第一章函數(shù)與極限說課講解

第一章

函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的全體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.或是的真子集：數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.例如即:面上的全體點的集合,即:整個平面通常記研究某個問題一般是限定在一個大的集合中進行的,這個大的集合稱為全集,記為設稱為集合的余集或補集,記為即例如，則2.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.有限區(qū)間無限區(qū)間3.鄰域:記為，即（）4.常量與變量:在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對于“過程”而言的.通常用字母a,b,c,…a,b,ca等表示常量;而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,z,t,u,v等表示變量.5.絕對值:性質(zhì):絕對值不等式:二、映射1.映射的概念定義設是兩個非空集合,如果存在一個法則,使得對于中每個元素,按法則,在中有唯一確定的元素與之對應,則稱為從到的映射,記為稱為元素(在映射下)的像,并記為,即元素稱為元素(在映射下)的一個原像.集合稱為映射的定義域,記為即中所有元素的像所組成的集合稱為映射的值域記為,即注意:(1)構(gòu)成映射的三要素:集合,即定義域集合,值域?qū)▌t,對每個有唯一確定的與它對應(2)對每個,元素的像是唯一的.但是,對每個,元素的原像卻不一定是唯一的.例1設對每個顯然,是映射.它的定義域它的值域?qū)τ谥涤蛑械脑?若則其原像不唯一.例如:的原像是:兩個例2設對每個有唯一確定的與它對應.顯然,是映射.它的定義域它的值域-11例3設對每個按定義,是映射.它的定義域它的值域定義設是從集合到集合的映射,若,則稱為滿射(或到上的).若對中任意兩個不同元素,它們的像,則稱為單射.若映射既是單射,又是滿射,則稱為一一映射(或雙射)例1中,不是單射,不是滿射例2中,不是單射,是滿射例3中,是單射,是滿射是一一映射2.逆映射與復合映射設是從集合到集合的單射,則根據(jù)定義,對每個有唯一的滿足這樣,我們就得到一個新的映射對每個有唯一的滿足的與它對應我們稱這個映射為映射的逆映射,記為顯然,其定義域其值域按上述定義,可知:只有單射才有逆映射因此,在例1,例2,例3中,只有例3的有逆映射對每個,有唯一的滿足的與它對應.(反正弦函數(shù))其定義域其值域設有兩個映射且即這樣對于每個即這是一個從到的映射,我們稱它為映射構(gòu)成的復合映射,記為即注意(1)映射能構(gòu)成復合映射的條件是：否則，不能構(gòu)成復合映射.例如:映射對每個映射對每個不能構(gòu)成復合映射.(2)映射的復合是有順序的,即一般地有:例4映射對每個映射對每個顯然,映射構(gòu)成復合映射:對每個,三.函數(shù)1.函數(shù)的概念定義設數(shù)集則稱映射為定義在上的函數(shù),記為,稱為自變量稱為因變量稱為定義域記為即稱這個值為函數(shù)在處的函數(shù)值記為,即函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)的值域，記為，即注意與的區(qū)別對應法則函數(shù)在處的函數(shù)值習慣上，也用或來表示定義在上的函數(shù)。對應法則也可用等表示函數(shù)可記為有時，也直接用因變量的記號來表示函數(shù)，將是的函數(shù)，記為構(gòu)成函數(shù)的二要素：（1）定義域（2）對應法則如果兩個函數(shù)的定義域和對應法則都相同則這兩個函數(shù)相等。否則，就不相等。函數(shù)的定義域的求法：（1）有實際背景的函數(shù)根據(jù)實際背景中變量的實際意義來求自由落體運動中位置函數(shù)與時間的函數(shù)關系為比如，開始下落的時刻為落地的時刻為它的定義域是什么？（2）抽象地用算式表達的函數(shù)約定：這種函數(shù)的定義域是使得算式有意義的一切實數(shù)所組成的集合這樣的定義域稱為自然定義域。在這一約定下，一般的用算式表達的函數(shù)可用表達，不必再寫為例如函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是在函數(shù)的定義中，對每個對應的函數(shù)值總是唯一的，這樣的函數(shù)稱為單值函數(shù)。如果給定一個對應法則，按照這個法則，對每個，總有確定的值與它對應，但這個的個數(shù)不總是唯一的，則稱這種法則確定了一個多值函數(shù)。例如：設變量和之間的對應法則由方程給出.對每個,由方程可確定出對應的值:當對應于(一個值)當對應于(兩個值)這是一個多值函數(shù).可化為單值函數(shù)來研究.