【2021屆備考】2020全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(11月第三期)：G單元立體幾何

G單元立體幾何名目G單元立體幾何 1G1空間幾何體的結(jié)構(gòu) 2G2空間幾何體的三視圖和直觀圖 2G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線 2G4空間中的平行關(guān)系 2G5空間中的垂直關(guān)系 2G6三垂線定理 2G7棱柱與棱錐 2G8多面體與球 2G9空間向量及運(yùn)算 2G10空間向量解決線面位置關(guān)系 2G11空間角與距離的求法 2G12單元綜合 2G1空間幾何體的結(jié)構(gòu)【數(shù)學(xué)理卷·2021屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】11.已知四周體中,，，,平面PBC,則四周體的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的比A. B. C. D.（）【學(xué)問點(diǎn)】空間幾何體的結(jié)構(gòu)G1【答案解析】C設(shè)內(nèi)切球的半徑為r則=+++求出r.把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)三棱柱，依據(jù)勾股定理求出外接球的半徑R，然后求出內(nèi)切球半徑與外接球半徑的比為?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用分割法求出內(nèi)切球的半徑，依據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，再求出比值。G2空間幾何體的三視圖和直觀圖【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期其次次月考（202210）】5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）第5題A．B.C.D.第5題【學(xué)問點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．G2【答案解析】C解析：由三視圖可知該幾何體，是過一正三棱柱的上底面一邊作截面，截去的部分為三棱錐，而得到的幾何體．原正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，體積V1=Sh=×2=2．截去的三棱錐的高為1，體積V2=×1=故所求體積為V=V1﹣V2=，故選A．【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知該幾何體，是過一正三棱柱的上底面一邊作截面，截去的部分為三棱錐，利用間接法求出其體積．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆黑龍江省雙鴨山一中高三上學(xué)期期中考試（202211）】6.若某多面體的三視圖(單位：cm),如圖所示，其中正視圖與俯視圖均為等腰三角形，則此多面體的表面積是（）B.C.15D.【學(xué)問點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】B由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，側(cè)棱PC=4且PC⊥底面，底面是底邊為6、高為4的等腰三角形．在等腰三角形ABC中，CD⊥AB，CD=4，AB=6，∴AC=BC==5．

∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥BC，PC⊥CD．

∴S表面積=2××5×4+×6×4+×6×4=32+12．

故答案為B．【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，側(cè)棱PC=4且PC⊥底面，底面是底邊為6、高為4的等腰三角形．據(jù)此即可計(jì)算出答案．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】5．一個(gè)棱錐的三視圖如圖（單位為cm），則該棱錐的全面積是()A、4+2eq\r(6)B、4+eq\r(6)C、4+2eq\r(2)D、4+eq\r(2)【學(xué)問點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】A由三視圖可知：原幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，點(diǎn)O為邊AC的中點(diǎn)，且PO⊥底面ABC，OB⊥AC，PO=AC=OB=2．

可求得S△PAC=×2×2=2，S△ABC=×2×2=2．

∵PO⊥AC，∴在Rt△POA中，由勾股定理得PA==．

同理AB=BC=PC=PA=．由PO⊥底面ABC，得PO⊥OB，

在Rt△POB中，由勾股定理得PB==2．由于△PAB是一個(gè)腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，可求得底邊上的高h(yuǎn)==．

∴S△PAB=×2×=．同理S△PBC=．故該棱錐的全面積=2+2++=4+2．

故答案為4+2．【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知：原幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，點(diǎn)O為邊AC的中點(diǎn)，且PO⊥底面ABC，OB⊥AC，PO=AC=OB=2．據(jù)此可計(jì)算出該棱錐的全面積．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省師大附中高三上學(xué)期其次次月考（202210）word版】3、如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（） A、54B、27C、18D、9【學(xué)問點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．G2【答案解析】C解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)以正視圖為底面的四棱錐，∵底面長(zhǎng)和寬分別為3和6，∴其底面面積S=3×6=18，又∵棱錐的高h(yuǎn)=3，故該幾何體的體積V=Sh=×3×18=18．故選：C【思路點(diǎn)撥】由已知的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以正視圖為底面的四棱錐，分別求出底面面積和高，代入錐體體積公式，可得答案．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（202211）word版】3．一幾何體的三視圖如右圖所示，若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為1，則該幾何體外接球的表面積為（▲）。A．B．C．D．【學(xué)問點(diǎn)】三視圖，球體表面積G2，G8【答案解析】B解析：由三視圖可知，此幾何體是四棱錐，是由正方體下底面四個(gè)頂點(diǎn)和上底面一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成。此幾何體的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對(duì)角線是球的直徑，所以半徑R=，球的表面積。【思路點(diǎn)撥】由三視圖確定幾何體，應(yīng)先由三視圖分析原幾何體的特征（留意物體的位置的放置與三視圖的關(guān)系），再利用三視圖與原幾何體的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行解答.一般狀況下，錐體或柱體都可以通過長(zhǎng)方體和正方體取點(diǎn)得到?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】3.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的的值是（）A.2B.C.D.3【學(xué)問點(diǎn)】簡(jiǎn)潔空間圖形的三視圖．G2【答案解析】D解析：依據(jù)三視圖推斷幾何體為四棱錐，其直觀圖是：，．故選D．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)三視圖推斷幾何體為四棱錐，再利用體積公式求高x即可．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】9．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長(zhǎng)為4的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，若該幾何體的全部頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積是()．A．12πB．24πC．32πD．48π【學(xué)問點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】D由三視圖可知該幾何體是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4，

