《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修2)教師用書：2.8空間幾何中的角度計(jì)算與距離計(jì)算-講義

第8課時(shí)空間幾何中的角度計(jì)算與距離計(jì)算1.利用直線與平面的平行和垂直的判定定理、性質(zhì)定理進(jìn)行一些空間幾何中的線面角和二面角的計(jì)算.2.空間幾何中有關(guān)的點(diǎn)面距離、空間幾何體的高和體積的計(jì)算.重點(diǎn):(1)簡(jiǎn)潔的線面角和二面角的計(jì)算;(2)會(huì)求一些空間幾何體的高及空間幾何體的體積.難點(diǎn):二面角的計(jì)算.前面我們了解了直線與平面所成的角、二面角的概念,那么在實(shí)際應(yīng)用中我們?nèi)绾斡?jì)算它們的角度呢?又有哪些方法技巧呢?我們?cè)诹私饩嚯x概念后,能否求出幾何體的高,進(jìn)一步求出空間幾何體的體積呢?今日我們將初步揭開它們的面紗,探尋解這類問(wèn)題的方法規(guī)律呢?問(wèn)題1:空間幾何體的角度和距離(1)空間幾何中有關(guān)角度的類型有:①線線角:主要指兩條異面直線所成角.②線面角:直線與平面所成角.

③二面角:從一條直線動(dòng)身的兩個(gè)半平面所成的圖形.

(2)空間幾何中有關(guān)距離的類型有:點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、兩平行線間的距離、兩異面直線間的距離(不要求把握)、直線與平面平行時(shí)的線面距離、兩平行平面之間的距離.這些距離問(wèn)題往往都會(huì)轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面、點(diǎn)線之間的距離來(lái)作解.

問(wèn)題2:求直線與平面所成角的基本思想和方法求直線和平面所成的角,幾何法一般先定斜足,再作垂線找射影,然后通過(guò)解直角三角形求解,可以簡(jiǎn)述為“作(作出線面角)→證(證所作為所求)→求(解直角三角形)”.通常,通過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段,垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.

問(wèn)題3:求二面角的基本思想和方法求二面角時(shí),關(guān)鍵是作出二面角的平面角,其常用作法有三種:(1)定義法:在二面角的棱上找一點(diǎn)(為了便于解決問(wèn)題,可結(jié)合圖形找某特殊的點(diǎn)),在兩個(gè)半平面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)分別作與棱垂直的射線.

(2)垂面法:過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面形成交線(實(shí)質(zhì)是射線),這兩條交線所成的角是二面角的平面角.

(3)垂線法:如圖,由一個(gè)半平面內(nèi)不在棱上的點(diǎn)A向另一個(gè)半平面作垂線AB,垂足為B,由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線BO,垂足為O,連接AO,易證∠AOB即為二面角的平面角.

問(wèn)題4:求空間中的點(diǎn)面距離的基本思想和方法空間中的距離問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離,故解決點(diǎn)面距離問(wèn)題是一切距離問(wèn)題的基礎(chǔ),通常有以下幾種方法求空間中的點(diǎn)面距離:(1)找出該點(diǎn)到平面的垂線段,再找到垂線段所在的三角形,然后解直角三角形求出垂線段的長(zhǎng)度,運(yùn)用這種方法求解關(guān)鍵在于垂足是否簡(jiǎn)潔找到及三角形是否易解.

(2)該點(diǎn)的垂線段不簡(jiǎn)潔查找時(shí),可以將該點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為其他點(diǎn)到相應(yīng)平面的距離.如:直線與平面平行時(shí),該直線上任意一點(diǎn)到平面的距離相等;兩平面平行時(shí),其中一個(gè)平面上的任意一點(diǎn)到另一平面的距離相等;線段被平面平分時(shí),線段兩端的點(diǎn)到平面的距離相等.

(3)體積法:依據(jù)體積公式,若求出該幾何體的體積和底面積,也就可以求出高,即點(diǎn)到平面的距離.

在平面內(nèi)的一條直線,假如和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直,這就是出名的三垂線定理,圖解如下:該定理是證明線面垂直的一種重要定理,值得留意的是,它的逆定理也是正確的,即假如平面內(nèi)一條直線和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直,那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影.1.已知A∈α,P?α,PA與平面α所成的角為60°,PA=4,則PA在平面α上的射影的長(zhǎng)度為().A.2B.2C.3D.4【解析】作PB⊥α,垂足為B,則PA在平面α上的射影為AB,且∠PAB=60°,所以AB=PA×cos60°=2.【答案】A2.已知平面ABC∩平面ABD=AB,直線m,n滿足:m⊥平面ABC,n⊥平面ABD,直線m,n所成的角為60°,則二面角C-AB-D的大小為().A.30° B.60°C.120° D.60°或120°【解析】?jī)蓚€(gè)半平面的垂線所成的角,與二面角相等或互補(bǔ),故選D.【答案】D3.在三棱錐A-BCD中,AD⊥底面BCD,BD⊥DC,AD=BD=DC=1,則點(diǎn)D到平面ABC的距離h=.

