2021高考數(shù)學(xué)專題輔導(dǎo)與訓(xùn)練配套練習(xí)：專題五-立體幾何

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D.異面但不垂直【解析】選C.在圖1中的等腰直角三角形ABC中,斜邊上的中線AD就是斜邊上的高,則AD⊥BC,翻折后如圖2,AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段BD,CD,這兩條線段與AD垂直且交于一點(diǎn),即AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩CD=D,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.6.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,全部棱的長(zhǎng)都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為()A.πa2 B.QUOTEπa2C.QUOTEπa2 D.5πa2【解析】選B.依據(jù)題意作圖如下(OB即為球的半徑R):由圖可知R2=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以S球=4πR2=QUOTEπa2.7.如圖,PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB,PC,PD,AC,BD,則下列垂直關(guān)系正確的是()①平面PAB⊥平面PBC; ②平面PAB⊥平面PAD;③平面PAB⊥平面PCD; ④平面PAB⊥平面PAC.A.①② B.①③ C.②③ D.②④【解析】選A.易證BC⊥平面PAB,則平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC,故AD⊥平面PAB,則平面PAD⊥平面PAB,因此選A.8.已知三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若x+y=4,則三棱錐體積的最大值是()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選B.由條件可知V三棱錐O-ABC=QUOTEOA·OB·OC=QUOTExy≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)x=y=2時(shí),取得最大值QUOTE.9.已知三邊長(zhǎng)分別為3,4,5的△ABC的外接圓恰好是球O的一個(gè)過球心的圓,P為球面上一點(diǎn),若點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,則三棱錐P-ABC的體積為()A.5 B.10 C.20 D.30【解析】選A.易知△ABC為直角三角形且點(diǎn)P在平面ABC上的射影為O,則OP=OA=OB=OC=R,又由于S△ABC=QUOTE|AB|·|AC|·sinA,由正弦定理可得sinA=QUOTE,故QUOTE|AB|·|AC|·sinA=QUOTE=6,解得R=QUOTE,故VP-ABC=QUOTES△ABC·R=5.10.(2022·溫州模擬)已知點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的表面上一動(dòng)點(diǎn),且滿足|PA|=2|PB|.設(shè)PD1與平面ABCD所成角為θ,則θA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.如圖,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P的軌跡為:以點(diǎn)Q為球心,以QUOTE為半徑的球與正方體表面的交線,即為如圖的弧段EMG,GSF,FNE,要使得PD1與底面ABCD所成角最大,則PD1與底面ABCD的交點(diǎn)R與點(diǎn)D的距離最短,從而點(diǎn)P在弧段ENF上,故點(diǎn)P在弧段ENF上,且在QD上.從而DP=QUOTE-QUOTE=2,從而tanθ最大值為1,故θ最大值為QUOTE.二、填空題(本大題共7小題,每小題4分,共28分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11.若正三棱錐的正(主)視圖與俯視圖如圖(單位:cm),則它的側(cè)(左)視圖的面積為cm2.【解析】由該正三棱錐的正(主)視圖和俯視圖可知,其側(cè)(左)視圖為一個(gè)三角形,它的底邊長(zhǎng)等于俯視圖的高即QUOTE,高等于正(主)視圖的高即QUOTE,所以側(cè)(左)視圖的面積為S=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE(cm2).答案:QUOTE12.在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PM的最小值為.