2021初中數(shù)學(xué)專題3-7 圖形幾何變換解答題專題（解析版）

決勝2021年中考最難壓軸題大挑戰(zhàn)

律塊三解答典篇

專題3?7方程（組）型應(yīng)用題

1.（2021?北京模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，△A8C三個(gè)極點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-6,0）,B（6,

0）,C（0,4>/3）,耽誤AC到點(diǎn)使過點(diǎn)。作交BC的耽誤線于點(diǎn)E.

（1）求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別毗鄰DF、EF,若過B點(diǎn)的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成

周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；

（3）在第二問的前提下，設(shè)G為），軸上一點(diǎn)，點(diǎn)尸從直線），=丘+力與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿），軸到達(dá)G

點(diǎn)，再沿G4到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在），軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線G4上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的

位置，使P點(diǎn)根據(jù)上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短.（要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方式，但不要求證明）

【點(diǎn)睛】（1）借助△OMCS^AOC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得點(diǎn)￡>的坐標(biāo)；

（2）先說明四邊形莊是菱形，且其對(duì)稱中間為對(duì)角線的交點(diǎn)M,則點(diǎn)8與這一點(diǎn)的連線即為所求

的直線，再聯(lián)合全等三角形性質(zhì)說明即可，由點(diǎn)B、M的坐標(biāo)求得直線BM的解析式；

（3）過點(diǎn)A作M8的垂線，該垂線與），軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)G,再聯(lián)合由08、OM的長(zhǎng)設(shè)法求出N

BAH,借助三角函數(shù)求出點(diǎn)G的坐標(biāo).

【詳解】解：（1）VA（-6,0）,C（0,4V3）

：.OA=6,OC=4V3

設(shè)。石與y軸交于點(diǎn)M

由。可得△OMCS/XAOC,

又??。=夕。

?M_DC__MC__D1

**OA~CO~CA~2

:?CM=2?MD=3

同理可得EM=3

：.OM=6小

???D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,6V3）；

（2）由（1）可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,6V3）

由OE/7A8,EM=MD

可得），軸所在直線是線段。的垂直平分線

，點(diǎn)C關(guān)于直線OE的對(duì)稱點(diǎn)尸在y軸上

???&）與C/彼此垂直平分

：，CD=DF=FE=EC

???四邊形8此為菱形，且點(diǎn)M為其對(duì)稱中間

作直線8M設(shè)與CD、E尸分別交于點(diǎn)5、點(diǎn)7；

可證△F7M也△CSM

:,FT=CS,

,:FE=CD,

:.TE=SD,

?；EC=DF,

...TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS,

???直線將四邊形CW中分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形,

由點(diǎn)8（6,0）,點(diǎn)M（0,6V3）在直線y=Ax+b上，可得直線3M的解析式為產(chǎn)一百x+6V5.

（3）設(shè)點(diǎn)P在4G上的運(yùn)動(dòng)速度為西點(diǎn)尸在y軸上的運(yùn)動(dòng)速度為2A,

則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A的時(shí)間為t=+鋁=（w+GA）

過點(diǎn)G作G”_L8W于點(diǎn)H,

可證得叢MGHs叢MBO,

MGMBJ（6V3）2+62

mil-------------------2------------------=2

GHBO6

MG

—=GH,

1MG=1（GH+GA）,

要使Z最小，則G//+G4最小，即當(dāng)點(diǎn)G、4、〃三點(diǎn)一線時(shí)，/有最小值，

確定G點(diǎn)位置的方式：過A點(diǎn)作于點(diǎn)“，則A”與），軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn)

由08=6,OM=6V5,

可得NOBM=60°,

???N8AH=30°,

在RtZ\OAG中，OG=AO?tanN8A〃=2V5,

；?G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2V3）.（或G點(diǎn)的位置為線段OM的接近O點(diǎn)的三等分點(diǎn)）

2.（2021?廣州模擬）如圖，己知正方形4BCO的面積為S.

（1）求作：四邊形48iGOi,使得點(diǎn)Ai和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，點(diǎn)3和點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，點(diǎn)G和點(diǎn)C

關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，點(diǎn)5和點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱；（只要求畫出圖形，不要求寫作法）

（2）用S示意（1）中作出的四邊形AIBICIQI的面積Si；

（3）若將已知前提中的正方形改為隨意率性四邊形，面積仍為S,并按（1）的要求作出一個(gè)新的四個(gè)

邊形，面積為S2,則&與S2是否相等，為什么？

【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知.使得點(diǎn)4和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)5對(duì)稱，即是毗鄰48并耽誤一樣的長(zhǎng)度找

到對(duì)應(yīng)點(diǎn)A',其它三點(diǎn)同樣的方式找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次毗鄰.

