5-1-導(dǎo)數(shù)的概念及其意義2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步講與練(精講)(原卷版)

5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義一、物體的平均速度與瞬時(shí)速度1、平均速度設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是，則物體在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為2、瞬時(shí)速度（1）物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度；（2）一般地，當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于某一個(gè)常數(shù)，我們就說(shuō)當(dāng)趨近于0時(shí)，的極限就是，這時(shí)就是物體在時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度二、導(dǎo)數(shù)的平均變化率函數(shù)從到的平均變化率1、定義式：2、實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比．3、意義：刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間上變化的快慢．4、平均變化率的幾何意義：設(shè)，是曲線上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)的平均變化率為割線AB的斜率，如圖．【注意】Δx是變量x2在x1處的改變量，且x2是x1附近的任意一點(diǎn)，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以為正，也可以為負(fù)．5、求平均變化率的步驟：第一步：先計(jì)算函數(shù)值的改變量；第二步：再計(jì)算自變量的改變量；第三步：求平均變化率；三、函數(shù)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率1、瞬時(shí)變化率的定義定義式實(shí)質(zhì)瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨近的值作用刻畫(huà)函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢【注意】（1）“無(wú)限趨近于0”的含義趨于0的距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終.（2）“函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”三者之間的區(qū)別與聯(lián)系“函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值，是針對(duì)而言的，與給定的函數(shù)及的位置有關(guān)，而與無(wú)關(guān)；“導(dǎo)函數(shù)”簡(jiǎn)稱為“導(dǎo)數(shù)”，是一個(gè)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)是對(duì)一個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)確定的函數(shù)，依賴于函數(shù)本身，而與，無(wú)關(guān)．2、瞬時(shí)變化率的變形形式lim?x→0四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義1、切線的定義：當(dāng)趨于零時(shí)，點(diǎn)B將沿著曲線趨于點(diǎn)A，割線AB將繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)最后趨于直線l，直線l和曲線在點(diǎn)A處“相切”，稱直線l為曲線在點(diǎn)A處的切線．2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，是曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率．曲線的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以無(wú)窮多．與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線．五、求曲線“在”與“過(guò)”某點(diǎn)的切線1、求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率第二步（寫(xiě)方程）：用點(diǎn)斜式第三步（變形式）：將點(diǎn)斜式變成一般式。2、求曲線“過(guò)”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步：設(shè)切點(diǎn)為；第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為．題型一物體的平均速度與瞬時(shí)速度【例1】某質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)的方程為（x表示時(shí)間，表示位移），則該質(zhì)點(diǎn)從x＝2到x＝3的平均速度為（）A．－5B．5C．－6D．6【變式1-1】一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，且這一物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2B．1C．D．【變式1-2】某物體的運(yùn)動(dòng)路程s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則該物體在s時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A．0m/sB．1m/sC．2m/sD．3m/s【變式1-3】已知物體做直線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，其中S表示路程，t表示時(shí)間．則＝10表示的意義是（）A．經(jīng)過(guò)4s后物體向前走了10mB．物體在前4秒內(nèi)的平均速度為10m/sC．物體在第4秒內(nèi)向前走了10mD．物體在第4秒時(shí)的瞬時(shí)速度為10m/s【變式1-4】如圖所示為物體甲、乙在時(shí)間0到范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說(shuō)法正確的序號(hào)是______．①在0到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在時(shí)刻，甲的瞬時(shí)速度等于乙的瞬時(shí)速度；③在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在0到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度．題型二函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率【例2】已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（）A．B．C．D．【變式2-1】已知函數(shù)，則在上的平均變化率為（）A．B．C．2D．3【變式2-2】若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為5，則t等于（）A．B．2C．3D．1【變式2-3】設(shè)，則（）A．B．C．4D．8題型三導(dǎo)數(shù)定義的理解與應(yīng)用【例3】若函數(shù)在處可導(dǎo)，則的結(jié)果（）．A．與，h均無(wú)關(guān)B．僅與有關(guān)，而與h無(wú)關(guān)C．僅與h有關(guān)，而與無(wú)關(guān)D．與，h均有關(guān)【變式3-1】已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A．－2B．－1C．2D．1【變式3-2】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A．B．C．D．【變式3-3】設(shè)在處可導(dǎo)，則（）．A．B．C．D．【變式3-4】（多選）設(shè)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是（）A．B．C．D．題型四求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)【例4】函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（）A．2B．C．D．【變式4-1】已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則函數(shù)的解析式可能為（）A．B．C．D．【變式4-2】設(shè)函數(shù)，若，則（）A．2B．C．3D．【變式4-3】定義，已知函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，的值為（）A．B．C．D．題型五求曲線“在”與“過(guò)”某點(diǎn)的切線【例5】曲線在點(diǎn)處的切線斜率是（）A．9B．6C．D．【變式5-1】曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程是____________．【變式5-2】求函數(shù)的圖象上過(guò)原點(diǎn)的切線方程．【變式5-3】曲線在點(diǎn)P處的切線與直線垂直，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．題型六導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用【例6】已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（）A．B．C．D．【變式6-1】函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A．B．C．