【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(北師大版)選修2-3教案：第1章-新知導學：排列

排列排列部分的題目背景多是“數(shù)學問題”和“人和物的排列問題”，在學習本節(jié)內(nèi)容時，要擅長把題目中的文字語言翻譯成排列的相關術語，正確運用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理列式解決。本文對該學問點進行闡釋，供參考：一、重點學問講解1．排列的概念（1）排列的定義：一般地，從個不同元素中取出個元素，依據(jù)確定的挨次排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列。（2）說明：①推斷一個問題是否是排列問題，關鍵是看取出的元素是有序還是無序，只有與挨次有關的問題才是排列問題。②寫出某個問題的全部排列時，要借助于樹圖這個工具，做到“不重不漏”。③排列的定義包括兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按確定挨次排列”。④在定義中規(guī)定，假如，有的書中稱為選排列；假如，稱為全排列。⑤只有當元素完全相同，并且元素排列挨次也完全相同時，才是同一排列，其他狀況都不是同一排列。⑥排列是分步乘法計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理的深化與拓展。2．排列數(shù)公式（1）排列數(shù)的定義：從個不同元素中取出個元素的全部排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示。說明：“排列”和“排列數(shù)”是兩個不同的概念，一個排列是指“從個不同元素中取出個元素，依據(jù)不確定的挨次排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；排列數(shù)是指“從個不同元素中取出個元素的全部不同排列的個數(shù)”，它是一個數(shù)。（2）排列數(shù)公式：…，其中，且、，這個公式叫做排列數(shù)公式。說明：①排列數(shù)公式的推導過程是不完全歸納，并不是嚴格證明，要進行嚴格證明，可接受數(shù)學歸納法證明。②這個公式是在、，且狀況下成立，不成立。③該公式的特點是右邊的第一個因數(shù)是，后面的每一個因數(shù)都比它前面的因數(shù)少1，最終一個因數(shù)為，共有個因數(shù)相乘。3．全排列、階乘及排列數(shù)公式的階乘表示（1）全排列：個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列。即當時，…321，這個公式指出個不同元素全部取出的排列數(shù)，等于自然數(shù)1到的連乘積。（2）階乘：自然數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘，用表示，即。由此得到排列數(shù)公式為=，特殊留意：規(guī)定。（3）說明：①在一般狀況下，要計算含有數(shù)字的排列數(shù)的值，常用連乘積形式公式進行計算，而要對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形或作有關的論證，一般用階乘式表示。②是一種規(guī)定，不能按階乘的含義作解釋。4．排列問題（1）有關排列應用題的解題步驟①依據(jù)題意，推斷是否為排列問題，若與挨次有關則為排列問題，并進一步分清是否為全排列，防止重復與遺漏。②對問題進一步細化，確定特殊位置及特殊元素，適當選用直接法或排解法（間接法）。③利用排列數(shù)公式求值，并且做出明確的結(jié)論。說明：對于同一個問題，有時從特殊位置除法較簡潔，有時從特殊元素動身較簡潔，應機敏運用。通過排列應用題的解答，要深化對分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的生疏，具有“全局分類”和“局部分步”的意識。（2）解決排列應用題的常用方法方法名稱戰(zhàn)術方法適用范圍位置分析法以位置為主，先滿足特殊（受限）位置的要求，再處理其他位置，有兩個以上的約束條件，往往是考慮一個條件的同時要兼顧其他條件。元素在某一位置或不在某一位置；比某一數(shù)大或某一數(shù)小等問題。元素分析法以元素為主，先滿足特殊（受限）元素的要求，再處理其他元素，有兩個以上的約束條件，往往是考慮一個元素的同時要兼顧其他元素。同上捆綁法把要求在一起的“小集團”看為一個整體，與其他元素進行排列，同時不要遺忘小集團內(nèi)也要排列。含有“必需在一起”的問題。插空法先把沒有限制的元素排好，然后將不能相鄰的元素插入排好元素的空中，要留意無限制元素的排列數(shù)及所形成的空的個數(shù)。