（2）設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a,根據(jù)兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的比值，操縱面積比等于相似比，來求小正方形的

面積.

（3）相等.因?yàn)橐粋€(gè)四邊形可以分成兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形的面積公式，等底等高的三角形面積相等.

【詳解】解：（1）如圖①所示.

（2）設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為a,

==2

同理=SACC1B1S^DD\C\fl?

???SinSAAAIOl+SziBBlAl+SACClBl+SaOOlCl+Sh方形45CD=5a=5S.

（本問也可以先證明四邊形4BC1U是正方形，再求出其邊長(zhǎng)為V5。，從而算出Spq邊形川8ICW1=5S）

（3）S\=S2

來由如下：

起首畫出圖形②，毗鄰BD、BD1,

中，AB是中線,

SMBD\=SMBD.

又???△/LAIOI中，8。］是中線，

??S￡^AA\D\=2S^ABD

同理，得S^CC\R\=2S^CBD

??5ziA4IDI+SACC1BI=2(S^ABD+S^,CBD)=2S.

同理，得S^BAIB\+5ADD1Cl=25,

S2=S^AAID\+S^BB\A\+S^CC\B\+S^DD\Cl+S四邊形ABCD=5s.

由(2)得，Si=5S.

**?S\=S2.

5

3.（2021,南寧模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，入，占兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為八（-2,0）,4（8,0）,以

AB為直徑的半圓與），軸交于點(diǎn)M,以AB為一邊作正方形ABCD.

（1）求CM兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）毗鄰CM,試判斷直線CM是否與0P相切？說明你的來由；

（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)。，使得△QMC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)

說明來由.

y

【點(diǎn)睛】（1）依題意推出4B=8C=CO=4。毗鄰PM,根據(jù)勾股定理求出0M的值后可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）本題有多種方式解答.起首毗鄰PC,CM,根據(jù)勾股定理先求出CM的值，然后證明△CMPgZ\CP4

即可證得NCMP=NCBP=90°；

（3）本題有幾種解法，吻合題意即可，起首作M點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)毗鄰ATC,根據(jù)題意可知

QM+QC的和最小，因?yàn)镸C為定值，故△QMC的周長(zhǎng)最小，證明△財(cái)OQS2\MEC,操縱線段比求出

0Q的值.

【詳解】解：（1）VA（-2,0）,8（8,0）,四邊形A8CD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD=\^。尸的半徑為5,（1分）

C（8,10）,（2分）

毗鄰PM,PM=5,在RtAPMO中，OA1=7PM2-PO?=V52-32=4

：.M（0,4）；（3分）

（2）方式一：直線CM是。尸的切線.（4分）

證明：毗鄰PC,CM,如圖（1）,

在RSMC中，CM=>JCE2+EM2=V824-62=10（5分）

:?CM=CB

又,：PM=PB,CP=CP

:?ACPMqACPB（6）

：.ZCMP=ZCBP=90°

CM是OP的切線；（7分）

方式二：直線CM是。尸的切線.（4分）

證明：毗鄰PC,如圖（1）,在RtZXPBC中，

PC2=P^+BC2=52+102=125（5分）

在Rl/XMEC中

CM2=CE2+ME2=82+62=100（6分）

：,PC2=CM2+PM2

???△PMC是直角三角形，即NPMC=90°

???直線CM與0P相切.（7分）

方式三：直線CM是。/＞的切線.（4分）

證明：毗鄰M民PM如圖（2）,

在RtAE/WC中，CM=yJCE2+EM2=V82+62=10（5）

：.CM=CB

???NCBM=NCMB（6）

:.PM=PB：?NPBM=NPMB

/.ZPMB+ZCMB=ZPBM+ZCBM=90°

即PMLMC

是o尸的切線；（7分）

（3）方式一：作M點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M,則M'（0,-4）,

毗鄰MC,與x軸交于點(diǎn)Q,此時(shí)QM+QC的和最小,

因?yàn)镸C為定值，所以△QMC的周長(zhǎng)最小,（8分）

???△AfOQs/XM'EC

00M，OOQ416

/.—=-----，—=-，0Q=一（9分）

ECMrE8147

；.Q鳥,0）：（10分）

方式二：作M點(diǎn)關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn),則”（0,-4）,

毗鄰MC,與x軸交于點(diǎn)Q,此時(shí)QM+QC的和最小，

因?yàn)镸C為定值，所以△QMC的周長(zhǎng)最小，（8分）

設(shè)直線MC的解析式為y=kx+b,

把“（0,-4）和C（8,10）分別代入得］

ILU—oK十u

解得

7

y=X4當(dāng)時(shí)，％=竽（分）

4-y=09

??.(?(%0).(10分)