【解析】如圖,由于PC⊥平面ABC,MC?平面ABC,所以PC⊥MC.故PM=QUOTE=QUOTE.又由于MC的最小值為QUOTE=2QUOTE,所以PM的最小值為2QUOTE.答案:2QUOTE13.(2022·寧波模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為.【解析】結(jié)合三視圖可知,該幾何體為底面邊長(zhǎng)為2、高為2的正三棱柱除去上面的一個(gè)高為1的三棱錐后剩下的部分,其直觀圖如圖所示,故該幾何體的體積為QUOTE×2×2sin60°×2-QUOTE×QUOTE×2×2sin60°×1=QUOTE.答案:QUOTE14.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上,若EF∥平面AB1C,則線段EF的長(zhǎng)度等于.【解析】由EF∥平面AB1C,EF?平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,知EF∥AC.所以由E是中點(diǎn)知EF=QUOTEAC=QUOTE.答案:QUOTE15.已知三棱錐P-ABC的各頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為R的球面上,球心O在AB上,PO⊥平面ABC,QUOTE=QUOTE,則三棱錐與球的體積之比為.【解析】依題意,AB=2R,又QUOTE=QUOTE,∠ACB=90°,因此AC=QUOTER,BC=R,VP-ABC=QUOTEPO·S△ABC=QUOTE×R×QUOTE=QUOTER3,而V球=QUOTER3,因此VP-ABC∶V球=QUOTER3∶QUOTER3=QUOTE∶8π.答案:QUOTE∶8π16.如圖,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,則△ABC,△PAC的邊所在的直線中,與PC垂直的直線有;與AP垂直的直線有.【解析】由于PC⊥平面ABC,所以PC垂直于直線AB,BC,AC;由于AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC,所以AB⊥AP.即與AP垂直的直線是AB.答案:AB,BC,ACAB17.對(duì)于四周體ABCD,給出下列四個(gè)命題:①若AB=AC,BD=CD,則BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,則BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,則BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD,則BC⊥AD.其中真命題的序號(hào)是(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上).【解析】本題考查四周體的性質(zhì),取BC的中點(diǎn)E,則BC⊥AE,BC⊥DE,AE∩DE=E,所以BC⊥平面ADE,所以BC⊥AD,故①正確.設(shè)O為A在面BCD上的射影,依題意OB⊥CD,OC⊥BD,所以O(shè)為垂心,所以O(shè)D⊥BC,所以BC⊥AD,故④正確,②③易排解,故答案為①④.答案:①④三、解答題(本大題共5小題,共72分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)18.(14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2QUOTE,∠PAB=60°.M是PD的中點(diǎn).(1)證明:PB∥平面MAC.(2)證明:平面PAB⊥平面ABCD.(3)求四棱錐P-ABCD的體積.【解析】(1)連接OM,由于M是PD中點(diǎn),矩形ABCD中O為BD中點(diǎn),所以O(shè)M∥PB.又OM平面MAC,PB平面MAC.所以PB∥平面MAC.(2)由題設(shè)知PA=2,AD=2,PD=2QUOTE,有PA2+AD2=PD2,所以AD⊥PA.在矩形ABCD中,AD⊥AB.又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.由于AD平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.(3)過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H.由于平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PH⊥平面ABCD.在Rt△PHA中,PH=PAsin60°=2×QUOTE=QUOTE,VP-ABCD=QUOTEAB×AD×PH=QUOTE×3×2×QUOTE=2QUOTE.19.(14分)(2022·龍巖模擬)如圖所示的平面四邊形ABCD中,△ABD是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,△BCD為正三角形,且BD=4,AC與BD交于點(diǎn)O(如圖甲).