對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、有向曲面假設(shè)某一曲面Σ是光滑的，在Σ上任取一點(diǎn)P，過此點(diǎn)作一法線，該法線存在兩個(gè)方向，選定其中一個(gè)方向，則當(dāng)該點(diǎn)在曲面上連續(xù)變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的法向量也隨著連續(xù)變動(dòng)，如果此點(diǎn)在曲面上連續(xù)變動(dòng)后（不超過曲面的邊界）回到原來的位置時(shí)，相應(yīng)的法向量的方向與原方向相同，就稱Σ是一個(gè)雙側(cè)曲面；反之，則稱Σ是一個(gè)單側(cè)曲面.一、有向曲面通常遇到的曲面有上下、左右、前后兩側(cè)之分，如果是閉合曲面，還有內(nèi)、外側(cè)之分.這主要通過曲面上某一點(diǎn)處法向量的指向來定出曲面的側(cè).例如，對(duì)于z=z(x,y)曲面，如果取它的法向量n的指向朝上，就認(rèn)為取定曲面的上側(cè)；對(duì)于y=y(x,z)曲面，如果取它的法向量n的指向朝右，就認(rèn)為取定曲面的右側(cè)；對(duì)于x=x(y,z)曲面，如果取它的法向量n的指向朝前，就認(rèn)為取定曲面的前側(cè)；對(duì)于閉曲面，如果取定它的法向量n的指向朝外，就認(rèn)為取定曲面的外側(cè).這種通過取定曲面上的一個(gè)法向量來規(guī)定曲面的側(cè)的曲面稱為有向曲面.一、有向曲面下面介紹有向曲面在坐標(biāo)平面上的投影.設(shè)Σ是有向曲面.在Σ上取一小塊曲面ΔS,將ΔS分別投影到y(tǒng)Oz,zOx,xOy面上得一投影區(qū)域，記此投影區(qū)域的面積分別為

設(shè)ΔS上各點(diǎn)處的法向量與x軸、y軸、z軸的夾角分別為α,β,γ,這些角的余弦cos

α,cos

β,cos

γ分別在每一點(diǎn)處有相同的符號(hào)(即cos

α,cos

β,cos

γ分別都是正的或都是負(fù)的)，則規(guī)定ΔS在yOz,zOx,xOy面上的投影分別為一、有向曲面二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例設(shè)流體(假定密度為1)在空間Ω內(nèi)流動(dòng)，它的流速是v，這里假定速度v是定常的，即它與時(shí)間無關(guān),設(shè)Σ是空間Ω內(nèi)的光滑有向曲面，函數(shù)都在Σ上連續(xù)，求單位時(shí)間內(nèi)流體流向曲面Σ指定側(cè)的流量二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)分析如果Σ為一個(gè)平面閉區(qū)域，其面積為A，且流體在這閉區(qū)域上各點(diǎn)處的流速v是常向量，又設(shè)n為該平面的單位法向量，那么在單位時(shí)間內(nèi)流過該閉區(qū)域的流體構(gòu)成一個(gè)底面積為A，高為|v|的斜柱體，這個(gè)斜柱體的體積等于以Σ為底、以v在n上的投影為高的正柱體的體積，即其中θ為v與n的夾角.如果Σ不是平面而是一片曲面，且流速v也不是常向量時(shí)，所求流量就不能按照上述公式計(jì)算.下面采用以下幾個(gè)步驟來解決這個(gè)問題.二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)

(1)分割在Σ上任意分成n小塊ΔSi（ΔSi同時(shí)也代表第i個(gè)小塊的面積），取其中一小塊ΔSi來考慮.設(shè)通過ΔSi流向指定側(cè)的流量為ΔΦi，則通過整個(gè)曲面Σ的流量為(2)近似在Σ是光滑和v是連續(xù)的前提下，當(dāng)這小塊ΔSi的直徑很短時(shí)，其上任一點(diǎn)處的流速可代替ΔSi上其他各點(diǎn)處的流速，曲面Σ在點(diǎn)處的單位法向量可代替ΔSi上其他各點(diǎn)處的法向量，于是，通過ΔSi流向指定側(cè)的流量ΔΦi可近似表示為二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)(3)求和于是通過整個(gè)曲面Σ的流量為(4)取極限如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值λ→0時(shí)，該和式的極限存在，則此極限值就是通過整個(gè)曲面Σ的流量這樣的極限在其他問題中還會(huì)遇到，因此可得出第二類曲面積分的概念.二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)定義設(shè)Σ為光滑的有向曲面，函數(shù)P（

x,y,z

），Q（

x,y,z

），R（

x,y,z

），在Σ上有界.把Σ任意分成n塊小曲面ΔSi（ΔSi同時(shí)又表示第i塊小曲面的面積），ΔSi在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影分別為在ΔSi上任取一點(diǎn)如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值λ→0時(shí)，二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)總存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲面Σ上的第二類曲面積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分，記為或其中