圖⑴圖（2）

4.（2021?淮安模擬）閱讀懂得

如圖1.△ABC中，沿N84C的平分線ABi折疊，剪掉重:復(fù)部分；將余下部分沿N8M1C的平分線折

疊，剪掉重復(fù)部分:…;將余下部分沿N&AnC的平分線A〃B〃+i折疊，點(diǎn)&與點(diǎn)C重合，無論折疊幾次，只

要末了一次恰好重合，NBAC是△ABC的好角.

小麗展示了確定NBAC是aABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角N84C的平

分線ABi折疊，點(diǎn)8與點(diǎn)。重合；情形二：如圖3,沿N8AC的平分線ABi折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部

分沿NBMiC的平分線4弦折疊，此時(shí)點(diǎn)Bi與點(diǎn)C重合.

探討發(fā)覺

（1）ZVIBC中，NB=2NC,經(jīng)由兩次折疊，NB4C是不是△A8C的好角？是（填"是"或“不

是“）

（2）小麗經(jīng)由三次折疊發(fā)覺了N5AC是△ABC的好角，請(qǐng)?zhí)接慛8與NC（不妨設(shè)NB>NO之間的等量

關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容料想：若經(jīng)由〃次折著N8AC是△A5C的好角，則/B與NC（不妨設(shè)N8>N。之間

的等量關(guān)系為/B=n/C.

應(yīng)用提升

（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15°、60°、105°,發(fā)覺60°和105°的兩個(gè)角都是此三角

形的好角.

請(qǐng)你完成，參加一個(gè)三角形的最小角是4°,試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是

此三角形的好角.

圖1圖2圖3

【點(diǎn)睛】（1）在小麗展示的情形二中，如圖3,根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知

C；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知NAIA2B2=NC+NA282c=2NC；

根據(jù)四邊形的外角定理知N8AC+2NB-20=180°①，根據(jù)三角形ABC1的內(nèi)角和定理知NBAC+NB+NC=

180°②，由①②可以求得ZB=3ZC；

操縱數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：NB=〃NG

（3）操縱（2）的結(jié)論知NB=〃NC,/BAC是△A8C的好角，ZC=/JZA,N4BC是△A8C的好角,

NA=AN8,N8CA是△ABC的好角：然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù)可所以4、172：

8、168；16、160：44、132；88°、88°.

【詳解】解：（1）ZVIBC中，NB=2NC,經(jīng)由兩次折疊，N8AC是△ABC的好角；

來由如下：小麗展示的情形二中，如圖3、

???沿NB4C的平分線481折疊，

/.N8=NM8i；

又???將余下部分沿N81AC的平分線A&折疊，此時(shí)點(diǎn)以與點(diǎn)C重合,

???ZAiBiC=ZC；

???NA4[8]=NC+N48C（外角定理），

AZB=2ZGN3AC是△ABC的好角.

故答案是：是；

（2）NB=3NG如圖所示，在△ABC中，沿NB4C的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿N

BiAC的平分線4及折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿/BM2c的平分線上為折疊，點(diǎn)治與點(diǎn)C重合,

則NBAC是△ABC的好角.

證明如下：???根據(jù)折疊的性質(zhì)知，N8=/44Bi,NC=N4282G/A|8|C=NA1A2&,

???根據(jù)三角形的外角定理知，ZAYAIB2=ZC+ZA2B2C=2ZC：

:根據(jù)四邊形的外角定理知，NZMGN3+NA4向^A\B\C=ZBAC\2ZB2ZC=180°,

根據(jù)三角形A5C的內(nèi)角和定理知，ZBAC+ZB+ZC=180<>,

???N8=3NG

由小麗展示的情形一知，當(dāng)/8=NC時(shí).N84C是△A8C的好角；

由小麗展示的情形二知，當(dāng)/B=2NC時(shí)，NBAC是△ABC的好角；

由小麗展示的情形三知，當(dāng)/8=3NC時(shí)，NB4C是/XABC的好角；

故若經(jīng)由〃次折疊NBAC是△ABC的好角，則N8與NC（不妨設(shè)N3>NO之間的等量關(guān)系為NB=nN

C；

（3）由（2）知設(shè)NA=4°,

???NB是好角,

???N8=4〃°；

???NA是好角，

ZC=rnZB=4mn°,其中〃、〃為正整數(shù)得4+4〃+4加〃=180

???參加一個(gè)三角形的最小角是4°,三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是4、172；8、168；16、160；44、132；

88°、88°.

