【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第4章-第7節(jié)-正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例

第四章第七節(jié)一、選擇題1．兩座燈塔A和B與海岸觀看站C的距離相等，燈塔A在觀看站北偏東40°，燈塔B在觀看站的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°[答案]B[解析]由圖可知∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°.∵CE∥BD，∠CBD＝∠BCE＝60°，∴∠ABD＝∠CBD－∠CBA＝60°－50°＝10°，∴燈塔A在燈塔B的北偏西10°.2．一船向正北航行，觀看正西方向有相距10nmile的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，連續(xù)航行半小時后，觀看一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這只船的速度是每小時()A．5nmile B．5eq\r(3)nmileC．10nmile D．10eq\r(3)nmile[答案]C[解析]依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(nmile/h)．3．如圖，為了測量隧道AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)無法求出AB長度的是()A．α，a，b B．α，β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α，β，γ[答案]D[解析]利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，當(dāng)只知α，β，γ時，無法計算AB．4．一艘海輪從A處動身，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀看燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀看燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里[答案]A[解析]如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)5．(文)已知A、B兩地間的距離為10km，B、C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A、C兩地間的距離為()A．10km B．eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km[答案]D[解析]利用余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×(－eq\f(1,2))＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．(理)如圖所示，D，C，B三點在地面同始終線上，DC＝a，從C、D兩點測得A點的仰角分別是β、α(α<β)，則點A離地面的高度AB等于()A．eq\f(asinαsinβ,sinβ－α) B．eq\f(asinαsinβ,cosα－β)C．eq\f(acosαcosβ,sinβ－α) D．eq\f(acosαcosβ,cosα－β)[答案]A[解析]在△ADC中，∠DAC＝β－α，由正弦定理，eq\f(AC,sinα)＝eq\f(a,sinβ－α)，得AC＝eq\f(asinα,sinβ－α).在Rt△ABC中，AB＝AC·sinβ＝eq\f(asinαsinβ,sinβ－α).6．一個大型噴水池的中心有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，A．50mC．120m[答案]A[解析]設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，依據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.二、填空題7．(文)(2022·新課標(biāo)Ⅰ)如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高MN＝________m.[答案]150[解析]本題考查解三角形中的應(yīng)用舉例．在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100eq\r(2).在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，∴∠AMC＝45°.由正弦定理知eq\f(AM,sin60°)＝eq\f(100\r(2),sin45°)，∴AM＝100eq\r(3).在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，∴MN＝AM·sin60°＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．(理)(2022·四川高考)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高度是46m，則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)[答案]60[解析]本題考查了運用正弦定理解三角形．由條件可得：AC＝92，AB＝eq\f(46,cos67°)，eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BC,sin37°)，∴BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)≈60.8．我艦在島A南50°西12nmile的B處，發(fā)覺敵艦正從島沿北10°西的方向以每小時10nmile的速度航行，若我艦要用2h追上敵艦，則速度為________．[答案]14nmile/h[解析]設(shè)我艦在C處追上敵艦，速度為v，則在△ABC中，AC＝20，AB＝12，∠BAC＝120°.∴BC2＝784，∴v＝14nmile/h.9．(文)如圖，一艘船上午930在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它連續(xù)沿正北方向勻速航行，上午1000到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.[答案]32[解析]設(shè)航速長vnmile/h在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得：eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，∴v＝32.(理)如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D．測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝________m.[答案]15eq\r(6)[解析]由已知可得∠DBC＝135°，在△DBC中，由正弦定理可得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin135°)，BC＝eq\f(CDsin30°,sin135°)＝eq\f(30×sin30°,sin135°)＝15eq\r(2)，∴AB＝BCtan60°＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).三、解答題10．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲動身2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的長；(2)問乙動身多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？[解析](1)在△ABC中，由于cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)×sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040(m)．所以索道AB的長為1040m.(2)假設(shè)乙動身tmin后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq\f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤eq\f(1040,130)，即0≤t≤8，故當(dāng)t＝eq\f(35,37)(min)時，甲、乙兩游客距離最短.一、選擇題1．據(jù)新化社報道，強臺風(fēng)“珍寶”在廣東饒平登陸．臺風(fēng)中心最大風(fēng)力達到12級以上，大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來嚴峻的災(zāi)難，不少大樹被大風(fēng)折斷．某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點與樹干底部的距離是()A．eq\f(20\r(6),3)米 B．10eq\r(6)米C．eq\f(10\r(6),3)米 D．20eq\r(2)米[答案]A[解析]如圖所示，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A，則∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，∴AO＝eq\f(20\r(6),3)(米)．2．(2022·貴陽模擬)如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.6[答案]B[解析]AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)(m)，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))(m)．∴航線離山頂h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈11.4(km)．∴山高為18－11.4＝6.6(km)．二、填空題3．在直徑為30m的圓形廣場中心上空，設(shè)置一個照明光源，射向地面的光呈圓形，且其軸截面頂角為120°，若要光源恰好照亮整個廣場，則光源的高度為________m.[答案]5eq\r(3)[解析]軸截面如圖，則光源高度h＝eq\f(15,tan60°)＝5eq\r(3)(m)．4．某校運動會開幕式上進行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最終一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最終一排的距離為10eq\r(6)m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上．若國歌長度約為50s，升旗手應(yīng)以________m/s的速度勻速升旗？[答案]0.6[解析]在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10eq\r(6)(m)，由正弦定理，得BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝20eq\r(3)(m)；在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(m)．所以升旗速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(30,50)＝0.6(m/s)．三、解答題5．(文)要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度．[解析]如圖，設(shè)電視塔AB的高為xm，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BC＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴電視塔高為40米．(理)如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°、30°，于水面C處測得B點和D點仰角均為60°，AC＝0.1km.摸索究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結(jié)果精確到0.01km，eq\r(2)≈1.414，eq\r(6)≈2.449)．[分析]eq\x(計算∠ADC)→eq\x(AC＝DC)→eq\x(AB＝BD)→eq\x(在△ABC中計算AB)→eq\x(求得BD)[解析]在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA．在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以AB＝eq\f(ACsin60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20).同理，BD＝eq\f(3\r(2)＋\r