2021屆山東省臨沂市高考數(shù)學（一模）模擬試卷（2021.03） （解析版）

2021年山東省臨沂市高考數(shù)學（一模）試卷（3月份）一、選擇題（共8小題）.1．已知全集U＝A∪B＝（0，4]，A∩?UB＝（2，4]，則集合B＝（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．（0，2] D．（0，2）2．如圖，若向量對應的復數(shù)為z，且|z|＝?，則＝（）A． B． C．i D．3．設a，b，c，d為實數(shù)，則“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．某學校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機器人五個社團，全校3000名學生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委從這3000名學生中隨機選取部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結果繪制了如下不完整的兩個統(tǒng)計圖：則選取的學生中參加機器人社團的學生數(shù)為（）A．50 B．75 C．100 D．1255．A，B是圓O：x2+y2＝1上兩個動點，||＝1，＝3﹣2，M為線段AB的中點，則?的值為（）A． B． C． D．6．北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合，是一次現(xiàn)代設計理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝同一個吉祥物，且每個吉樣物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（）A．8 B．10 C．12 D．147．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝?，則函數(shù)y＝[f（x）]的值域為（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}8．雙曲線的光學性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)．某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，若從右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后，滿足∠BAD＝90°，tan∠ABC＝﹣，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題（共4小題）.9．下列結論正確的是（）A．命題“?x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是“?x∈R，x2﹣x+1＜0” B．已知回歸模型為＝x2+2x+1，則樣本點（1，3）的殘差為﹣1 C．若冪函數(shù)的圖象過點（），則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0] D．若（2x﹣）n的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為32，則此展開式中x2項的系數(shù)為﹣8010．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn.（）A．若Sn＝n2﹣1，則{an}是等差數(shù)列 B．若Sn＝2n﹣1，則{an}是等比數(shù)列 C．若{an}是等差數(shù)列，則S99＝99a50 D．若{an}是等比數(shù)列，且a1＞0，q＞0，則S2n﹣1?S2n+1＞S2n211．函數(shù)f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1，下列結論正確的是（）A．f（x）在區(qū)間[﹣]上單調(diào)遞增 B．f（x）的圖象關于點（，0）成中心對稱 C．將f（x）的圖象向左平移個單位后與y＝﹣2sin2x的圖象重合 D．若x1﹣x2＝π，則f（x1）＝f（x2）12．為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為?，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②．則下列結論正確的是（）A．經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為? B．異面直線AD與CF所成的角的余弦值為? C．直線AD與平面DEF所成的角為? D．球離球托底面DEF的最小距離為?﹣1三、填空題（共4小題）.13．若函數(shù)f（x）滿足：（1）對于任意實數(shù)x1，x2，當0＜x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）；（2）f（）＝f（x1）﹣f（x2），則f（x）＝.（答案不唯一，寫出滿足這些條件的一個函數(shù)即可）14．曲線y＝lnx﹣?在x＝1處的切線的傾斜角為α，則sin（α+）＝．15．蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，蟋蟀鳴叫的頻率y（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫x（單位：℃）存在著較強的線性相關關系．某地研究人員根據(jù)當?shù)氐臍鉁睾腕傍Q叫的頻率得到了如下數(shù)據(jù)：x（℃）21222324252627y（次數(shù)/分鐘）24283139434754利用如表中的數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為，若利用該方程知，當該地的氣溫為30℃時，蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)的預報值為68，則的值為．