該幾何體的全部頂點(diǎn)在同一球面上，則球的直徑為×4=4，即球的半徑為2，所以該球的表面積是4π(2)2=48π．故選D．【思路點(diǎn)撥】該幾何體的直觀圖如圖所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為CC1=4，故可求結(jié)論．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期第三次模擬考試（202211）】7.某幾何體的三視圖如右圖所示，則其體積為()A．B.C．D．【學(xué)問點(diǎn)】幾何體的三視圖.G2【答案解析】B解析：由三視圖可知此幾何體是底面半徑1，高2的半圓錐，所以其體積為，故選B.【思路點(diǎn)撥】由幾何體的三視圖，分析此幾何體的結(jié)構(gòu)，從而求得此幾何體的體積.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省師大附中高三上學(xué)期其次次月考（202210）】5、如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是3336正視圖3336正視圖側(cè)視圖俯視圖C、18D、9【學(xué)問點(diǎn)】幾何體的三視圖.G2【答案解析】C解析：由三視圖知該幾何體是底面是長(zhǎng)6寬3的矩形，高3的四棱錐，所以此幾何體的體積為，故選C.【思路點(diǎn)撥】由三視圖得該幾何體的結(jié)構(gòu)，從而求得該幾何體的體積.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（202211）word版】2．一幾何體的三視圖如右圖所示，若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為1，則該幾何體外接球的表面積為（▲）。左視圖主視圖俯視圖（第2題圖）左視圖主視圖俯視圖（第2題圖）B．C．D．【學(xué)問點(diǎn)】三視圖，三棱錐外接球，球的表面積公式G2G8【答案解析】B解析：由三視圖可知其直觀圖為底面是正方形的側(cè)棱垂直底面的四棱錐，求其外接球半徑，可接受補(bǔ)圖成為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體的外接球的半徑，半徑為，所以外接球的表面積，故選擇B.【思路點(diǎn)撥】先由三視圖分析原幾何體的特征（留意物體的位置的放置與三視圖的關(guān)系），再利用三視圖與原幾何體的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，確定直觀圖，該幾何體的外接球接受補(bǔ)圖成為長(zhǎng)方體求解外接球半徑..【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為____________【學(xué)問點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．G2【答案解析】解析：由題意可知幾何體是底面是底面為2的等邊三角形，高為3的直三棱柱，所以幾何體的體積為：．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】通過三視圖復(fù)原的幾何體的外形，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積即可．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆云南省玉溪一中高三上學(xué)期期中考試（202210）】16、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積與其外接球面積之比為．【學(xué)問點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】由三視圖知，幾何體是一個(gè)組合體，是由兩個(gè)完全相同的四棱錐底面重合組成，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)是1的正方形，四棱錐的高是，斜高為，

這個(gè)幾何體的表面積為8××1×=2∴依據(jù)幾何體和球的對(duì)稱性知，幾何體的外接球的直徑是四棱錐底面的對(duì)角線是，

∴外接球的表面積是4×π（）2=2π則這個(gè)幾何體的表面積與其外接球面積之比為=故答案為：．【思路點(diǎn)撥】幾何體是一個(gè)組合體，是由兩個(gè)完全相同的四棱錐底面重合組成，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)是1的正方形，四棱錐的高是，依據(jù)求和幾何體的對(duì)稱性得到幾何體的外接球的直徑是，求出表面積及球的表面積即可得出比值．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆云南省玉溪一中高三上學(xué)期期中考試（202210）】9、一個(gè)棱錐的三視圖如右圖所示，則它的體積為（）A．B．C．1D．【學(xué)問點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】A由已知三視圖我們可得：棱錐以俯視圖為底面，以主視圖高為高，故h=1，

