【復(fù)習(xí)參考】2021年高考數(shù)學(xué)(理)提升演練：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用

2021屆高三數(shù)學(xué)（理）提升演練：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用一、選擇題1．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)2．位于直角坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下列規(guī)章移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向向左或向右，并且向左移動(dòng)的概率為eq\f(1,3)，向右移動(dòng)的概率為eq\f(2,3)，則質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(1,0)的概率是()A.eq\f(4,243) B.eq\f(8,243)C.eq\f(40,243) D.eq\f(80,243)3．從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，大事A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，大事B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)4．設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，則P(η≥2)的值為()A.eq\f(32,81) B.eq\f(11,27)C.eq\f(65,81) D.eq\f(16,81)5．國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A.eq\f(59,60) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,60)6．箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球，從箱中一次摸出兩個(gè)球，登記號(hào)碼并放回，假如兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)．現(xiàn)有4人參與摸獎(jiǎng)，恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是()A.eq\f(16,625) B.eq\f(96,625)C.eq\f(624,625) D.eq\f(4,625)二、填空題7．某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是eq\f(1,2)，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為________(用數(shù)值作答)．8．兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為________．9．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的大事；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的大事．則下列結(jié)論中正確的是________(寫出全部正確結(jié)論的編號(hào))．①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③大事B與大事A1相互獨(dú)立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的大事．三、解答題10．某種植企業(yè)同時(shí)培育甲、乙兩個(gè)品種的杉樹幼苗，甲品種杉樹幼苗培育成功則每株獲利潤80元，培育失敗，則每株虧損20元；乙品種杉樹幼苗培育成功則每株獲利潤150元，培育失敗，則每株虧損50元．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明：甲品種杉樹幼苗培育成功率為90%，乙品種杉樹幼苗培育成功率為80%.假設(shè)每株幼苗是否培育成功相互獨(dú)立．(1)求培育3株甲品種杉樹幼苗成功2株的概率；(2)記X為培育1株甲品種杉樹幼苗與1株乙品種杉樹幼苗可獲得的總利潤，求X的分布列．11．一個(gè)盒子中裝有5張卡片，每張卡片上寫有一個(gè)數(shù)字，數(shù)字分別是1、2、3、4、5，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片．(1)從盒中依次抽取兩次卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，求兩次取到的卡片的數(shù)字既不全是奇數(shù)，也不全是偶數(shù)的概率；(2)若從盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一張，求恰有兩次取到卡片的數(shù)字為偶數(shù)的概率；(3)從盒子中依次抽取卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，當(dāng)抽到記有奇數(shù)的卡片即停止抽取，否則連續(xù)抽取卡片，求抽取次數(shù)X的分布列和期望．12．紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋競賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤競賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(2)用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求ξ的分布列．詳解答案一、選擇題1．解析：問題等價(jià)為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1＝eq\f(1,2)；其次類，需競賽2局，第一局甲負(fù)，其次局甲贏，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為P1＋P2＝eq\f(3,4).答案：A2．解析：依題意得，質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(1,0)，則這五次移動(dòng)中必有某兩次向左移動(dòng)，另三次向右移動(dòng)，因此所求的概率等于Ceq\o\al(2,5)·(eq\f(1,3))2·(eq\f(2,3))3＝eq\f(80,243).答案：D3．解析：P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).由條件概率計(jì)算公式，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(4,10))＝eq\f(1,4).答案：B4．解析：由于隨機(jī)變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3)，所以η～B(4，eq\f(1,3))，則P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－(1－eq\f(1,3))4－Ceq\o\al(1,4)(1－eq\f(1,3))3(eq\f(1,3))＝eq\f(11,27).答案：B5．解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5).因此，他們不去北京旅游的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，所以，至少有1人去北京旅游的概率為P＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5).答案：B6．解析：依題意得某人能夠獲獎(jiǎng)的概率為eq\f(1＋5,C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)(注：當(dāng)摸的兩個(gè)球中有標(biāo)號(hào)為4的球時(shí)，此時(shí)兩球的號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，有5種狀況；當(dāng)摸的兩個(gè)球中有標(biāo)號(hào)均不是4的球時(shí)，此時(shí)要使兩球的號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，只有1種狀況)，因此所求概率等于Ceq\o\al(3,4)·(eq\f(2,5))3·(1－eq\f(2,5))＝eq\f(96,625).答案：B二、填空題7．解析：P＝Ceq\o\al(3,10)(eq\f(1,2))3(1－eq\f(1,2))7＝eq\f(15,128).答案：eq\f(15,128)8．解析：設(shè)大事A：甲實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品；大事B：乙實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，所以這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為：P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(3,4))＋(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)9．解析：由題意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一個(gè)大事發(fā)生所打算的，故①③錯(cuò)誤；∵P(B|A1)＝eq\f(PA1B,PA1)＝eq\f(\f(1,2)×\f(5,11),\f(1,2))＝eq\f(5,11)，故②正確；由互斥大事的定義知④正確，故正確結(jié)論的編號(hào)是②④.答案：②④三、解答題10．解：(1)P＝Ceq\o\al(2,3)×0.92×(1－0.9)＝0.243.(2)ξ的可能取值為230,130,30，－70.ξ的分布列為ξ23030130－70P0.9×0.80.9×0.20.1×0.80.1×0.2即：ξ23030130－70P0.720.180.080.0211．解：(1)由于1,3,5是奇數(shù)，2,4是偶數(shù)，設(shè)大事A為“兩次取到的卡片的數(shù)字既不全是奇數(shù)，也不全是偶數(shù)”P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)或P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).(2)設(shè)B表示大事“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一張，恰有兩次取到的卡片上數(shù)字為偶數(shù)”，由已知，每次取到的卡片上數(shù)字為偶數(shù)的概率為eq\f(2,5)，則P(B)＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(2,5))2·(1－eq\f(2,5))＝eq\f(36,125).(3)依題意，X的可能取值為1,2,3.P(X＝1)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(2×3,5×4)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(2×1×3,5×4×3)＝eq\f(1,10)，所以X的分布列為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).12．解：(1)設(shè)甲勝A的大事為D，乙勝B的大事為E，丙勝C的大事為F，則eq\o(D,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))，eq\o(F,\s\up6(－))分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的大事．由于P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由對(duì)立大事的概率公式知P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝0.4，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝0.5，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝0.5.紅隊(duì)至少兩人獲勝的大事有：DEeq\o(F,\s\up6(－))，Deq\o(E,\s\up6(－))F，eq\o(D,\s\up6(－))EF，DEF.由于以上四個(gè)大事兩兩互斥且各盤競賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為P＝P(DEeq\x\to(F))＋P(Deq\o(E,\s\up6(－))F)＋P(eq\o(D,\s\up6(－))EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由題意知ξ可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知eq\o(D,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))F、eq\o(D,\s\up6(－))Eeq\o(F,\s\up6(－))、Deq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))是兩兩互斥大事，且各盤競賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此P(ξ＝0)＝P(eq\o(D,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(eq\o(D,\s