16．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上且＝0，|PF1|＝，|PF2|＝，則C的標準方程為；若過點M（﹣，1）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且點A，B關于點M對稱，則l的方程為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟。17．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BC＝4，∠B＝2∠D，∠ACB＝，求△ACD面積的最大值．18．在①，②an+1an＝2Sn，③an2+an＝2Sn這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，滿足_____．（1）求an；（2）若bn＝（an+1）?，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．19．根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為p（0＜p＜1）．現(xiàn)有4例疑似病例，分別對其取樣、檢測，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有病毒，則化驗結果呈陽性．若混合樣本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再化驗現(xiàn)有以下三種方案：方案一：4個樣本逐個化驗；方案二：4個樣本混合在一起化驗；方案三：4個樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗．在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．（1）若p＝，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈陽性的概率；（2）若p＝，現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進行化驗，試比較以上三個方案中哪個最“優(yōu)”，并說明理由．20．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，PD⊥AD，2PD＝2AD＝2CD＝AB＝PB．（1）證明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）過PD的平面交AB于點E，若平面PDE把四棱錐P﹣ABCD分成體積相等的兩部分，求平面PAD與平面PCE所成銳二面角的余弦值．21．如圖，拋物線E：y2＝2px的焦點為F，四邊形DFMN為正方形，點M在拋物線E上，過焦點F的直線l交拋物線E于A，B兩點，交直線ND于點C．（1）若B為線段AC的中點，求直線l的斜率；（2）若正方形DFMN的邊長為1，直線MA，MB，MC的斜率分別為k1，k2，k3，則是否存在實數(shù)λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù)f（x）＝xex﹣1+x2+2x﹣4，g（x）＝ax2﹣x+2acosx+ln（x+1）．（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的最值；（2）用max{m，n}表示m，n的最大值，記函數(shù)h（x）＝max{f（x），g（x）}，討論h（x）的零點個數(shù)．

參考答案一、選擇題（共8小題）.1．已知全集U＝A∪B＝（0，4]，A∩?UB＝（2，4]，則集合B＝（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．（0，2] D．（0，2）解：∵U＝A∪B＝（0，4]，A∩?UB＝（2，4]，∴B＝（0，2]，故選：C．2．如圖，若向量對應的復數(shù)為z，且|z|＝?，則＝（）A． B． C．i D．解：根據(jù)圖形可設z＝﹣1+bi，b＞0，因為|z|＝?，所以，解得b＝2，所以z＝﹣1+2i，則＝﹣1﹣2i，所以＝．故選：D．3．設a，b，c，d為實數(shù)，則“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解：由c＞d，則“a＞b”?“a+c＞b+d”，反之不成立．例如取c＝5，d＝1，a＝2，b＝3．滿足c＞d，“a+c＞b+d”，但是a＞b不成立．∴c＞d，則“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的充分不必要條件．故選：A．4．某學校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機器人五個社團，全校3000名學生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委從這3000名學生中隨機選取部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結果繪制了如下不完整的兩個統(tǒng)計圖：則選取的學生中參加機器人社團的學生數(shù)為（）A．50 B．75 C．100 D．125解：由條形統(tǒng)計圖得抽到50名同學演講，由扇形統(tǒng)計圖片得抽到的學生中演講同學占10%，∴一共抽取的學生數(shù)為：n＝＝500（人），∴抽到的學生中合唱學生占：＝40%，∴選取的學生中參加機器人社團的學生數(shù)為：500（1﹣40%﹣10%﹣15%﹣20%）＝75（人）．故選：B．5．A，B是圓O：x2+y2＝1上兩個動點，||＝1，＝3﹣2，M為線段AB的中點，則?的值為（）A． B． C． D．解：根據(jù)題意，A，B是圓O：x2+y2＝1上兩個動點，||＝1，則△OAB為等邊三角形且∠AOB＝60°，則||＝||＝1，?