S底面=×（1+2）×1=，故V=S底面h=，故答案為：A【思路點(diǎn)撥】依據(jù)已知三視圖，我們結(jié)合棱錐的結(jié)構(gòu)特征易推斷出幾何體為四錐錐，結(jié)合三視圖中標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù),我們易求出棱錐的底面面積及棱錐的高，代入棱錐體積公式即可得到答案．G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線【數(shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（202211）word版】4．給定下列兩個(gè)關(guān)于異面直線的命題：那么（▲）。命題（1）：若平面上的直線與平面上的直線為異面直線，直線是與的交線，那么至多與中的一條相交；命題（2）：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線。A．命題（1）正確，命題（2）不正確B．命題（2）正確，命題（1）不正確C．兩個(gè)命題都正確D．兩個(gè)命題都不正確【學(xué)問點(diǎn)】空間直線與平面G3【答案解析】D解析：命題（1）中，至少與中的一條相交；命題（2）中的異面直線是存在的，所以兩個(gè)命題都不對(duì)?！舅悸伏c(diǎn)撥】生疏異面直線的畫法，理解異面直線的定義是求解此題的關(guān)鍵?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期第三次模擬考試（202211）】6．對(duì)于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l()A．平行B．相交C．垂直 D．互為異面直線【學(xué)問點(diǎn)】空間直線位置關(guān)系狀況分析.G3【答案解析】C解析：當(dāng)直線l與平面α相交時(shí)A不成立；當(dāng)直線l與平面α平行時(shí)B不成立；當(dāng)直線l在平面α內(nèi)時(shí)D不成立.故選D.【思路點(diǎn)撥】接受排解法確定結(jié)論.G4空間中的平行關(guān)系【數(shù)學(xué)理卷·2021屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】2.已知平面,則下列命題中正確的是() A．B．C．D．【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G4G5【答案解析】DA選項(xiàng)中b可能跟斜交，B選項(xiàng)中可能與垂直，C選項(xiàng)中a可能與b不垂直，故D選項(xiàng)正確，故選D.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)平面與直線的位置關(guān)系求結(jié)果?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省師大附中高三上學(xué)期其次次月考（202210）word版】18、（本小題滿分12分）如圖，四周體A-BCD中，AD⊥面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=，M是AD的中點(diǎn)，P是△BMD的外心，點(diǎn)Q在線段AC上，且。（Ⅰ）證明：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）若二面角C-BM-D的大小為60°，求四周體A-BCD的體積?！緦W(xué)問點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．G4G7【答案解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分別為BD、BM的中點(diǎn)∴OP∥DM，且OP=DM，結(jié)合M為AD中點(diǎn)得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四邊形OPQF是平行四邊形∴PQ∥OF∵PQ?平面BCD且OF?平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（Ⅱ）過點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH∵AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線∴CG⊥平面ABD，結(jié)合BM?平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH內(nèi)的相交直線∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°設(shè)∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=2sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG===∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°，∵BD=2，∴CD=，∴S△BCD==，∴VA﹣BCD==．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ．依據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合三角形的中位線定理證出四邊形OPQF是平行四邊形，從而PQ∥OF，再由線面平行判定定理，證出PQ∥平面BCD；（Ⅱ）過點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH．依據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．設(shè)∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG關(guān)于θ的表達(dá)式，最終在Rt△CHG中，依據(jù)正切的定義得出tan∠CHG，從而得到tanθ，由此可得∠BDC，進(jìn)而可求四周體A﹣BCD的體積．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（202211）word版】20．（本小題滿分15分）（第20題圖）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足。（第20題圖）（1）證明：；（2）若平面與平面所成的角為，試確定點(diǎn)的位置?！緦W(xué)問點(diǎn)】空間平行、垂直關(guān)系，以及線面所成的角G4,G5,G10【答案解析】（1）略。（2）點(diǎn)P在B1A1的延長(zhǎng)線上，且|A1P|＝eq\f(1,2)．證明：如圖，以AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz．則P（λ，0,1），N（eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0），M（0,1，eq\f(1,2)），（2分）從而＝（eq\f(1,2)－λ，eq\f(1,2)，－1），＝（0,1，eq\f(1,2)），（2分）＝（eq\f(1,2)－λ)×0＋eq\f(1,2)×1－1×eq\f(1,2)＝0，所以PN⊥AM;（3分）（2）平面ABC的一個(gè)法向量為n＝＝（0,0,1）．（1分）設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為m＝（x，y，z），由（1）得＝（λ，－1，eq\f(1,2)）．（2分）由（1分）解得．（1分）∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，∴|cos〈m，n〉|＝|eq\f(m·n,|m|·|n|)|＝eq\f(|2(1－λ)|,\r(9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2))＝eq\f(\r(2),2)，（1分）解得λ＝－eq\f(1,2)．故點(diǎn)P在B1A1的延長(zhǎng)線上，且|A1P|＝eq\f(1,2)．（2分）【思路點(diǎn)撥】立體幾何問題一般接受空間向量解比較簡(jiǎn)潔，首先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，要求PN⊥AM，只需求=0即可；對(duì)于面面角，就求出兩個(gè)面的法向量，依據(jù)這兩個(gè)法向量的夾角可以確定參數(shù)的值，從而求出P點(diǎn)的位置?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】20.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．PBECDFPBECDFA（Ⅱ）若,求二面角的余弦值．【學(xué)問點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．G4G5【答案解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．由于為的中點(diǎn)，所以．又，因此．由于平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．（7分）（Ⅱ）解法一：由于平面，平面，所以平面平面．P過作于，則平面，P過作于，連接，則為二面角的平面角，SFSFAADDOCEBOCEB在中，，，又是的中點(diǎn)，在中，，又，在中，，即所求二面角的余弦值為．（14分）解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以PBEPBECDFAyzx，所以．設(shè)平面的一法向量為，則因此取，則，由于，，，所以平面，故為平面的一法向量．又，所以．由于二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能證明AE⊥平面PAD，從而得到AE⊥PD．（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面,下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.若,,,則 B.若,,,則C.若,,則 D.若,,,則【學(xué)問點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．G4G5【答案解析】D解析：若,,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故A正確；若,,，則由直線與平面平行的判定定理得，故B正確；若,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故C正確；若,,，則m與n相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤．故選：D．【思路點(diǎn)撥】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆廣東省陽東一中、廣雅中學(xué)高三第一次聯(lián)考（202210）】18.（本小題滿分14分）B1C1A1BCD如圖，三棱柱ABC—A1B1C1B1C1A1BCD(1)求證：AB1//面BDC1；(2）求二面角C1—BD—C的余弦值；(3）在側(cè)棱AA1上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC1？并證明你的結(jié)論.【學(xué)問點(diǎn)】直線與平面平行；二面角；直線與平面垂直.G4,G5,G11【答案解析】略解析：解：（I）證明：連接B1C，與BC1相交于O，連接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中點(diǎn).又D是AC的中點(diǎn)，∴OD//AB1.………2分∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.………4分（II）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）……5分設(shè)=（x1，y1，z1）是面BDC1的一個(gè)法向量，則即.…………6分易知=(0，3，0)是面ABC的一個(gè)法向量..……………8分∴二面角C1—BD—C的余弦值為.…………9分（III）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.則∴方程組無解.∴假設(shè)不成立.∴側(cè)棱AA1上不存在點(diǎn)P，使CP⊥面BDC1.……………14分【思路點(diǎn)撥】由條件可證明直線與平面平行，再建立空間坐標(biāo)系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量進(jìn)行說明.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆吉林省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)（202211）】7．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是A．若,,則 B．若∥,,則∥C．若,,則 D．若,∥,∥,則【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G4G5【答案解析】D選項(xiàng)A，若α⊥β，m?α，n?β，則可能m⊥n，m∥n，或m，n異面，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若α∥β，m?α，n?β，則m∥n，或m，n異面，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，若m⊥n，m?α，n?β，則α與β可能相交，也可能平行，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正確．故選D【思路點(diǎn)撥】由α⊥β，m?α，n?β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n異面；由α∥β，m?α，n?β，可得m∥n，或m，n異面；由m⊥n，m?α，n?β，可得α與β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】21．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G4G5【答案解析】(1)略(2)略(3)略(1)由于平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD.(2)由于AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED為平行四邊形．所以BE∥AD.又由于BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)由于AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.又E，F(xiàn)分別是CD和CP的中點(diǎn)，所以EF∥PD，故CD⊥EF.CD?平面PCD，由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.【思路點(diǎn)撥】利用線線平行證明線面平行利用線面垂直證明面面垂直?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】3．設(shè)m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是()．A．m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥nC．m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βD．m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G4G5【答案解析】B對(duì)于A，若m∥α，n∥β且α∥β，說明m、n是分別在平行平面內(nèi)的直線，它們的位置關(guān)系應(yīng)當(dāng)是平行或異面，故A錯(cuò)；對(duì)于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m與n確定不平行，否則有α∥β，與已知α⊥β沖突，通過平移使得m與n相交，且設(shè)m與n確定的平面為γ，則γ與α和β的交線所成的角即為α與β所成的角，由于α⊥β，所以m與n所成的角為90°，故命題B正確．對(duì)于C，依據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可知m⊥α，n?β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正確；