5.（2021?淮安模擬）我們約定，若一個(gè)三角形（記為AAi）是由另一個(gè)三角形（記為△4）通過一次平移，或

繞其任一邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的，則稱是由復(fù)制的.以下的操縱中每一個(gè)三角形只可以復(fù)

制一次，復(fù)制過程可以一向進(jìn)行下去.如圖1是由復(fù)制出△{,又由復(fù)制出△4,再由復(fù)制出

△A3,形成了一個(gè)大三角形，記作AB.以下各題中的復(fù)制均是由最先的，由復(fù)制形成的多邊形中的

隨意率性兩個(gè)小三角形（指與△/1全等的三角形）之間既無縫隙也無重疊.

（1）圖1中標(biāo)出的是一種大概的復(fù)制成果，它用到1次平移.2次旋轉(zhuǎn).小明發(fā)覺其

相似比為2:1.若由復(fù)制形成的△（7的一條邊上有11個(gè)小三角形（指有一條邊在該邊上的小三角形），

則△（：中含有121個(gè)小三角形:

（2）若△人是正三角形，你認(rèn)為通過復(fù)制能形成的正多邊形是正三邊形、正六邊形；

（3）在復(fù)制形成四邊形的過程中，小明用到了兩次平移一次旋轉(zhuǎn)，你能用兩次旋轉(zhuǎn)一次平移復(fù)制形成一個(gè)

四邊形嗎？參加能，請(qǐng)?jiān)趫D2的方框內(nèi)畫出草圖，并仿照?qǐng)D1作出標(biāo)記；參加不能，請(qǐng)說明來由；

（4）曼3是正五邊形EFG"/,其中間是O,毗鄰O點(diǎn)與各極點(diǎn).將其中的一個(gè)三角形記為△?1,小明認(rèn)

為正五邊形EFG"/是由復(fù)制形成的一種成果，你認(rèn)為他的說法對(duì)嗎？請(qǐng)判斷并說明來由.

【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)平移性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和相似常識(shí)進(jìn)行求解;

（2）應(yīng)該是證三角形和正六邊形；

（3）只要吻合平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可，答案不獨(dú)一；

（4）小大概是止五邊形，因?yàn)椴还茉趺雌揭坪托D(zhuǎn)，得出的圖形至少有一邊與原三角形的邊半行，是

以不大概是正五邊形.

【詳解】解：（1）ZXA-aAi是經(jīng)由旋轉(zhuǎn)所得，△AI-ZIA2是經(jīng)由旋轉(zhuǎn)所得，ZXA2-AA3是經(jīng)由平移所

得.是以經(jīng)由了2次旋轉(zhuǎn)和1次平移.因?yàn)?8是由4個(gè)組成，是以SAfi=4SM,是以相似比為2:1.當(dāng)

△C的一條邊上有11個(gè)小三角形時(shí)，那么它們的相似比為11:1,面積比121:1,即中有121個(gè)如許的

小三角形；

（2）正三邊形、正六邊形；

（3）能，見右圖；

（4）不對(duì)；因?yàn)槠揭苹蛐D(zhuǎn)復(fù)制后，至少有一條邊和原三角形的邊平行.

6.（2021?日照模擬）如圖，直線即將矩形紙片A8CO分成面積相等的兩部分，E、尸分別與交于點(diǎn)￡,與

A。交于點(diǎn)尸（瓦尸不與極點(diǎn)重合），設(shè)AD=b,BE=x.

（I）求證:AF=EC：

（II）用剪刀將紙片沿直線E尸剪開后，再將紙片A8E廣沿A8對(duì)稱翻折，然后平移拼接在梯形ECZ）廠的下

方，使一底邊重合，直腰落在邊OC的耽誤線上,拼接后，下方的梯形記作EE'B'C.

（1）求出直線分別經(jīng)由原矩形的極點(diǎn)A和極點(diǎn)。時(shí)，所對(duì)應(yīng)的的值；

（2）在直線EE，經(jīng)由原矩形的一個(gè)極點(diǎn)的情形下，毗鄰8戌，直線與E尸是否平行？你若認(rèn)為平

行，請(qǐng)給予證明；你若認(rèn)為不平行，請(qǐng)你說明當(dāng)。與b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們垂直？

【點(diǎn)睛】（I）由AD=b,BE=x,S椅形ABEF=S梯形CDFE,聯(lián)合梯形的面積公式可證得AF=EC；

（II）（1）根據(jù)題意，畫出圖形，聯(lián)合梯形的性質(zhì)求得無〃的值；

（2）直線EE'經(jīng)由原矩形的極點(diǎn)。時(shí)，可證明四邊形BE'M是平行四邊形，則BE'〃所;當(dāng)直線EE'

經(jīng)由原矩形的極點(diǎn)4時(shí)，BE，與七戶不立行.