稱為被積函數(shù)，Σ稱為積分曲面.二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)稱為函數(shù)Px,y,z在有向曲面Σ上對(duì)坐標(biāo)y,z的曲面積分；稱為函數(shù)Q（

x,y,z

）在有向曲面Σ上對(duì)坐標(biāo)z,x的曲面積分；稱為函數(shù)Rx,y,z在有向曲面Σ上對(duì)坐標(biāo)x,y的曲面積分.二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)根據(jù)上述定義，某流體以速度在單位時(shí)間內(nèi)流過有向曲面Σ指定側(cè)的流量

第二類曲面積分具有第二類曲線積分相類似的一些性質(zhì).例如：（1）設(shè)曲面Σ可分成兩片光滑曲面Σ1及Σ2,則二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)

（2）設(shè)Σ是有向曲面，Σ-表示與Σ取相反側(cè)的有向曲面，則三、第二類曲面積分的計(jì)算定理設(shè)光滑曲面Σ是由方程z=z（

x,y

）所給出的曲面上側(cè)，Σ在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy，函數(shù)z=z（

x,y

）在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，R（

x,y,z

）是Σ上的連續(xù)函數(shù)，則

（10-13）定理三、第二類曲面積分的計(jì)算證明由第二類曲面積分的定義，有因?yàn)棣踩∩蟼?cè)，所以所以又因?yàn)槭铅采系囊稽c(diǎn)，故所以三、第二類曲面積分的計(jì)算公式(10-13)的曲面積分是取在曲面Σ上側(cè)的；如果曲面積分取在Σ的下側(cè)，則有注意三、第二類曲面積分的計(jì)算其中d是各投影區(qū)域的直徑的最大值.由于R（

x,y,z

）在Σ上連續(xù)，z（

x,y

）在Dxy上連續(xù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，也在Dxy上連續(xù).由二重積分的定義因此三、第二類曲面積分的計(jì)算類似地，當(dāng)P（

x,y,z

）在光滑曲面上連續(xù)時(shí)，有這里取積分曲面Σ的前側(cè).當(dāng)Q（

x,y,z

）在光滑曲面上連續(xù)時(shí)，有這里取積分曲面Σ的右側(cè).三、第二類曲面積分的計(jì)算求其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外側(cè)，f(x,y,z)分別為

解

(1)把有向曲面Σ分成Σ1和Σ2兩部分,Σ1的方程為曲面Σ1取上側(cè)；Σ2的方程為曲面Σ2取下側(cè)，則【例1】三、第二類曲面積分的計(jì)算(2)把有向曲面Σ分成Σ1和Σ2兩部分，Σ1的方程為曲面Σ1取上側(cè)；Σ2的方程為曲面Σ2取下側(cè)，則三、第二類曲面積分的計(jì)算

三、第二類曲面積分的計(jì)算求其中Σ是曲面x2+y2=R2及兩平面z=R,z=－R(R>0)所圍成立體表面的外側(cè).

解設(shè)Σ1,Σ2,Σ3分別是Σ的上、下底和圓柱面部分，則

【例2】三、第二類曲面積分的計(jì)算易得設(shè)Σ1,Σ2在xOy面的投影區(qū)域?yàn)镈xy,則從而I1+I2=0三、第二類曲面積分的計(jì)算記Σ3在yOz面上的投影區(qū)域?yàn)镈yz,則

又，故，因此四、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當(dāng)曲面的側(cè)確定之后，可以建立兩類曲面積分的聯(lián)系.設(shè)光滑曲面Σ由方程z=z（

x,y

）給出，Σ在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy，函數(shù)z=z（

x,y

）在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，R(x,y,z)在Σ上連續(xù).當(dāng)Σ取上側(cè)時(shí)，有又有向曲面Σ的對(duì)應(yīng)法向量為(－zx,－zy,1)，故其方向余弦為四、兩類曲面積分的聯(lián)系于是因此

（10-14）當(dāng)Σ取下側(cè)時(shí)，有三、第二類曲面積分的計(jì)算此時(shí)有向曲面Σ的對(duì)應(yīng)法向量為(zx,zy,－1)，故其方向余弦為于是因此式（10-14）仍成立.類似地可得三、第二類曲面積分的計(jì)算一般地,有其中cos

α,cos

β,cos

γ是有向曲面Σ在點(diǎn)x,y,z處的法向量的方向余弦.兩類曲面積分之間的聯(lián)