對(duì)于D，若“m?α，n?α，m∥β，n∥β”，則“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故選B．【思路點(diǎn)撥】對(duì)于A、由面面平行的判定定理，得A是假命題對(duì)于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m與n不平行，借助于直線平移先得到一個(gè)與m或n都平行的平面，則所得平面與α、β都相交，依據(jù)m與n所成角與二面角平面角互補(bǔ)的結(jié)論．對(duì)于C、通過直線與平面平行的判定定理以及平面與平面平行的性質(zhì)定理，推斷正誤即可；對(duì)于D、利用平面與平面平行的判定定理推出結(jié)果即可．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期第三次模擬考試（202211）】19.（本題滿分12分）如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)D在邊BC上，AD⊥C1D.(1)求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2)設(shè)E是B1C1上的一點(diǎn)，當(dāng)eq\f(B1E,EC1)的值為多少時(shí)，A1E∥平面ADC1？請(qǐng)給出證明．【學(xué)問點(diǎn)】面面垂直的判定；線面平行的條件.G4G5【答案解析】(1)證明：見解析；（2）當(dāng)eq\f(B1E,EC1)的值為1時(shí)，A1E∥平面ADC1，證明：見解析.解析：（1）證明：在正三棱柱中，平面ABC,AD平面ABC,ADC,又AD,,平面,平面,平面.又平面,平面平面.(2)由（1）得，,在正三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)，當(dāng),即E為得中點(diǎn)時(shí)，平面.證明如下：（如圖）四邊形是矩形，且D,E分別是BC,的中點(diǎn)，所以又,,四邊形為平行四邊形，而平面,平面,故平面.【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)面面垂直的判定定理，只需在平面ADC1找到直線與平面BCC1B1垂直即可，此直線為AD；（2）由（1）得D是線段BC的中點(diǎn)，所以E為得中點(diǎn)時(shí)，有，進(jìn)而得A1E∥平面ADC1.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省師大附中高三上學(xué)期其次次月考（202210）】18、（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，AC=BC=1，∠ACB=,點(diǎn)D為AB中點(diǎn).求證：面；若,求二面角的平面角的大小.【學(xué)問點(diǎn)】線面平行的判定；二面角大小的求法.G4G11【答案解析】(1)證明：見解析；（2）.解析：(1)證明：連接與交于E，連接ED，則E為中點(diǎn)，又點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，則,3分而DE平面,平面,則有平面；6分(2)由于二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)，又由于，則平面，所以,則為二面角的平面角，9分在中，,故,即二面角的平面角大小為11分所以二面角的平面角的大小為.12分【思路點(diǎn)撥】(1)只需在平面內(nèi)找到直線與直線平行，為此連接與交于E，連接ED，證明即可；（2）由圖知二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)，所以先求二面角的平面角大小，可證為二面角的平面角，易求，所以所求二面角大小為.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（202211）word版】6．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面．下列命題中，正確的是（▲）。A．若與所成的角相等，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【學(xué)問點(diǎn)】空間中直線與平面的位置關(guān)系G4G5【答案解析】C解析：A.兩條直線的位置關(guān)系不能確定，所以錯(cuò)誤；B.與平面的關(guān)系都有可能，所以錯(cuò)誤；C.當(dāng)一條直線與一個(gè)平面垂直，與另一個(gè)平面平行時(shí)，則兩個(gè)平面垂直，所以正確；D.兩條直線分別于兩個(gè)平面平行，則兩條直線沒有關(guān)系，所以錯(cuò)誤；故選擇C.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)空間中平面與直線的位置關(guān)系，對(duì)錯(cuò)誤的結(jié)論能找到反例即可.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】20.(本小題滿分14分)）如圖，在三棱柱中，⊥底面，且△為正三角形，，為的中點(diǎn)．(1)求證:直線∥平面；(2)求證:平面⊥平面；(3)求三棱錐的體積．【學(xué)問點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．G4G5G7【答案解析】(1)見解析；(2)見解析；(3)9解析：（1）證明：連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．∵D為AC中點(diǎn)，得DO為中位線，∴．…………2分∴直線AB1∥平面BC1D………4分（2）證明：∵底面，∴……5分∵底面正三角形，D是AC的中點(diǎn)∴BD⊥AC………………6分∵，∴BD⊥平面ACC1A1……7分,…8分（3）由（2）知△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3∴==………………10分又是底面BCD上的高………………11分∴=??6=9………13分【思路點(diǎn)撥】（1）連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．可得DO為△AB1C中位線，A1B∥OD，結(jié)合線面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中線BD⊥AC，結(jié)合線面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最終由面面垂直的判定定理，證出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐C﹣BC1D的體積．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】4.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【學(xué)問點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．G4G5【答案解析】C解析：A：若，則l∥β或者l?β，所以A錯(cuò)誤．B：若，則或者，所以B錯(cuò)誤．C：依據(jù)線面垂直的定義可得：若，則是正確的，所以C正確．D：若，則或者l∥β或者l與β相交，所以D錯(cuò)誤．故選C．【思路點(diǎn)撥】A：由題意可得l∥β或者l?β．B：由題意可得：或者．C：依據(jù)線面垂直的定義可得：若，則是正確的，．D：若，則或者l∥β或者l與β相交．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆吉林省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)（202211）】6.關(guān)于直線，及平面α，β,下列命題中正確的是（）A.若l∥α，αβ=m，則l∥mB.若∥α，m∥α，則∥mC.若l⊥α，l∥β，則α⊥βD.若l∥α，m⊥l，則m⊥α【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G4G【答案解析】DA．若l∥α，α∩β=m，．則l，m平行或異面，只有l(wèi)?β，才有l(wèi)∥m．故A錯(cuò)；B．若l∥α，m∥α，則由線面平行的性質(zhì)可得l，m平行、相交、異面，故B錯(cuò)；