【詳解】（I）證明：???4B=a,AD=b,BE=x,S梯形ABEF=S梯形CDFE,

1i

.'?—a（x+AF）=^EC+b-AF）,

：,2AF=EC+（b-x）.

又?:EC=b-x,

：.2AF=2EC.

：,AF=EC.

（II）解：（1）當(dāng)直線E&經(jīng)由原矩形的極點(diǎn)。時(shí)，如圖（一）

YEC/iE'夕，

?EC_D___C___

**EIBIDBr^

由EC=6?x,E'B'=EB=x,DBr=DC+CB,=2a,

得上

x2a

,?x\b—a.

當(dāng)直線E'E經(jīng)由原矩形的極點(diǎn)A時(shí)，如圖（二）

在梯形4E'B'。中，

,JEC//E'8'，點(diǎn)C是DB'的中點(diǎn)，

ACE=i（AD+E'B'）,

即b-3=：（b+x）,

；?x:b=司.

（2）如圖（一），當(dāng)直線EE'經(jīng)由原矩形的極點(diǎn)。時(shí)，BE'〃E￡

證明：田比鄰8匕

*：FD//BE,FD=BE,

???四邊形尸BE。是平行四邊形,

：.FB//DE,FB=DE,

又‘：EC"E'Br,點(diǎn)。是DB'的中點(diǎn)，

：?DE=EE'，

：.FB//EE,,FB=EE,,

.?.四邊形BE'E尸是平行四邊形，

:?BE'//EF.

如圖（二），當(dāng)直線EE，經(jīng)由原矩形的極點(diǎn)A時(shí)，明顯8&與"不平行,

設(shè)直線石尸與8E'交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E'作E'M_LBC于M,則&M=a,

Vx:b='，

；?EM=gBC=gb,

若BE'與E尸垂直，則有NGBE+NBEG=90°,

又?：/BEG=NFEC=/MEE',NMEE'+NME'E=90°,

:.NGBE=NME'E、

F，Mn

在RtAB/VfE7中，tanZEzBM=tanNGBE==完

在RtAEME,中，tanNME'E=踹=g,

又???">(),b>0,

ay/2

b~3,

，當(dāng)f=W時(shí)，BE'與七戶垂直.

b3

7.（2021?金華模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）已知點(diǎn)A（3,1）,毗鄰OA,平移線段QA,使點(diǎn)。落在點(diǎn)3.設(shè)點(diǎn)A落在點(diǎn)C,作如下探討：

探討一：若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,2）,請(qǐng)?jiān)趫D1中作出平移后的像,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是—:毗鄰AC,BO,

請(qǐng)判斷O,A,C,8四點(diǎn)構(gòu)成的圖形的形狀，并說明來由；

探討二：若點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,2）,按探討一的方式，判斷O,4,B,C四點(diǎn)構(gòu)成的圖形的形狀.

（溫馨提示：作圖時(shí)，別忘了用黑色字跡的鋼筆或簽字筆描黑喔?。?/p>

（2）通過上面的探討，請(qǐng)直接答復(fù)下列問題：

①若已知三點(diǎn)A（a,b）,B（Gci）,C（a+c,b+d）,順次毗鄰O,A,C,B,請(qǐng)判斷所得到的圖

形的形狀；

②在①的前提下，參加所得到的圖形是菱形大概是正方形，請(qǐng)?zhí)暨x一種情況，寫出a,b,c,d應(yīng)滿

足的關(guān)系式.

【點(diǎn)睛】（1）由題意和圖象可知:0A應(yīng)該右移三個(gè)單位，上移兩個(gè)單位后得出的C是以，C的坐標(biāo)是（4,

3）.因?yàn)槭瞧揭扑訟O=BC,AO//BC,所以四邊形OACB是平行四邊形.當(dāng)B是（6,2）的時(shí)辰,

OAB三點(diǎn)在直線y=1r上，是以O(shè)A3C是條線段.

（2）①同（1）應(yīng)該是平行四邊形或線段兩種情況.