＝||×||×cos60°＝，M為線段AB的中點，則＝（+），則?＝（3﹣2）?（+）＝（3﹣2）?（+）＝（32﹣22+?）＝（3﹣2+）＝；故選：B．6．北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合，是一次現(xiàn)代設計理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝同一個吉祥物，且每個吉樣物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（）A．8 B．10 C．12 D．14解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①小明和小李兩個人安裝同一個吉祥物，則剩下3人安裝另外1個，有2種安裝方案，②小明和小李和另外一人安裝同一個吉祥物，則剩下2人安裝另外1個，有C31×2＝6種安裝方案，則有2+6＝8種不同的安裝方案，故選：A．7．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝?，則函數(shù)y＝[f（x）]的值域為（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}解：，∵ex+1＞1，∴，，∴，∴[f（x）]＝﹣1或0，∴y＝[f（x）]的值域為{﹣1，0}．故選：B．8．雙曲線的光學性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì)．某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，若從右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后，滿足∠BAD＝90°，tan∠ABC＝﹣，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解：設|AF1|＝n，由tan∠ABC＝＝﹣，sin2∠ABC+cos2∠ABC＝1，可得sin∠ABC＝，即sin∠ABF1＝，在直角三角形ABF1中，可得|BF1|＝n，|AB|＝n，由雙曲線的定義可得|BF2|＝n﹣2a，則|AF2|＝n﹣（n﹣2a）＝2a﹣n，由雙曲線的定義可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，即n﹣（2a﹣n）＝2a，解得n＝3a，在直角三角形AF1F2中，|AF1|＝3a，|AF2|＝a，|F1F2|＝2c，則（3a）2+a2＝（2c）2，即c2＝a2，可得e＝＝，故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列結論正確的是（）A．命題“?x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是“?x∈R，x2﹣x+1＜0” B．已知回歸模型為＝x2+2x+1，則樣本點（1，3）的殘差為﹣1 C．若冪函數(shù)的圖象過點（），則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0] D．若（2x﹣）n的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為32，則此展開式中x2項的系數(shù)為﹣80解：對于A：命題“?x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是“?x∈R，x2﹣x+1＜0”，故A正確；對于B：已知回歸模型為＝x2+2x+1，則樣本點（1，3）的殘差為e＝3﹣4＝﹣1，故B正確；對于C：若冪函數(shù)的圖象過點（），故函數(shù)的冪函數(shù)的關系式為f（x）＝x2則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0]，故C錯誤；對于D：若（2x﹣）n的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為32，故2n＝32，解得n＝5，則此展開式中二項展開式＝，令，解得r＝2，故系數(shù)為，故D正確．故選：ABD．10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn.（）A．若Sn＝n2﹣1，則{an}是等差數(shù)列 B．若Sn＝2n﹣1，則{an}是等比數(shù)列 C．若{an}是等差數(shù)列，則S99＝99a50 D．若{an}是等比數(shù)列，且a1＞0，q＞0，則S2n﹣1?S2n+1＞S2n2解：若Sn＝n2﹣1，則有a1＝S1＝0，a2＝S2﹣S1＝22﹣12＝3，a3＝S3﹣S2＝32﹣22＝5，2a2≠a1+a3，此時數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，∴選項A錯誤；若Sn＝2n﹣1，則當n＝1時，有a1＝S1＝1，當n≥2時，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，故an＝2n﹣1，＝2，此時數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴選項B正確；又由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S99＝＝99a50，故選項C正確；∵當a1＞0，q＝1時，有an＝a1，S2n﹣1S2n+1＝（2n﹣1）（2n+1）a12＝（4n2﹣1）a12，S2n2＝（2na1）2＝4n2a12，此時S2n﹣1S2n+1＜S2n2，故選項D錯誤，故選：BC．11．函數(shù)f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1，下列結論正確的是（）A．f（x）在區(qū)間[﹣]上單調(diào)遞增 B．f（x）的圖象關于點（，0）成中心對稱 C．將f（x）的圖象向左平移個單位后與y＝﹣2sin2x的圖象重合 D．