C．若l⊥α，l∥β，則由線面平行的性質(zhì)定理，l?γ，γ∩β=m，則l∥m，又l⊥α，故m⊥α，由面面垂直的判定定理得，α⊥β，故C正確；

D．若l∥α，m⊥l，則m與α平行、相交或在平面內(nèi)，故D錯(cuò)．故選C．【思路點(diǎn)撥】由線面平行的性質(zhì)定理可推斷A；又線面平行的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理即可推斷C；由線面平行的性質(zhì)定理可推斷B；由線面平行的性質(zhì)定理可推斷DG5空間中的垂直關(guān)系【數(shù)學(xué)（理）卷·2021屆重慶市重慶一中高三上學(xué)期其次次月考（202210）】19.（本題滿分13分）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．【學(xué)問點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．G5G11【答案解析】(1)見解析；(2)解析：(1)作BC的中點(diǎn)E，連接且，四邊形是平行四邊形，，則//面同理，面面面，面………6分(2)四邊形為正方形,,，由勾股定理可得：，，同理可得,以A為原點(diǎn)如圖建系。則設(shè)面的法向量為，則，令，則設(shè)面的法向量為，則則，令，則所以所以………13分【思路點(diǎn)撥】(1)取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，C1E，B1E，由已知得四邊形CEB1C1是平行四邊形，AEC1A1是平行四邊形，由此能證明AB1∥面A1C1C．(2)由已知得A1A=AB=AC=1，A1A⊥AB，A1A⊥AC，從而A1A⊥面ABC，以A為原點(diǎn)，以AC為x軸建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C﹣A1C1﹣B的余弦值的大?。緮?shù)學(xué)理卷·2021屆遼寧師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】9.已知點(diǎn)分別是正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段與上的點(diǎn)，則與平面垂直的直線有條。（）A．0B．1C．2【學(xué)問點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系G5【答案解析】B設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則D1（2，0，2），E（1，2，0），=（-1，2，-2），C1（0，0，2），F(xiàn)（2，2，1），=（2，2，-1），設(shè)，則M（2-λ，2λ，2-2λ），