【解析】等體積法:VA-BCD=VD-ABC,所以AD×S△BCD=h×SΔABC.明顯△ABC為等邊三角形,邊長(zhǎng)為,則S△ABC=·()2=,又S△BCD=,代入解得h=.【答案】4.四周體ABCD中,已知棱AC=BC=,其余各棱長(zhǎng)都為1,求二面角A-CD-B的大小.【解析】由于AD=CD=1,AC=,所以AD2+CD2=AC2,所以AD⊥CD,同理可得BD⊥CD,所以∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.又由于AB=BD=AD=1,所以∠ADB=60°,所以二面角A-CD-B的大小為60°.求直線與平面所成的角如圖,二面角α-l-β的大小為45°,AB?α,BC?β,AB⊥l,BC⊥l,AB=,BC=1+.求直線AC與平面β所成角的大小.【方法指導(dǎo)】求直線與平面所成角的大小,關(guān)鍵是找到它們的平面角.【解析】作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D,由于AB⊥l,BC⊥l,AB∩BC=B,所以l⊥平面ABC,又AD?平面ABC,所以l⊥AD,且AD⊥BC,l∩BC=B,所以AD⊥β,所以∠ACD為直線AC與平面β所成的平面角,所以∠ABC為二面角α-l-β的平面角,所以∠ABC=45°,所以AD=BD=AB×sin45°=,所以CD=BC-BD=1,tan∠ACD==,所以∠ACD=60°.故直線AC與平面β所成角的大小為60°.【小結(jié)】通過(guò)斜線上的點(diǎn)作平面的垂線,找到直線與平面所成角的平面角,運(yùn)用解三角形求解.求二面角如圖,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于點(diǎn)D、E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.【方法指導(dǎo)】本題的關(guān)鍵是找出(或作出)二面角的平面角,可結(jié)合圖中的垂直關(guān)系,依據(jù)定義作出二面角的平面角.【解析】∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AC,SA⊥BC,SA⊥AB,SA⊥BD.∵ED垂直平分SC,∴SE=EC.∵SB=BC,∴SC⊥BE,∴SC⊥平面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥BD,∴BD⊥平面SAC,∴BD⊥AC,BD⊥DE,∴∠EDC是二面角E-BD-C的平面角.設(shè)SA=1,則SA=AB=1,而SA⊥AC,SA⊥BC,SA⊥AB,∴SB=BC=,SC=2,∴在Rt△SAC中,∠ECA=30°,∴∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小為60°.【小結(jié)】作為本題載體的三棱錐是一個(gè)格外重要的三棱錐,一般稱為“雙直三棱錐”,其特點(diǎn)是,SA⊥平面ABC,∠ABC=90°,對(duì)二面角的平面角的證明涉及了垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,因此它是我們需要嫻熟把握的一個(gè)幾何圖形.求點(diǎn)到直線的距離如圖,底面是正方形ABCD,PC⊥平面ABCD,E,F是AB,AD的中點(diǎn),AB=4,PC=3.(1)求證:EF⊥平面PCH;(2)求點(diǎn)B到平面PEF的距離.【方法指導(dǎo)】(1)依據(jù)EF垂直于平面PCH內(nèi)兩條相交直線易證;(2)本題中點(diǎn)B到平面PEF的距離不宜直接求,可以轉(zhuǎn)化為直線BD上其他的點(diǎn)到平面PEF的距離或用等體積法.【解析】(1)∵E,F是AB,AD的中點(diǎn),∴EF∥BD,且在正方形ABCD中,AC⊥BD,∴EF⊥HC.又∵PC⊥平面ABCD,EF?平面ABCD,∴EF⊥PC,HC∩PC=C,∴EF⊥平面PCH.(2)由(1)知EF∥BD,BD?平面PEF,∴BD∥平面PEF,設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O,則點(diǎn)B到平面PEF的距離等于點(diǎn)O到平面PEF的距離,作OG⊥PH交PH于點(diǎn)G,∵EF⊥平面PCH,OG?平面PCH,∴OG⊥EF,且PH∩EF=H,∴OG⊥平面PEF,∴點(diǎn)O到平面PEF的距離就是OG的長(zhǎng),由AB=4,PC=3易求得HC=3,OH=,PH=3.由△OGH∽△PCH得:OG===.∴點(diǎn)B到平面PEF的距離等于.