若x1﹣x2＝π，則f（x1）＝f（x2）解：因為f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），令﹣，得﹣，即函數(shù)在區(qū)間[﹣]上單調(diào)遞增，A正確；令2x+＝kπ得，x＝，k∈Z，即對稱中心為（，0）k∈Z，（，0）顯然不符合，B錯誤；將函數(shù)f（x）圖象向左平移個單位后可得，y＝2sin（2x++）＝﹣2sin2x，C正確；由x1＝x2+π，則f（x1）＝2sin（2x1+）＝2sin（2x2+2π+）＝2sin（2x2+）＝f（x2），D正確．故選：ACD．12．為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為?，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②．則下列結論正確的是（）A．經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為? B．異面直線AD與CF所成的角的余弦值為? C．直線AD與平面DEF所成的角為? D．球離球托底面DEF的最小距離為?﹣1解：設球的半徑為R，因為球的體積為?，所以＝，解得R＝1，對于A，經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓，即是與△A′B′C′全等的三角形的外接圓，其半徑為r＝＝，則其面積為≠?，所以A錯；對于B，作輔助線如圖②，PD∥CF，PD＝CF，所以∠PDA為AD與CF成角，△EQD≌△CDF，M、N分別為QD、DE邊中點，所以AP＝MN＝2?1?sin60°＝，所以cos∠PDA＝＝，所以B對；對于C，如圖②，AN⊥平面EDF，所以DE為AD在平面DEF內(nèi)射影，于是∠ADE即為直線AD與平面DEF所成的角，大小為?，所以C對；對于D，如圖③，O1O＝＝，O1G＝R﹣O1O＝1﹣，AN＝2?sin60°＝，所以球離球托底面DEF的最小距離為＝AN﹣O1G＝?﹣1，所以D對．故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)f（x）滿足：（1）對于任意實數(shù)x1，x2，當0＜x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）；（2）f（）＝f（x1）﹣f（x2），則f（x）＝lgx.（答案不唯一，寫出滿足這些條件的一個函數(shù)即可）解：根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）滿足（1），則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，若函數(shù)f（x）滿足（2），可以考慮f（x）為對數(shù)函數(shù)，則f（x）可以為f（x）＝lgx，故答案為：lgx．14．曲線y＝lnx﹣?在x＝1處的切線的傾斜角為α，則sin（α+）＝．解：由y＝lnx﹣?，得，∴y′|x＝1＝﹣1，由題意，tanα＝﹣1，又α∈[0，π），∴α＝，∴sin（α+）＝cosα＝cos＝．故答案為：．15．蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，蟋蟀鳴叫的頻率y（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫x（單位：℃）存在著較強的線性相關關系．某地研究人員根據(jù)當?shù)氐臍鉁睾腕傍Q叫的頻率得到了如下數(shù)據(jù)：x（℃）21222324252627y（次數(shù)/分鐘）24283139434754利用如表中的數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為，若利用該方程知，當該地的氣溫為30℃時，蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)的預報值為68，則的值為5．解：＝×（21+22+23+24+25+26+27）＝24，＝×（24+28+31+39+43+47+54）＝38，∴樣本中心點為（24，38），∴38＝×24+①，∵當該地的氣溫為30℃時，蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)的預報值為68，∴68＝×30+②，由①②解得，＝5．故答案為：5．16．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上且＝0，|PF1|＝，|PF2|＝，則C的標準方程為；若過點M（﹣，1）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且點A，B關于點M對稱，則l的方程為2x﹣3y+6＝0．解：因為點P在橢圓上，所以|PF，所以a＝3，又在直角三角形PF1F2中，|F1F2|＝，所以c＝，則b＝2，故橢圓的標準方程為；設A（x1，y1），B（x2，y2），則，兩式作差可得：，又由已知可得點M為AB的中點，即x1+x2＝﹣3，y1+y2＝2，所以，即k，所以直線l的方程為y﹣1＝，即2x﹣3y+6＝0，故答案為：；2x﹣3y+6＝0．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟。17．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BC＝4，∠B＝2∠D，∠ACB＝，求△ACD面積的最大值．解：∵圓內(nèi)接四邊形ABCD，∴∠B+∠D＝π，又∠B＝2∠D，∴∠B＝，∠D＝，在△ABC中，∠BAC＝π﹣∠ACB﹣∠B＝π﹣﹣＝，由正弦定理知，＝，即＝，∴AC＝2，在△ACD中，由余弦定理知，cos∠D＝≥，∴cos≥1﹣，∴AD?CD≤24，當且僅當AD＝CD時，等號成立，∴△ACD面積S＝AD?CD?sin∠D≤×24×＝6，故△ACD面積的最大值為6．18．