設(shè)，則N（2t，2t，2-t），

∴=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t），

∵直線MN與平面ABCD垂直，∴，解得λ=t=，

∵方程組只有唯一的一組解，∴與平面ABCD垂直的直線MN有1條．故選：B．【思路點(diǎn)撥】設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1【數(shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（202211）word版】20．（本小題滿分15分）（第20題圖）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足。（第20題圖）（1）證明：；（2）若平面與平面所成的角為，試確定點(diǎn)的位置?！緦W(xué)問點(diǎn)】空間平行、垂直關(guān)系，以及線面所成的角G4,G5,G10【答案解析】（1）略。（2）點(diǎn)P在B1A1的延長(zhǎng)線上，且|A1P|＝eq\f(1,2)．證明：如圖，以AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz．則P（λ，0,1），N（eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0），M（0,1，eq\f(1,2)），（2分）從而＝（eq\f(1,2)－λ，eq\f(1,2)，－1），＝（0,1，eq\f(1,2)），（2分）＝（eq\f(1,2)－λ)×0＋eq\f(1,2)×1－1×eq\f(1,2)＝0，所以PN⊥AM;（3分）（2）平面ABC的一個(gè)法向量為n＝＝（0,0,1）．（1分）設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為m＝（x，y，z），由（1）得＝（λ，－1，eq\f(1,2)）．（2分）由（1分）解得．（1分）∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，∴|cos〈m，n〉|＝|eq\f(m·n,|m|·|n|)|＝eq\f(|2(1－λ)|,\r(9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2))＝eq\f(\r(2),2)，（1分）解得λ＝－eq\f(1,2)．故點(diǎn)P在B1A1的延長(zhǎng)線上，且|A1P|＝eq\f(1,2)．（2分）【思路點(diǎn)撥】立體幾何問題一般接受空間向量解比較簡(jiǎn)潔，首先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，要求PN⊥AM，只需求=0即可；對(duì)于面面角，就求出兩個(gè)面的法向量，依據(jù)這兩個(gè)法向量的夾角可以確定參數(shù)的值，從而求出P點(diǎn)的位置?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】20.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．PBECDFPBECDFA（Ⅱ）若,求二面角的余弦值．【學(xué)問點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．G4G5【答案解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．由于為的中點(diǎn)，所以．又，因此．由于平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．（7分）（Ⅱ）解法一：由于平面，平面，所以平面平面．P過作于，則平面，P過作于，連接，則為二面角的平面角，SFSFAADDOCEBOCEB在中，，，又是的中點(diǎn)，在中，，又，在中，，即所求二面角的余弦值為．（14分）解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以PBEPBECDFAyzx，所以．設(shè)平面的一法向量為，則因此取，則，由于，，，所以平面，故為平面的一法向量．又，所以．由于二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能證明AE⊥平面PAD，從而得到AE⊥PD．（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面,下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.若,,,則 B.若,,,則C.若,,則 D.若,,,則【學(xué)問點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．G4G5【答案解析】D解析：若,,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故A正確；若,,，則由直線與平面平行的判定定理得，故B正確；若,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故C正確；若,,，則m與n相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤．故選：D．【思路點(diǎn)撥】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆廣東省陽東一中、廣雅中學(xué)高三第一次聯(lián)考（202210）】18.（本小題滿分14分）B1C1A1BCD如圖，三棱柱ABC—A1B1C1B1C1A1BCD(1)求證：AB1//面BDC1；(2）求二面角C1—BD—C的余弦值；(3）在側(cè)棱AA1上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC1？并證明你的結(jié)論.【學(xué)問點(diǎn)】直線與平面平行；二面角；直線與平面垂直.G4,G5,G11【答案解析】略解析：解：（I）證明：連接B1C，與BC1相交于O，連接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中點(diǎn).又D是AC的中點(diǎn)，∴OD//AB1.………2分∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.………4分（II）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）……5分設(shè)=（x1，y1，z1）是面BDC1的一個(gè)法向量，則即.…………6分易知=(0，3，0)是面ABC的一個(gè)法向量..……………8分∴二面角C1—BD—C的余弦值為.…………9分（III）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.則∴方程組無解.∴假設(shè)不成立.∴側(cè)棱AA1上不存在點(diǎn)P，使CP⊥面BDC1.……………14分【思路點(diǎn)撥】由條件可證明直線與平面平行，再建立空間坐標(biāo)系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量進(jìn)行說明.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆吉林省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)（202211）】19．(本小題滿分12分)如圖在圓錐中，已知，⊙O的直徑,是弧ABPODC的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．ABPODC（Ⅰ）證明：平面平面;（Ⅱ）求二面角的余弦值．【學(xué)問點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系G5【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅰ）連接OC，∵OA=OC，D是AC的中點(diǎn)

∴AC⊥OD又∵PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O∴AC⊥PO

∵OD、PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線

∴AC⊥平面POD，而AC?平面PAC

∴平面POD⊥平面PAC

（Ⅱ）在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC所以O(shè)H⊥平面PAC，

又∵PA?平面PAC∴PA⊥HO

在平面PAO中，過O作OG⊥PA于G，連接GH，則有PA⊥平面OGH，從而PA⊥HG．故∠OGH為二面角B-PA-C的平面角,在Rt△ODA中，OD=OA?sin45°=在Rt△ODP中，OH===在Rt△OPA中，OG===在Rt△OGH中，sin∠OGH==所以cos∠OGH===故二面角B-PA-C的余弦值為【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）連接OC，先依據(jù)△AOC是等腰直角三角形證出中線OD⊥AC，再結(jié)合PO⊥AC證出AC⊥POD，利用平面與平面垂直的判定定理，可證出平面POD⊥平面PAC；