若附加條件:則得到若附加條件:則得到單值分支(單值函數(shù))(單值函數(shù))函數(shù)的表示法:(1)表格法(2)圖形法(3)解析法(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過x的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-1321-1-3xyo階梯曲線易知:(3)狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)(4)取最值函數(shù)yxoyxo作業(yè):P21,習題1-11,3-6(5)絕對值函數(shù)定義域值域它的圖形：在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數(shù)關系式.解單三角脈沖信號的電壓例2解故2、函數(shù)的特性(1)．函數(shù)的有界性:設函數(shù)的定義域為，數(shù)集如果存在數(shù)，使得對每個都成立，則稱函數(shù)在上有上界.(有下界)如果存在正數(shù)，使得對每個都成立，則稱函數(shù)在上有界.如果這樣的不存在則稱函數(shù)在上無界.函數(shù)在上無界,即:如果對于任意正數(shù),總存在,使成立.例如:函數(shù),在內(nèi)顯然,,對每個都成立.在內(nèi)有上界.又易知,,對每個都成立.在內(nèi)有下界.還可知道:,對每個都成立.在內(nèi)有界.又例如:函數(shù),在內(nèi)有在內(nèi)有下界.但是,它在內(nèi)沒有上界,它在內(nèi)是無界的.不存在這樣一個正數(shù),使對每個都成立.(2)函數(shù)的單調(diào)性:xyoxyo(3)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x(4)函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.3、反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù)是逆映射的一種特例.定義設函數(shù)是單射,則存在逆映射稱此映射為函數(shù)的反函數(shù).按定義,對每個有唯一的滿足這表明:反函數(shù)的對應法則完全由函數(shù)的對應法則確定.例如是單射,所以,它的反函數(shù)存在,反函數(shù)為:對調(diào)得一般地，將函數(shù)的反函數(shù)記為定理若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則它的反函數(shù)一定存在，并且也是上的單調(diào)函數(shù)（其單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同）（自證）相對于反函數(shù)原來的函數(shù)稱為直接函數(shù).反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形的關系:關于直線對稱.復合函數(shù)是復合映射的一種特例.定義設函數(shù)的定義域為,函數(shù)在上有定義,且則由下式表示的函數(shù)稱為由函數(shù)與函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù).它的定義域為,變量稱為中間變量.函數(shù)與函數(shù)的復合函數(shù)通常記為,即與復合映射一樣,函數(shù)與函數(shù)能構(gòu)成復合函數(shù)的條件是:否則,不能構(gòu)成復合函數(shù).例如:函數(shù)與函數(shù)能構(gòu)成復合函數(shù)又如:函數(shù)與函數(shù)不能構(gòu)成復合函數(shù)，但是，若將函數(shù)限制在它的定義域的一個子集上，令，那么，因而，與能構(gòu)成復合函數(shù)，習慣上，為了簡便起見，仍稱函數(shù)是由函數(shù)與的復合函數(shù)。這里的定義域應理解成：以后我們采取這種習慣說法。能構(gòu)成復合函數(shù)，它的定義域一般地，能構(gòu)成復合函數(shù)其定義域不能構(gòu)成復合函數(shù)。能構(gòu)成復合函數(shù)，它的定義域兩個以上函數(shù)也能構(gòu)成復合函數(shù)，只要它們順次滿足構(gòu)成復合函數(shù)的條件。例能構(gòu)成復合函數(shù)它的定義域例3解是有界函數(shù),是偶函數(shù),是周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),：(但無最小正周期)例4解綜上所述4、函數(shù)的運算設函數(shù)的定義域分別為且則可定義兩個函數(shù)的下列運算:和(差)積商例設函數(shù)的定義域為,證明:必存在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),使得(P16,例11自己看)5、初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)i).冪函數(shù)ii).指數(shù)函數(shù)iii).對數(shù)函數(shù)iv).三角函數(shù)正弦函數(shù)對任意實數(shù)有余弦函數(shù)對任意實數(shù)有正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)v).反三角函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).2.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為