②當(dāng)04CB是菱形時(shí)，兩條鄰邊應(yīng)該相等，AC=BC,是以J（a+c-a）2+（b+d-b）2=

JCa+c-c）2+^b+d-d}2.是以/+序=J+/

當(dāng)0AC3是正方形的時(shí)辰.參加過8作8E_Lx軸，過A作AF_Lx軸，那么三角形BOEV三角形AOF.AF=

OE,OF=BE,即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值=8點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=8點(diǎn)的縱

坐標(biāo)的絕對(duì)值，即。=4且b=-c,或b=c且。=-d.

【詳解】解.：

（1）探討一:C（4,3）,

四邊形Q4C8為平行四邊形，

來由如下：

由平移可知，OA〃BC,且Q4=BC,

所以四邊形OACB為平行四邊形.

探討二：線段

（2）①平行四邊形或線段；

②菱形：口必:^+/（q=-°,/或〃=c,b=d除外）

正方形:a=d且b=-c或b=c且a=-d.

8.（2021?懷化模擬）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3魚的正方形，長(zhǎng)方形AEFG的寬AE=^長(zhǎng)EF=

.將長(zhǎng)方形4EFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到長(zhǎng)方形4WN”（如圖），這時(shí)8。與訂交于點(diǎn)O.

（1）求NOOM的度數(shù);

（2）在圖中，求。、N兩點(diǎn)間的間隔；

（3）若把長(zhǎng)方形AMNH繞點(diǎn)4再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到長(zhǎng)方形AR7Z,叨教此時(shí)點(diǎn)5在矩形AK7Z的內(nèi)部、

外部、仍是邊上？并說明來由.

【點(diǎn)睛】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得ZBAM=\5°,即可得NOKB=N4OM=75°,又由正方形的性質(zhì),

可得乙鉆。=45°,然后操縱外角的性質(zhì)，即可求得NQOM的度數(shù)；

（2）起首毗鄰AN,交BD于I,毗鄰4N,由特殊角的三角函數(shù)值，求得N/MN=30°,又由旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，即可求得NOAN=45°,即可證得A,C,N共線，然后由股定理求得答案：

（3）在RtZXARK中，操縱三角函數(shù)即可求得AK的值，與A3對(duì)照大小，即可確定8的位置.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：ZBAM=\5°,

???四邊形4MM/是矩形，

???NM=90°,

???NAKM=900-ZBAM=15°,

:,NBKO=NAKM=75°,

???四邊形ABC。是正方形，

；?480=45°,

:./DOM=/BKO+/ABD=750+45°=120°；

（2）毗鄰AN,交SD于/,毗鄰DN,

?:NH=4,NH=90。，

..tanZHAN==亍

???NHAN=30°,

?MN=2NH=7,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：ND4〃=15°,

，NDAN=45°,

?：ZDAC=45°,

???4,C,N共線，

;四邊形A8C￡＞是正方形，

???8O1AC,

,:AD=CD=30

：,DI=AI=1AC=1V/1F2+CD2=3,

???N/=AN-A/=7-3=4,

在RtADIN中，DN=y/Dl2+Nl2=5：

(3)點(diǎn)B在矩形ARTZ的外部.

來由：如圖，根據(jù)題意得：ZBAR=\50-15°=30°,

7

VZ/?=90°,AR=

.AR2743

cos300433'

T

???AB=3口》學(xué)

???點(diǎn)8在矩形4?77的外部.

H

Z

9.(2021?濟(jì)寧模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形QABC的兩極點(diǎn)4、C分別在y軸、x軸的

正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形0A8C繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線），=x上時(shí)中斷旋

轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中，A8邊交直線y=x于點(diǎn)M,BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖）.

（1）求邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積;

（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)和4C平行時(shí)，求正方形OA3c旋轉(zhuǎn)的度數(shù);

（3）設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p,在旋轉(zhuǎn)正方形0ABe的過程中，〃值是否有轉(zhuǎn)變？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積;

（2）解決本題需操縱全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出N40M的度數(shù):

（3）操縱全等把△M4N的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子.

【詳解】解：（1）???4點(diǎn)第一次落在直線y=”上時(shí)中斷旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45°,

???。4旋轉(zhuǎn)了45°.

457rx22n

???OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為

3602

(2)\'MN//AC,

???N5MN=N8AC=45°,NBNM=NBCA=45°.

：./BMN=/BNM.:.BM=BN.

又BA=BC,AAM=CN.

又???OA=OC,/OAM=/OCN,：,/\OXMm叢OCN.

1i

；?NAOM=NCON=5（N40C-NMO/V）=|（90°-45。）=22.5°.

，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)M/V和AC平行時(shí)，正方形0A8C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°-22.5°=22.5°.

