【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版-選修1-1)課時(shí)作業(yè)第二章-2.1.2

2.1.2橢圓的簡潔幾何性質(zhì)課時(shí)目標(biāo)1.把握橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì).2.明確標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b以及c，e的幾何意義，a、b、c、e之間的相互關(guān)系.3.能利用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的簡潔問題．1．橢圓的簡潔幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長短軸長＝______，長軸長＝______焦點(diǎn)焦距對稱性對稱軸是________，對稱中心是______離心率2.直線與橢圓直線y＝kx＋b與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：直線與橢圓相切?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))有______組實(shí)數(shù)解，即Δ______0.直線與橢圓相交?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))有______組實(shí)數(shù)解，即Δ______0，直線與橢圓相離?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))________實(shí)數(shù)解，即Δ______0.一、選擇題1．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是()A．5,3，eq\f(4,5)B．10,6，eq\f(4,5)C．5,3，eq\f(3,5)D．10,6，eq\f(3,5)2．焦點(diǎn)在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4eq\r(5)，則橢圓的方程為()A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝13．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m等于()A．eq\r(3)B．eq\f(3,2)C．eq\f(8,3)D．eq\f(2,3)4．如圖所示，A、B、C分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，若∠ABC＝90°，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(－1＋\r(5),2)B．1－eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)－1D.eq\f(\r(2),2)5．若直線mx＋ny＝4與圓O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．至多一個(gè)B．2C．16．已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。滿足·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()A．(0,1)B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))題號123456答案二、填空題7．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f(\r(5),5)，且過點(diǎn)P(－5,4)，則橢圓的方程為______________．8．直線x＋2y－2＝0經(jīng)過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率等于______．9．橢圓E：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)有一點(diǎn)P(2,1)，則經(jīng)過P并且以P為中點(diǎn)的弦所在直線方程為____________．三、解答題10．如圖，已知P是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，O是橢圓中心，B是橢圓的上頂點(diǎn)，H是直線x＝－eq\f(a2,c)(c是橢圓的半焦距)與x軸的交點(diǎn)，若PF⊥OF，HB∥OP，試求橢圓的離心率e.11．已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程．力氣提升12．若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,3)13．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1(－eq\r(3)，0)，且右頂點(diǎn)為D(2，0)．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))).(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是橢圓上的動點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．1．橢圓的范圍實(shí)質(zhì)就是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些存在性和推斷性問題中有著重要的應(yīng)用．2．橢圓既是一個(gè)軸對稱圖形，又是一個(gè)中心對稱圖形．橢圓的對稱性在解決直線與橢圓的位置關(guān)系以及一些有關(guān)面積的計(jì)算問題時(shí)，往往能起到化繁為簡的作用．3．橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個(gè)量，通過解方程或不等式可以求得離心率的值或范圍．4．在與橢圓有關(guān)的求軌跡方程的問題中要留意挖掘幾何中的等量關(guān)系．2．1.2橢圓的簡潔幾何性質(zhì)答案學(xué)問梳理1.焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(diǎn)(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2焦點(diǎn)(±c,0)(0，±c)焦距2c＝2eq\r(a2－b2)對稱性對稱軸是坐標(biāo)軸，對稱中心是原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)，0<e<12.一＝二>沒有<作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，其中b＝3，a＝5，c＝4.]2．A3.B4．A[由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，∵e＝eq\f(c,a)，∴e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(－1＋\r(5),2).]5．B[∵eq\f(4,\r(m2＋n2))>2，∴eq\r(m2＋n2)<4.∴點(diǎn)P(m，n)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的內(nèi)部，∴過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有兩個(gè)交點(diǎn)．]6．C[∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴M點(diǎn)軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點(diǎn)在圓x2＋y2＝c2外部，設(shè)點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則|OP|>c恒成立，由橢圓性質(zhì)知|OP|≥b，其中b為橢圓短半軸長，∴b>c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2<eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2).]7.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1解析設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，將點(diǎn)(－5,4)代入得eq\f(25,a2)＋eq\f(16,b2)＝1，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，即e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,5)，解之得a2＝45，b2＝36，故橢圓的方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.8.eq\f(2\r(5),5)解析由題意知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，又直線x＋2y－2＝0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，所以b＝1，c＝2，從而a＝eq\r(5)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).9．x＋2y－4＝0解析設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),16)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1,\f(x\o\al(2,2),16)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1))，兩式相減，得eq\f(x1＋x2x1－x2,16)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,4)＝0.又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，∴kMN＝－eq\f(1,2)，由點(diǎn)斜式可得弦所在直線的方程為y＝－eq\f(1,2)(x－2)＋1，即x＋2y－4＝0.10．解依題意知Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，0))，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)．設(shè)P(xP，yP)，且xP＝c，代入到橢圓的方程，得yP＝eq\f(b2,a).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即eq\f(b－0,0＋\f(a2,c))＝eq\f(\f(b2,a),c).∴ab＝c2.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(b,c)，∴e2＝eq\f(a2－c2,c2)＝e－2－1.∴e4＋e2－1＝0.∵0<e<1，∴e＝eq\r(\f(\r(5)－1,2)).11．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2＋y2＝1，,y＝x＋m，))得5x2＋2mx＋m2－1＝0.由于直線與橢圓有公共點(diǎn)，所以Δ＝4m2－20(m2－1)解得－eq\f(\r(5),2)≤m≤eq\f(\r(5),2).(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－eq\f(2m,5)，x1x2＝eq\f(1,5)(m2－1)．設(shè)弦長為d，且y1－y2＝(x1＋m)－(x2＋m)＝x1－x2，∴d＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(2x1－x22)＝eq\r(2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4m2,25)－\f(4,5)m2－1)))＝eq\f(2,5)eq\r(10－8m2).∴當(dāng)m＝0時(shí)，d最大，此時(shí)直線方程為y＝x.12．B[由題意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．]13．解(1)∵a＝2，c＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(a2－c2)＝1.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設(shè)