【小結(jié)】對(duì)于不易查找到點(diǎn)到面的垂線段時(shí)的點(diǎn)面距離問(wèn)題,通常會(huì)等價(jià)地轉(zhuǎn)化成其他的點(diǎn)到平面的距離,即平移法,或者接受等體積法,依據(jù)題設(shè)合理選擇.在三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC與面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(1)求證:AB⊥BC;(2)若AC=4,求PB與平面ABC所成角的余弦值.【解析】(1)如圖所示,取AC中點(diǎn)D,連接BD,PD.∵PA=PC,∴PD⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,∴PD⊥平面ABC.∵PA=PB=PC,∴DA=DB=DC,∴AC為△ABC的外接圓直徑,∴AB⊥BC.(2)∵PD⊥平面ABC,∴∠PBD即為PB與平面ABC所成角的平面角,在Rt△ABC中,D是斜邊AC的中線,∴BD=AC=2,∴cos∠PBD==,即PB與平面ABC所成角的余弦值為.如圖,在四周體ABCD中,△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等,且AB=AC=,BC=2,求以BC為棱,以平面BCD和平面ABC為面的二面角的大小.【解析】取BC的中點(diǎn)E,連接AE、DE.∵AB=AC,∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△BCD,∴DB=DC,∴DE⊥BC,∴∠DEA為二面角A-BC-D的平面角.由△ABC≌△DBC可知,AB=AC=DB=DC=.又∵△ABD≌△BDC,∴AD=BC=2,在Rt△DEB中,DB=,BE=1,∴DE==,同理AE=.在△AED中,∵AE=DE=,AD=2,∴AD2=AE2+DE2,∴∠AED=90°,∴以BC為棱,以平面BCD和平面ABC為面的二面角的大小為90°.在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=AA1=2,E是AA1的中點(diǎn),連接C1E,求點(diǎn)B到平面B1C1E的距離.【解析】設(shè)點(diǎn)B到平面B1C1E的距離為h,A1B1的中點(diǎn)為F,連接C1F,由于AC=BC=2,所以A1C1=B1C1=2,所以C1F⊥A1B1,C1F=,又AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥C1F,且AA1∩A1B1=A1,所以C1F⊥平面AA1B1B,連接BE,則=,即h=·C1F·,由于AB=AA1=2,AC=BC=2,所以B1E=BE=,BB1=2,所以=×2×2=4,又由于B1E=,C1E==,B1C1=2,所以B1E2=C1E2+B1,所以C1E⊥B1C1,=C1E·B1C1=××2=,所以·h×=·×4,解得h=.所以點(diǎn)B到平面B1C1E的距離為h=.1.線段AB的長(zhǎng)等于它在平面α內(nèi)射影長(zhǎng)的2倍,則AB所在直線與平面α所成的角為().A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】由直角三角形的邊角關(guān)系,可知直線與平面α所成的角為60°.【答案】C2.已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6,BC=4,在CD上截取CE=4,將△BCE沿BE旋轉(zhuǎn)90°后如圖所示,記旋轉(zhuǎn)后的C的位置為C',則C'到AB的距離為().A.2 B.2 C.2 D.4【解析】取BE中點(diǎn)為F,C'E=C'B=4,所以C'F⊥BE,所以C'F⊥平面ABED,作C'G⊥AB,連接FG,易證FG⊥AB,所以FG=2,C'F=2,所以C'G=2.【答案】B3.三棱錐P-ABC,PA=PB=PC=,AB=10,BC=8,CA=6,則二面角P-AC-B的大小為.

【解析】易發(fā)覺底面ABC是直角三角形,PA=PB=PC,所以P在底面ABC的射影是△ABC的外心,即斜邊AB的中點(diǎn)D,作DE⊥AC,交AC于點(diǎn)E,則∠PED是所求二面角的平面角,求得DE=4,PE=8,cos∠PED=,所以∠PED=60°,即二面角P-AC-B的大小為60°.【答案】60°4.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,Q是PC中點(diǎn),AC,BD交于O點(diǎn).求二面角Q-BD-C的大小.【解析】連接QO,則QO∥PA且QO=PA=AB.∵PA⊥平面ABCD,∴QO⊥