（Ⅱ）過O分別作OH⊥PD于H，OG⊥PA于G，再連接GH，依據(jù)三垂線定理證明∠OGH為二面角B-PA-C的平面角，最終分別在Rt△ODA、Rt△ODP、Rt△OGH中計(jì)算出OH、OG和sin∠OGH，最終求出所求二面角的余弦值．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆吉林省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)（202211）】7．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是A．若,,則 B．若∥,,則∥C．若,,則 D．若,∥,∥,則【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G4G5【答案解析】D選項(xiàng)A，若α⊥β，m?α，n?β，則可能m⊥n，m∥n，或m，n異面，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若α∥β，m?α，n?β，則m∥n，或m，n異面，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，若m⊥n，m?α，n?β，則α與β可能相交，也可能平行，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正確．故選D【思路點(diǎn)撥】由α⊥β，m?α，n?β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n異面；由α∥β，m?α，n?β，可得m∥n，或m，n異面；由m⊥n，m?α，n?β，可得α與β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期第三次模擬考試（202211）】19.（本題滿分12分）如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)D在邊BC上，AD⊥C1D.(1)求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2)設(shè)E是B1C1上的一點(diǎn)，當(dāng)eq\f(B1E,EC1)的值為多少時(shí)，A1E∥平面ADC1？請(qǐng)給出證明．【學(xué)問點(diǎn)】面面垂直的判定；線面平行的條件.G4G5【答案解析】(1)證明：見解析；（2）當(dāng)eq\f(B1E,EC1)的值為1時(shí)，A1E∥平面ADC1，證明：見解析.解析：（1）證明：在正三棱柱中，平面ABC,AD平面ABC,ADC,又AD,,平面,平面,平面.又平面,平面平面.(2)由（1）得，,在正三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)，當(dāng),即E為得中點(diǎn)時(shí)，平面.證明如下：（如圖）四邊形是矩形，且D,E分別是BC,的中點(diǎn)，所以又,,四邊形為平行四邊形，而平面,平面,故平面.【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)面面垂直的判定定理，只需在平面ADC1找到直線與平面BCC1B1垂直即可，此直線為AD；（2）由（1）得D是線段BC的中點(diǎn)，所以E為得中點(diǎn)時(shí)，有，進(jìn)而得A1E∥平面ADC1.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】20.(本小題滿分14分)）如圖，在三棱柱中，⊥底面，且△為正三角形，，為的中點(diǎn)．(1)求證:直線∥平面；(2)求證:平面⊥平面；(3)求三棱錐的體積．【學(xué)問點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．G4G5G7【答案解析】(1)見解析；(2)見解析；(3)9解析：（1）證明：連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．∵D為AC中點(diǎn)，得DO為中位線，∴．…………2分∴直線AB1∥平面BC1D………4分（2）證明：∵底面，∴……5分∵底面正三角形，D是AC的中點(diǎn)∴BD⊥AC………………6分∵，∴BD⊥平面ACC1A1……7分,…8分（3）由（2）知△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3∴==………………10分又是底面BCD上的高………………11分∴=??6=9………13分【思路點(diǎn)撥】（1）連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．可得DO為△AB1C中位線，A1B∥OD，結(jié)合線面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中線BD⊥AC，結(jié)合線面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最終由面面垂直的判定定理，證出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐C﹣BC1D的體積．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】4.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【學(xué)問點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．G4G5【答案解析】C解析：A：若，則l∥β或者l?β，所以A錯(cuò)誤．B：若，則或者，所以B錯(cuò)誤．C：依據(jù)線面垂直的定義可得：若，則是正確的，所以C正確．D：若，則或者l∥β或者l與β相交，所以D錯(cuò)誤．故選C．【思路點(diǎn)撥】A：由題意可得l∥β或者l?β．B：由題意可得：或者．C：依據(jù)線面垂直的定義可得：若，則是正確的，．D：若，則或者l∥β或者l與β相交．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆吉林省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)（202211）】19.（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面為菱形，其中，，為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若平面平面，且為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積．【學(xué)問點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系G5【答案解析】（1）略（2）1（1），為中點(diǎn)，連，在中，，，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，,,平面,平面平面.（2）連接,作于.,平面,平面平面ABCD,平面平面ABCD，,,.,又,.在菱形中，,方法一:,.．方法二:，,【思路點(diǎn)撥】利用線線垂直證明線面垂直，先求出面積利用體積公式求解?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆吉林省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)（202211）】6.關(guān)于直線，及平面α，β,下列命題中正確的是（）A.若l∥α，αβ=m，則l∥mB.若∥α，m∥α，則∥mC.若l⊥α，l∥β，則α⊥βD.若l∥α，m⊥l，則m⊥α【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G4G【答案解析】DA．若l∥α，α∩β=m，．則l，m平行或異面，只有l(wèi)?β，才有l(wèi)∥m．故A錯(cuò)；B．若l∥α，m∥α，則由線面平行的性質(zhì)可得l，m平行、相交、異面，故B錯(cuò)；

