【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第2章-第9節(jié)-函數(shù)模型及其應(yīng)用

其次章第九節(jié)一、選擇題1．若一根蠟燭長20cm，點(diǎn)燃后每小時燃燒5cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系用圖像表示為()[答案]B[解析]依據(jù)題意得解析式為h＝20－5t(0≤t≤4)，其圖像為B．2．某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()A．100臺 B．120臺C．150臺 D．180臺[答案]C[解析]設(shè)利潤為f(x)(萬元)，則f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000≥0，又∵x∈N*，∴x≥150.3．(文)(教材改編題)等邊三角形的邊長為x，面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為()A．y＝x2 B．y＝eq\f(1,2)x2C．y＝eq\f(\r(3),2)x2 D．y＝eq\f(\r(3),4)x2[答案]D[解析]y＝eq\f(1,2)·x·x·sin60°＝eq\f(\r(3),4)x2.(理)2010年7月1日某人到銀行存入一年期款a元，若年利率為x，按復(fù)利計算，則到2021年7月1日可取款()A．a(chǎn)(1＋x)5元 B．a(chǎn)(1＋x)6元C．a(chǎn)＋(1＋x)5元 D．a(chǎn)(1＋x5)元[答案]A[解析]由于年利率按復(fù)利計算，一年后可取回a(1＋x)元，二年后可取回a(1＋x)2元，…，所以到2021年7月1日可取款a(1＋x)5.4．某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時間t(分鐘)與打出電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費(fèi)相差()A．10元 B．20元C．30元 D．eq\f(40,3)元[答案]A[解析]設(shè)A種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為S＝k1t＋20，B種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為S＝k2t，當(dāng)t＝100時，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150時，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10.5．(文)(原創(chuàng)題)《走向高考》系數(shù)叢書2021年的銷量比2021的銷量增長44%，若每年的平均增長率相同(設(shè)為x)，則以下結(jié)論正確的是()A．x>22%B．x<22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的銷量確定[答案]B[解析](1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2<0.22.故選B．(理)某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為()A．45.606 B．45.6C．45.56 D．45.51[答案]B[解析]依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，∴總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．∴當(dāng)x＝10時，Smax＝45.6(萬元)．6．我們知道，煙酒對人的健康有危害作用，從而我國加強(qiáng)對煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，除了應(yīng)征稅收外，還征收附加稅，已知某種酒每瓶售價為70元，不收附加稅時，每年大約銷售100萬瓶；若每銷售100元國家要征附加稅x元(叫作稅率x%)，則每年銷售量將削減10x萬瓶，假如要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收取的附加稅額不少于112萬元，則x的最小值為()A．2 B．6C．8 D．10[答案]A[解析]依題意有：(100－10x)×70×eq\f(x,100)≥112，∴2≤x≤8.二、填空題7．某出租車公司規(guī)定“打的”收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米以內(nèi)為起步價8元(即行程不超過3千米，一律收費(fèi)8元)，若超過3千米除起步價外，超過部分再按1.5元/千米收費(fèi)計價，若某乘客再與司機(jī)商定按四舍五入以元計費(fèi)不找零錢，該乘客下車時乘車?yán)锍虜?shù)為7.4，則乘客應(yīng)付的車費(fèi)是________元．[答案]15[解析]車費(fèi)為8＋(7.4－3)×1.5＝14.6≈15(元)．8．(2022·東三校聯(lián)考)為了保證信息平安，傳輸必需使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：明文eq\o(→,\s\up7(加密))密文eq\o(→,\s\up7(發(fā)送))密文eq\o(→,\s\up7(解密))明文已知加密為y＝ax－2(x為明文，y為密文)，假如明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________．[答案]4[解析]依題意y＝ax－2中，當(dāng)x＝3時，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密為y＝2x－2，因此，當(dāng)y＝14時，由14＝2x－2，解得x＝4.9．某商家一月份至五月份累計銷售額達(dá)3860萬元，猜想六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬元，則x的最小值是________．[答案]20[解析]由題意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化簡得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．∴x≥20，即x的最小值為20.三、解答題10．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)萬元，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(萬元)；當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(萬元)．通過市場分析，若每件售價為500元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)該商品能全部銷售完．(1)寫出年利潤L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？