（3）在旋轉(zhuǎn)正方形Q4BC的過程中，〃值無轉(zhuǎn)變.

證明：耽誤84交y軸于E點(diǎn)，

則NAOE=450-N4OM,NCON=90°-45°-NAOM=450-ZAOM,

:.4AOE=/CON.

又?.?OA=OC,NOAE=180°-90°=90°=NOCM

：?OE=ON,AE=CN.

又?；NMOE=/MON=45°,OM=OM,

:.△OWE且△OMMMN=ME=AM+AE.

：?MN=AM+CN,

:?p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.

???在旋轉(zhuǎn)正方形OA8C的過程中，p值無轉(zhuǎn)變.

x

10.（2021?泰州模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的極點(diǎn)A、B、C

在小正方形的極點(diǎn)上，將△ABC向下平移4個(gè)單位、再向右平移3個(gè)單位得到然后將

繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△4比0.

（1）在網(wǎng)格中畫出△AiBCi和AAiB2c2；

（2）計(jì)算線段AC在變換到4c2的過程中掃過區(qū)域的面積（重疊部分不重復(fù)計(jì)算）

【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)圖形平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△AWiG及32c2即可；

（2）根據(jù)圖形平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，將△月向下平移4個(gè)單位AC所掃過的面積是以4為底，以2

為高的平行四邊形的面積;再向右平移3個(gè)單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面

積；當(dāng)△AiBCi繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△4B2C2時(shí)，4C所掃過的面積是以4為圓心以以2我為半徑,

圓心角為90°的扇形的面積，再減去重疊部分的面積，根據(jù)平行四邊形的面積及扇形面積公式進(jìn)行解答

即可.

【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）??,圖中是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格，

：.AC=A/22+22=2^,

???將△ABC向下平移4個(gè)單位4c所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平

移3個(gè)單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積;當(dāng)△481。繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

到△4B2c2時(shí)，4。所掃過的面積是以4為圓心以2&為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，重疊

部分是以4為圓心，以2后為半徑，圓心角為45°的扇形的面積，

???線段4。在變換到4C2的過程中掃過區(qū)域的面積=4X2+3X2+駟簫變一竺嘴直=14+m

50UOOU

11.（2021?深圳模擬）請(qǐng)操縱圖中的根基圖案，通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱，在方格紙中設(shè)計(jì)一個(gè)瑰麗的圖

【點(diǎn)睛】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱及平移的性質(zhì)設(shè)計(jì)出圖案即可.

12.（2021?襄陽模擬）如圖，已知:AC是0。的直徑，/MJLAC,毗鄰OP,弦CB//OP、直線交直線AC

于。，BD=2PA.

（1）證明：直線PB是。。的切線；

（2）探討線段尸。與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)求sinNOBA的值.

【點(diǎn)睛】(1)毗鄰。艮證04_LP4即可.通過證明△P08義△P04得證.

(2)根據(jù)切線長(zhǎng)定理必=P8.BD=2PA,貝ijBD=20叢即BD:尸D=2:3.

根據(jù)8C〃0P可得/\DBCsRDPO,從而得出線段P0與線段8C之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)根據(jù)三角函數(shù)的定義即求半徑與0P的比值.設(shè)。A=x,PA=y.則0Q=3x,OB=x,BD=2y.在△

80。中可求y與x的關(guān)系，進(jìn)而在△POB中求0P與x的關(guān)系，從而求比值得解.

【詳解】(1)證明：毗鄰08.

YBC/iOP,

:.ZBCO=NPOA,/CBO=NPOB,

:?/POA=NPOB.

又?.?PO=PO,08=OA,

，△尸。噲△POA.

，NP8O=NB4O=90°.

是。。的切線.

(2)W：2PO=3BC.(寫亦可)

證明：:△POB絲△P04,：,PB=PA.

*：BD=2PA,:?BD=2PB.

???BC/iPO,???ADBCsADPO.

tBCBD2

?,PO~PD~3,

：?2PO=3BC.

(3)解：?.?C8〃OP,

:ADBCSADPO,

.DCBD2

''DO~PD~3^

7

即DC=^OD.

1

0C=^0Dy

：.DC=20C.

設(shè)。4=x,PA=y.則OO=3x,OB=x,BD=2y.

在RtZ\OB。中，由勾股定理得（3x）2=/+（2y）2,即2?=/.

Vx>0,y>0,

13.(2021?大慶模擬)對(duì)于鈍角a,定義它的三角函數(shù)值如下：

sina—sin(180°-a),cosa--cos(1800-a)

(1)求sinl200,cos120°,sin150°的值;

(2)若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1:1:4,A,8是這個(gè)三角形的兩個(gè)極點(diǎn)，sinA,cosB是方程47

心-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求加的值及NA和的大小.