C．若l⊥α，l∥β，則由線面平行的性質(zhì)定理，l?γ，γ∩β=m，則l∥m，又l⊥α，故m⊥α，由面面垂直的判定定理得，α⊥β，故C正確；

D．若l∥α，m⊥l，則m與α平行、相交或在平面內(nèi)，故D錯(cuò)．故選C．【思路點(diǎn)撥】由線面平行的性質(zhì)定理可推斷A；又線面平行的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理即可推斷C；由線面平行的性質(zhì)定理可推斷B；由線面平行的性質(zhì)定理可推斷D【數(shù)學(xué)文卷·2021屆云南省玉溪一中高三上學(xué)期期中考試（202210）】19、（本小題滿分12分）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：BC1∥平面CA1D；(Ⅱ)若底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，BB1=，求三棱錐B1-A1DC的體積．【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G5G6【答案解析】(Ⅰ)略(Ⅱ)1(Ⅰ)連接AC1交A1C由于四邊形AA1C1C是矩形，則E為AC1的中點(diǎn)，ADBCC1A1B1又DE面CA1D，BCADBCC1A1B1（2）AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，AB⊥CD，又AA1⊥面ABC，CD面ABC，AA1⊥CD，AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD面CA1D，平面CA1D⊥平面AA1B1B(Ⅱ)解：,可證CD⊥面ABB1B，所以高就是CD=，BD=1，BB1=，所以A1D=B1D=A1B1=2,,【思路點(diǎn)撥】利用線線平行證明線面平行，利用等體積法求出高再求體積。G6三垂線定理【數(shù)學(xué)文卷·2021屆云南省玉溪一中高三上學(xué)期期中考試（202210）】19、（本小題滿分12分）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：BC1∥平面CA1D；(Ⅱ)若底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，BB1=，求三棱錐B1-A1DC的體積．【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G5G6【答案解析】(Ⅰ)略(Ⅱ)1(Ⅰ)連接AC1交A1C由于四邊形AA1C1C是矩形，則E為AC1的中點(diǎn)，ADBCC1A1B1又DE面CA1D，BCADBCC1A1B1（2）AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，AB⊥CD，又AA1⊥面ABC，CD面ABC，AA1⊥CD，AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD面CA1D，平面CA1D⊥平面AA1B1B(Ⅱ)解：,可證CD⊥面ABB1B，所以高就是CD=，BD=1，BB1=，所以A1D=B1D=A1B1=2,,【思路點(diǎn)撥】利用線線平行證明線面平行，利用等體積法求出高再求體積。G7棱柱與棱錐【數(shù)學(xué)理卷·2021屆黑龍江省雙鴨山一中高三上學(xué)期期中考試（202211）】11．三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，且,平面平面，則三棱錐的體積的最大值為（）A.4B.3C.D.【學(xué)問點(diǎn)】棱柱與棱錐G7【答案解析】B依據(jù)題意：半徑為2的球面上，且AB=BC=CA=2，

△ABC為截面為大圓上三角形，設(shè)圓形為O，AB的中點(diǎn)為N，ON═=1

∵平面PAB⊥平面ABC，

∴三棱錐P-ABC的體積的最大值時(shí)，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PB==，

∴三棱錐P-ABC的體積的最大值為××（2）2×=3，故選：B【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用題意推斷出三棱錐P-ABC的體積的最大值時(shí)，幾何體的性質(zhì)，在求解體積的值．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省師大附中高三上學(xué)期其次次月考（202210）word版】18、（本小題滿分12分）如圖，四周體A-BCD中，AD⊥面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=，M是AD的中點(diǎn)，P是△BMD的外心，點(diǎn)Q在線段AC上，且。（Ⅰ）證明：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）若二面角C-BM-D的大小為60°，求四周體A-BCD的體積?！緦W(xué)問點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．G4G7【答案解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分別為BD、BM的中點(diǎn)∴OP∥DM，且OP=DM，結(jié)合M為AD中點(diǎn)得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四邊形OPQF是平行四邊形∴PQ∥OF∵PQ?平面BCD且OF?平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（Ⅱ）過點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH∵AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線∴CG⊥平面ABD，結(jié)合BM?平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH內(nèi)的相交直線∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°設(shè)∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=2sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG===∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°，∵BD=2，∴CD=，∴S△BCD==，∴VA﹣BCD==．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ．依據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合三角形的中位線定理證出四邊形OPQF是平行四邊形，從而PQ∥OF，再由線面平行判定定理，證出PQ∥平面BCD；（Ⅱ）過點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH．依據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．設(shè)∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG關(guān)于θ的表達(dá)式，最終在Rt△CHG中，依據(jù)正切的定義得出tan∠CHG，從而得到tanθ，由此可得∠BDC，進(jìn)而可求四周體A﹣BCD的體積．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆浙江省溫州十校（溫州中學(xué)等）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】20.(本小題滿分14分)）如圖，在三棱柱中，⊥底面，且△為正三角形，，為的中點(diǎn)．(1)求證:直線∥平面；(2)求證:平面⊥平面；(3)求三棱錐的體積．【學(xué)問點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．G4G5G7【答案解析】(1)見解析；(2)見解析；(3)9解析：（1）證明：連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．∵D為AC中點(diǎn)，得DO為中位線，∴．…………2分∴直線AB1∥平面BC1D………4分（2）證明：∵底面，∴……5分∵底面正三角形，D是AC的中點(diǎn)∴BD⊥AC………………6分∵，∴BD⊥平面ACC1A1……7分,…8分（3）由（2）知△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3∴==………………10分又是底面BCD上的高………………11分∴=??6=9………13分【思路點(diǎn)撥】（1）連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．可得DO為△AB1C中位線，A1B∥OD，結(jié)合線面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中線BD⊥AC，結(jié)合線面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最終由面面垂直的判定定理，證出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐C﹣BC1D的體積．G8多面體與球G9空間向量及運(yùn)算【數(shù)學(xué)理卷·2021屆黑龍江省雙鴨山一中高三上學(xué)期期中考試（202211）】21.在四棱錐中，平面平面,,在銳角中,并且,（1）點(diǎn)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；（2）若與平面成角，當(dāng)面面時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【學(xué)問點(diǎn)】空