含有“不相鄰”的問題。排解法直接考慮時狀況較多，但其對立面狀況較少，相對來講比直接解答簡捷，可先考慮逆向思考問題，然后用總狀況減去即可，在此方法中，對立面問題要“不重不漏”。含有“至少”、“至多”等的問題。說明：各種方法之間相互聯(lián)系，在解決問題時可以獨立應用，也可混合應用，應用時不要過于死板。二、實際應用舉例例1（1）若，則；（2）若，則。分析：利用排列數(shù)公式將方程、不等式轉(zhuǎn)化為關于的代數(shù)方程、不等式進行求解。解析：（1）原不等式即，其中，即，∴，∴，解得或，又，，∴，，故2，3，4，5，6，7。（2）∵原式左邊，∴，即，∴，或（舍去），由于，從而適合題意。評注：有關以排列數(shù)等公式形式給出的方程、不等式，應依據(jù)有關公式轉(zhuǎn)化為一般方程、不等式，再求解。但應留意其中的字母都是滿足確定限制條件的自然數(shù)，不要忽視這一點。例2從數(shù)字0，1，3，5，7中取出不同的三個數(shù)作系數(shù)，可以組成多少個不同的一元二次方程？其中有實根的方程有多少個？分析：題目有兩問：第一問隱蔽的限制條件是，其次問的限制條件等價于，即受不等式的制約，需分類爭辯。解析：先考慮組成一元二次方程的問題：首先確定，只能從1，3，5，7中選一個，有種，然后從余下的4個數(shù)中任選兩個做、，有種，故由分步乘法計數(shù)原理知，組成一元二次方程共有（個）。方程有實根，必需滿足，分類爭辯如下：當時，、可在1，3，5，7中任取兩個排列，有個；當時，分析判別式知，只能取5，7。當取5時，，只能取1，3這兩個數(shù)，有種；當取7時，，可取1，3或1，5這兩組數(shù)，有2種。此時共有（+2）個。由分類加法計數(shù)原理知，有實根的一元二次方程共有++2=18個。評注：該例的限制條件較隱蔽，需認真分析。一元二次方程中需要考慮到，而對有實根的一元二次方程，需有。這里有兩層意思：一是不能為0；二是要保證，所以需先對能否取0進行分類爭辯。實際問題中，既要能觀看出是排列問題，又要能搞清哪些是特殊元素，還要依據(jù)問題進行合理分類、分步，選擇合適的解法。例33名女生和5名男生排成一排。（1）假如女生必需全排在一起，可有多少種不同的排法？（2）假如女生必需全分開，可有多少種不同的排法？（3）假如兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（4）假如兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？分析：用捆綁法解決（1）；用插空法解決（2）；特殊元素為女生，特殊位置為兩端，因此可以用位置分析法或元素分析法，也可用間接法處理（3）；當首位為女生或男生兩種狀況，用分類加法計數(shù)原理解決（4），也可用全部的狀況中扣除兩端都為女生的狀況解決（4）。解決：（1）（捆綁法）由于3名女生必需排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同5個男生合在一起共有6個元素，排成一排有種不同的排法。對于其中的每一種排法，3名女生之間又都有種不同的排法，因此共有種不同的排法。（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把5名男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔，這樣共有4個空檔，加上兩男生外側(cè)的兩位置，共有6個位置，再把3名女生插入這6個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰，由于5名男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述6個位置中選出三個來讓3名女生插入都有種方法，因此共有=14400種不同的排法。（3）方法1（位置分析法）：由于兩端都不能排女生，所以兩端只能選擇5名男生中的2名，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不同的排法。方法2（元素分析法）：從中間6個位置中選擇出3個來讓3名女生排入，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余5個位置又都有種不同的排法，所以共有=14400種不同的排法。方法3（間接法）3名女生和5名男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法被多扣除一次，所以還需要加回來一次，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有=14400種不同的排法。（4）方法1：該問題可分為兩類：第一類：當首位是男