【點(diǎn)睛】(1)根據(jù)問題所給的信息求解即可；

(2)分三種情況進(jìn)行解析:①當(dāng)NA=30°,NB=120°時(shí);②當(dāng)NA=120°,/B=30°時(shí);③當(dāng)NA=30°,

ZB=30°時(shí)，根據(jù)題意分別求出用的值即可.

【詳解】解：(1)由題意得，

sinl20c=sin(180°-120°)=sin600=察

cos1205=-cos(180°-120°)=-cos60°=

sinl50e=sin(180°-150°)=sin300=1；

(2)???三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1:1:4,

???三個(gè)內(nèi)角分別為30。，30。，120°,

11

①當(dāng)/A=30°,ZB=l20°方程的兩根為-一:

2/

將:代人方程得：4X(1)2-wx1-1=0,

解得：，〃=0,

經(jīng)檢驗(yàn)一，是方程4/-1=0的根，

???〃?=0吻合題意；

②當(dāng)NA=120°,N3=30°時(shí)，兩根為苧，y,不吻合題意；

③當(dāng)NA=30°,ZB=30°時(shí)，兩根為ay,

111

將3代人方程得：4X(-)2_〃以2-1=0,

解得：m=0,

經(jīng)檢釁不是方程4/-1=0的根.

綜上所述:m=0,NA=30°,N8=120°.

14.(2021?鞍山模擬)如圖，在直角梯形A8CO中，AD//BC,NC=90°,BC=16,DC=12,40=21.動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線OA的方向，在射線OA上以每秒2兩個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出

發(fā)，在線段C8上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)僅。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)P隨之中斷運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1(秒).

(1)設(shè)ABPQ的面積為S,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式：

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，以8,P,。三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形;

（3）當(dāng)線段P。與線段AB訂交于點(diǎn)。，且24O=OB時(shí)，求N8QP的正切值；

（4）是否存在時(shí)候。使得PQ1.BD?若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)說明來由.

【點(diǎn)睛】（1）點(diǎn)尸作垂足為M,則四邊形POCM為矩形，根據(jù)梯形的面積公式就可以操縱f

示意，就得到S與，之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）以3、P、。三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ,②若BP=BQ,③若PB=PQ.

在RtZkPMQ中根據(jù)勾股定理，就得到一個(gè)關(guān)于，的方程，就可以求出九

（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可列式求出f,從而根據(jù)正切的定義求出值.

（4）起首假定存在，然后再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求證.

【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)尸作PM1BC,垂足為M,則四邊形PDCM為矩形.

：.PM=DC=\2.

'：05=16-/,

：,S=^x\2X（16-/）=96-6/（0<r<16）；

（2）由圖可知：CM=PO=2f,CQ=t.

以B、P、。三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ.

在Rt/XPMQ中，P。2=戶+122,

由PC2=502得?+122=（16-/）5

解得t=

②若BP=BQ.

在RtAPA/B中，BP2=(16-202+122.

由得：(16-2/)2+122=(16-/)2

即3?-32/+144=0.

因?yàn)椤?-704<0,

???3?-32什144=0無解，

:?PBHBQ.

③若PB=PQ.

由P^uPg2,得?+122=(16-2。2+122

整理，得3P-64/+256=0.

解得仁挈念=16(舍去)

綜合上面的會(huì)商可知：當(dāng)秒或U竽秒時(shí)，以8、P、。三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形.

4P401

(3)如圖，由△OAPs/\O5Q,得一=—=一.

BQOB2

,

：AP=2t-2\iBQ=16-f,

/.2(2/-21)=16-/.

過點(diǎn)。作QELAD,垂足為E.

?:PD=Z、ED=QC=h

：,PE=t.

在RtAPEG中，tanNQPE=能=竽=瑞

王：ADHBC、

：?NBQP=NQPE,

30

???tanNBQP=~

（4）設(shè)存在時(shí)候f,使得PQLBD.

如圖，過點(diǎn)Q作QE_LA。于E,垂足為E.

*：AD//BC

???/BQF=NEPQ,

又;在尸。和△SCO中N3FQ=/C=90°,

:.NBQF=/BDC,

ZBDC=ZEPQ,

又???NC=NPEQ=90°,

???R"OCsRtZ\QPE,

DCPE?12t

—=—.即—=—.

BCEQ1612

解得r=9.

所以，當(dāng)f=9秒時(shí)，PQVBD.

15.（2021