[解析](1)當(dāng)0<x<80，x∈N＋時，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；當(dāng)x≥80，x∈N＋時，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－51x－eq\f(10000,x)＋1450－250＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，∴L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋40x－2500<x<80，x∈N＋，,1200－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))x≥80，x∈N＋.))(2)當(dāng)0<x<80，x∈N＋時，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950，∴當(dāng)x＝60時，L(x)取得最大值L(60)＝950.當(dāng)x≥80，x∈N＋時，L(x)＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤1200－2eq\r(x·\f(10000,x))＝1200－200＝1000，∴當(dāng)x＝eq\f(10000,x)，即x＝100時，L(x)取得最大值L(100)＝1000>950.綜上所述，當(dāng)x＝100時，L(x)取得最大值1000，即年產(chǎn)量為100千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大.一、選擇題1．某廠有很多外形為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應(yīng)為()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14[答案]A[解析]由三角形相像得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，∴S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，∴當(dāng)y＝12時，S有最大值，此時x＝15.2．對函數(shù)f(x)＝3x2＋ax＋b作代換x＝g(t)，則總不轉(zhuǎn)變f(x)值域的代換是()A．g(t)＝logeq\f(1,2)t B．g(t)＝(eq\f(1,2))tC．g(t)＝(t－1)2 D．g(t)＝cost[答案]A[解析]只有A中函數(shù)的值域與f(x)中x的取值范圍全都，即R，所以只有A中函數(shù)代換后f(x)值域不變．二、填空題3．司機(jī)酒后駕駛危害他人的平安，一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量快速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度削減，為了保障交通平安，某地依據(jù)《道路交通平安法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過________h，才能開車？(精確到1h)[答案]5[解析]設(shè)xh后，血液中的酒精含量不超過0.09mg/mL，則有0.3·(eq\f(3,4))x≤0.09，即(eq\f(3,4))x≤0.3，估算或取對數(shù)計算得5h后可以開車．4．里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．[答案]610000[解析]本題考查應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的力氣．(1)M＝lg1000－lg0.001＝3＋3＝6.(2)設(shè)9級、5級地震最大振幅分別為A9，A5，則9＝lgA9－lgA0,5＝lgA5－lgA0，兩式相減得4＝lgA9－lgA5＝lgeq\f(A9,A5)，即eq\f(A9,A5)＝104，所以9級地震最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍．三、解答題5.據(jù)氣象中心觀看和猜想：發(fā)生于M地的沙塵暴始終向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖像如圖所示，過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)．(1)當(dāng)t＝4時，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試推斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，假如會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？假如不會，請說明理由．[分析]認(rèn)真審題，精確?????理解題意，建立函數(shù)關(guān)系．[解析](1)由圖像可知，當(dāng)t＝4時，v＝3×4＝12，∴s＝eq\f(1,2)×4×12＝24(km)．(2)當(dāng)0≤t≤10時，s＝eq\f(1,2)·t·3t＝eq\f(3,2)t2，當(dāng)10<t≤20時，s＝eq\f(1,2)×10×30＋30(t－10)＝30t－150；當(dāng)20<t≤35時，s＝eq\f(1,2)×10×30＋10×30＋(t－20)×30－eq\f(1,2)×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.綜上可知s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)t2，t∈[0，10]，,30t－150，t∈10，20]，,－t2＋70t－550，t∈20，35].))(3)∵t∈[0,10]時，smax＝eq\f(3,2)×102＝150<650.t∈(10,20]時，smax＝30×20－150＝450<650.∴當(dāng)t∈(20,35]時，令－t2＋70t－550＝650.解得t1＝30，t2＝40，∵20<t≤35，∴t＝30，所以沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城．6．現(xiàn)有某種細(xì)胞100個，其中有占總數(shù)eq\f(1,2)的細(xì)胞每小時分裂一次．即由1個細(xì)胞分裂成2個細(xì)胞，按這種規(guī)律進(jìn)展下去，經(jīng)過多少小時，細(xì)胞總數(shù)可以超過1010？(精確到小時)(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.477，lg2≈0.301)[解析]現(xiàn)有細(xì)胞100個，先考慮經(jīng)過1、2、3、4個小時后的細(xì)胞總數(shù)，1小時后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×100＋eq\f(1,2)×100×2＝eq\f(3,2)×100；2小時后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100×2＝eq\f(9,4)×100；3小時后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100×2＝eq\f(27,8)×100；4小時后，細(xì)胞總數(shù)為e