現(xiàn)沿BD將平面四邊形ABCD折成三棱錐A-BCD,使得折起后∠AOC=θ(0<θ<π)(如圖乙).(1)證明:不論θ在(0,π)內(nèi)為何值,均有AC⊥BD.(2)當(dāng)三棱錐A-BCD的體積為QUOTE時(shí),確定θ的大小.【解析】(1)易證△ABC≌△ADC,可知AC是等腰△ABD和等邊△BCD的角平分線,也是高,所以AO⊥BD,CO⊥BD.由于在平面圖形中,AO⊥BD,CO⊥BD,折起后這種關(guān)系不變,且AO∩CO=O,所以折起后BD⊥平面AOC,又AC平面AOC,故BD⊥AC,即不論θ在(0,π)內(nèi)為何值,均有AC⊥BD.(2)由(1)知BD⊥平面AOC,又BD平面BCD,所以平面AOC⊥平面BCD.過點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E,由于平面AOC∩平面BCD=OC,所以AE⊥平面BCD,即AE是三棱錐A-BCD的高,在Rt△AOE中,AE=AOsinθ=2sinθ,S△BCD=QUOTE×4×4×QUOTE=4QUOTE,故三棱錐A-BCD的體積為V=QUOTE×4QUOTE×2sinθ=QUOTEsinθ,當(dāng)三棱錐A-BCD的體積為QUOTE時(shí),sinθ=1,θ=QUOTE.20.(14分)(2022·諸暨模擬)如圖,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠DAB=90°,AD=3,BC=2,AB=QUOTE,E,F為AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),G,H分別為線段AB,BC的中點(diǎn),將△ABE沿直線BE翻折成△A1BE,使平面A1BE⊥平面BCDE.(1)求證:A1D∥平面FGH.(2)求直線A1D與平面A1BE所成角.(3)過點(diǎn)A1作平面α與線段BC交于點(diǎn)J,使得平面α垂直于BC,求CJ的長(zhǎng)度.【解析】(1)由已知得BC=2=ED且BC∥ED,故四邊形BCDE為平行四邊形,H,F為BC,ED的中點(diǎn),連接BD,設(shè)BD∩HF=O,則易知O為BD的中點(diǎn),連接GO,由G為A1B中點(diǎn),知OG∥A1D.又GO平面FGH,A1D平面FGH,故A1D∥平面FGH.(或證平面A1CD∥平面FGH,又A1D平面A1CD,故A1D∥平面FGH)(2)在平面BCD內(nèi)過點(diǎn)D作DM⊥BE,交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接A1M,由已知面A1BE⊥平面BCD,且BE為兩平面的交線,得DM⊥平面A1BE,則∠DA1M即為直線A1D與平面A在△DEM中,由DE=2,∠DEM=60°,知DM=QUOTE.在△A1EM中,A1E=1,EM=1,∠A1EM=120°,知A1M=QUOTE,從而tan∠DA1M=QUOTE=QUOTE=1,所以∠DA1M=QUOTE,即直線A1D與平面A1BE所成的角為QUOTE.(3)過A1作A1K⊥BE交BE于K,則由平面A1BE⊥平面BCDE可得A1K⊥平面BCDE,從而BC⊥A1K,過K作KM'⊥BC交BC于M',則BC⊥平面A1KM',由于過A1且與BC垂直的平面是唯一的,所以平面A1KM'即平面在Rt△A1BE中,BK=QUOTE,所以在Rt△BKJ中,BJ=QUOTEBK=QUOTE,所以CJ=QUOTE.21.(15分)(2022·慈溪模擬)如圖所示,平面四邊形PACB中,∠PAB為直角,△ABC為等邊三角形,現(xiàn)把△PAB沿著AB折起,使得平面APB與平面ABC垂直,且點(diǎn)M為AB的中點(diǎn).(1)求證:平面PAB⊥平面PCM.(2)若2PA=AB,求直線BC與平面PMC所成角的余弦值.【解析】(1)由于平面APB⊥平面ABC且交線為AB,又由于∠PAB為直角,所以PA⊥平面ABC,故AP⊥CM.又由于△ABC為等邊三角形,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),所以CM⊥AB.又由于PA∩AB=A,所以CM⊥平面PAB.又CM平面PCM,所以平面PAB⊥平面PCM.(2)假設(shè)PA=a,則AB=2a.方法一:(等體積法)VP-MBC=VB-PMC,QUOTEPA·S△MBC=QUOTEhB·S△PMC,而三角形PMC為直角三角形,故面積為QUOTEa2,故hB=QUOTEa.所以直線BC與平面PMC所成角的正弦值sinθ=QUOTE=QUOTE,所以余弦值為QUOTE.方法二:(向量坐標(biāo)法)以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn),以MB為x軸,以MC為y軸,過M且平行于AP的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=a,則M(0,0,0),P(-a,0,a),B(a,0,0),C(0,QUOT