PAC,PDu平面PAC，

所以0E〃平面B4C

【小問(wèn)2詳解】

解：過(guò)點(diǎn)A作Az〃QP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻O=3,AP=5,所以。4=3花一PO2=4,

又NQ班=NQBC=30。，所以80=2a4=8,則AD=4,A8=4百，

所以AC=12,所以0（26,2,0）,B（45/3,0,0）,「（2百,2,3）,C（0,12,0）,所以

則屈=卜百』，引，通=（4相,0,0）,衣=（0,12,0）,

一,、n-AE=3\/3x+y+—z=0

設(shè)平面AE3法向量為〃=(x,y,z),則<2,令z=2，則

n?AB=4>/3x=0

y=-3,x=0?所以〃=(0,—3,2)；

.一，一/、mAE=3y/3a-^-b+—c=0廠

設(shè)平面AEC的法向量為機(jī)=(〃,/?,c)，貝卜2,令〃二百，則

mAC=\2b=0

c=-6?Z?=0?所以m=（J5,0,—6）：

/---\ntn-1246

所以3（〃''〃）=麗=標(biāo)由=一記

設(shè)二面角C-4E—3為。，由圖可知二面角C-AE-8為鈍二面角,

所以cos6=-迪，所以sin6=Jl—cos2e=U

1313

故二面角C—AE—3的正弦值為?；

7.（2022.北京卷T17）如圖，在三棱柱4BO-A&G中，側(cè)面片為正方形，平面

8。出，平面A陰％AB=BC=2tM,N分別為人與，4c的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面BCq耳;

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線48與平面8MN所成

角的正弦值.

條件①：AB上MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）取AB的中點(diǎn)為K，連接MK,NK,可證平面MKN〃平面CBB^G,從而可

證MN〃平面C8MG.

（2）選①②均可證明平面ABC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空

間向量可求線面角的正弦值.

【小問(wèn)1詳解】

取A8的中點(diǎn)為K，連接MK,NK,

由三棱柱ABC-A^C,可得四邊形A為平行四邊形，

而用M=M41,8K=K4,蝦MK//BB1,

而MKa平面34匚平面。35?,故MK〃平面C34G，

而CN=NA,BK=KA,則NK//BC,同理可得NK〃平面CB旦u,

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面A