在①，②an+1an＝2Sn，③an2+an＝2Sn這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，滿足_____．（1）求an；（2）若bn＝（an+1）?，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．解：（1）選①，n＝1時，a1＝S1＝，即有a2＝2，當n≥2時，2Sn﹣1＝（n﹣1）an，又2Sn＝nan+1，兩式相減可得2an＝nan+1﹣（n﹣1）an，化為（n+1）an＝nan+1，即有＝＝…＝＝＝1，即an＝n，對n＝1也成立，所以an＝n，n∈N*；選②an+1an＝2Sn，由n＝1時，a2＝2，當n≥2時，anan﹣1＝2Sn﹣1，又an+1an＝2Sn，兩式相減可得an+1﹣an﹣1＝2，可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等差數(shù)列，由于a1＝1，a2＝2，所以數(shù)列{an}是首項和公差均為1的等差數(shù)列，所以an＝n，n∈N*；選③an2+an＝2Sn，當n≥2時，an﹣12+an﹣1＝2Sn﹣1，又an2+an＝2Sn，兩式相減可得an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1＝2an，由于an＞0，可得an2﹣an﹣12＝an+an﹣1，化為an﹣an﹣1＝1，所以數(shù)列{an}是首項和公差均為1的等差數(shù)列，所以an＝n，n∈N*；（2）bn＝（an+1）?＝（n+1）?2n，Tn＝2?2+3?22+4?23+…+（n+1）?2n，2Tn＝2?22+3?23+4?24+…+（n+1）?2n+1，兩式相減可得﹣Tn＝4+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1＝2+﹣（n+1）?2n+1，化為Tn＝n?2n+1．19．根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為p（0＜p＜1）．現(xiàn)有4例疑似病例，分別對其取樣、檢測，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有病毒，則化驗結果呈陽性．若混合樣本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再化驗現(xiàn)有以下三種方案：方案一：4個樣本逐個化驗；方案二：4個樣本混合在一起化驗；方案三：4個樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗．在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．（1）若p＝，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈陽性的概率；（2）若p＝，現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進行化驗，試比較以上三個方案中哪個最“優(yōu)”，并說明理由．解：（1）p＝，按方案一，4例疑似病例中恰有2例呈陽性的概率：P＝＝．（2）方案一：逐個檢測，檢驗次數(shù)為：4×1＝4，方案二：檢測次數(shù)為X，X的可能取值為1，5，P（X＝1）＝（1﹣）4＝，P（X＝5）＝1﹣＝，∴X的分布列如下：X15P方案二的數(shù)學期望為：EX＝1×+5×＝2.3756．方案三，由（1）知，每組兩個樣本檢測時，若呈陰性，則檢測次數(shù)為1，概率為，若呈陽性則檢測次數(shù)為3，概率為1﹣＝，故方案三的檢測次數(shù)記為Y，Y的可能取值為2，4，6，P（Y＝2）＝，P（Y＝4）＝2×＝，P＝（Y＝6）＝（）2＝，∴Y的分布列為：Y246P方案三的期望為E（Y）＝2×+4×+6×＝2.76，∵E（X）＜E（Y）＜4，∴方案一、二，三中方案二最“優(yōu)”．20．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，PD⊥AD，2PD＝2AD＝2CD＝AB＝PB．（1）證明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）過PD的平面交AB于點E，若平面PDE把四棱錐P﹣ABCD分成體積相等的兩部分，求平面PAD與平面PCE所成銳二面角的余弦值．【解答】（1）證明：作DF⊥AB交AB于點F，連結BD，設2PD＝2AD＝2CD＝AB＝PB＝2a，則，，∠DAB＝60°，在△ABD中，由余弦定理可得，解得，所以PD2+BD2＝BP2＝4a2，所以PD⊥BD，又因為PD⊥AD，且BD，AD?平面ABCD，BD∩AD＝D，所以PD⊥平面ABCD，又PD?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD；（2）解：因為平面PDE把四棱錐P﹣ABCD分成體積相等的兩部分，且它們的高均為PD，所以，所以，解得AE＝，建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設平面PAD的法向量為，則有，即，令x＝1，則，設平面PCE的法向量為，則有，即，令q＝1，則，所以，故平面PAD與平面PCE所成銳二面角的余弦值為．21．如圖，拋物線E：y2＝2px的焦點為F，四邊形DFMN為正方形，點M在拋物線E上，過焦點F的直線l交拋物線E于A，B兩點，交直線ND于點C．（1）若B為線段AC的中點，求直線l的斜率；（2）若正方形DFMN的邊長為1，直線MA，MB，MC的斜率分別為k1，k2，k3，則是否存在實數(shù)λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，請說明理由．解：（1）由已知可得DN為拋物線的準線.設直線l點傾斜角為α．如圖所示，分別過點A，B，作AG⊥DN，BH⊥DN，G，H為垂足．則BH＝BF，AG＝AF．作BQ⊥AG，Q為垂足，則QG＝BH．∵B為線段AC的中點，∴BH為△ACG點中位線．∴BH＝AG＝AQ，∴AQ＝AB．∴cos