【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修四導(dǎo)學(xué)案：《周期現(xiàn)象與角的概念的推廣》

第1課時周期現(xiàn)象與角的概念的推廣1.通過實例使同學(xué)感受自然界存在著豐富的周期現(xiàn)象,使同學(xué)經(jīng)受數(shù)據(jù)分析以及觀看散點圖特征的學(xué)習(xí)過程,領(lǐng)悟、思考周期現(xiàn)象.2.觀看實例,理解角的概念推廣的必要性,理解并把握正角、負角、零角、象限角、終邊相同的角的概念及表示方法.通過類比正、負數(shù)的規(guī)定,生疏正角、負角并體會類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運用.今日是星期一,7天后是星期幾?21天后是星期幾?86天后是星期幾?問題1:在現(xiàn)實生活中,具有周期現(xiàn)象的實例:海水的潮汐、候鳥的遷徙、四季變化、鐘擺運動、一星期的往復(fù)、物理中的簡諧振動、地球繞太陽公轉(zhuǎn)等.問題2:什么是角?角有哪些元素?怎樣區(qū)分不同旋轉(zhuǎn)方向所成的角?平面內(nèi)一條射線圍著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫作角;旋轉(zhuǎn)開頭時的射線叫作角的邊,旋轉(zhuǎn)終止時的射線叫作角的邊,射線的端點叫作角的頂點.

為了表示不同旋轉(zhuǎn)方向所形成的角,可以把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作,把沒有旋轉(zhuǎn)的射線也看成一個角,叫作.

問題3:什么是象限角?各象限角怎么表示?軸線角怎么表示?當(dāng)角的頂點與坐標(biāo)原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,那么角的終邊(除端點外)在第幾象限,就說這個角是.

第一象限角的集合為;

其次象限角的集合為;

第三象限角的集合為;

第四象限角的集合為.

終邊落在x軸上,角的集合為{x|x=k·180°,k∈Z},終邊落在y軸上,角的集合為{x|x=k·180°+90°,k∈Z},所以終邊落在坐標(biāo)軸上,角的集合為.

問題4:終邊相同的角一般地,全部與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S=,即任何一個與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與的和.

(1)終邊相同角的前提條件:角的頂點在坐標(biāo)原點,角的始邊與x軸的重合.

(2)對于終邊相同的角應(yīng)留意以下兩點:①k是;②α是.

(3)k·360°與α之間是“+”號,如k·360°-30°可看成.(k∈Z)

(4)終邊相同的角相等,但相等的角的終邊相同,終邊相同的角有很多多個,它們相差360°的倍.

(5)一般地,終邊相同的角的表達形式.

1.經(jīng)過一個小時,手表上的時針旋轉(zhuǎn)了().A.30°B.-30°C.15°D.-15°2.下列自然現(xiàn)象:月亮東升西落,氣候的冷暖,晝夜變化,火山爆發(fā).其中是周期現(xiàn)象的有().A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.角-950°12'的終邊(除端點外)在第象限.

4.寫出與70°角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來.周期現(xiàn)象的簡潔應(yīng)用假如今日是星期一,那么從明天算起,第100天是星期().A.二 B.三 C.四 D.五終邊相同的角在0°~360°之間,求出與下列各角終邊相同的角,并推斷下列各角是第幾象限角.(1)825°17';(2)-1046°.依據(jù)已知角的范圍求等分角的范圍若α是第一象限角,則α3可能是第幾象限角游樂場中的摩天輪有10個座艙,每個座艙最多乘4人,每30min轉(zhuǎn)一圈,請估算16h內(nèi)最多有多少人乘坐.(1)寫出與25°角終邊相同的角的集合;(2)在(1)的集合中,將適合不等式-1080°<α<360°的元素α求出.已知角α∈(0°,360°),且6α與240°角的終邊相同,求α的全部可能取值.1.下列哪個不是周期現(xiàn)象().A.掛在彈簧下方作上下振動的小球 B.鐘表秒針的運動C.每七天消滅一個星期一 D.拋一枚骰子,向上的數(shù)字是奇數(shù)2.在直角坐標(biāo)系中,終邊在∠xOy及其對頂角的平分線上的角的集合為.

3.若將時鐘撥慢5分鐘,則分針轉(zhuǎn)了度;時針轉(zhuǎn)了度.

4.寫出與-75°角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來.如圖,點A在半徑為1且圓心在原點的圓上,且∠AOx=45°,點P從A點動身,按逆時針方向等速地沿單位圓旋轉(zhuǎn).已知P在1s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為θ(0°<θ<180°),經(jīng)過2s到達第三象限,經(jīng)過14s后又回到動身點A,求θ的值.考題變式(我來改編):第一章解三角形第1課時周期現(xiàn)象與角的概念的推廣學(xué)問體系梳理問題2:始終正角負角零角問題3:第幾象限角{x|k·360°<x<k·360°+90°,k∈Z}{x|k·360°+90°<x<k·360°+180°,k∈Z}{x|k·360°+180°<x<k·360°+270°,k∈Z}{x|k·360°+270°<x<k·360°+360°,k∈Z}{x|x=k·90°,k∈Z}問題4:{β|β=α+k·360°,k∈Z}周角的整數(shù)倍(1)非負半軸(2)①任意整數(shù)②任意角(3)k·360°+(-30°)(4)不肯定肯定整數(shù)(5)不唯一基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.B由于手表一圈所成的角度是360°,表盤上有十二個刻度,故相鄰兩個刻度之間是360°12=30°,又規(guī)定順時針方向的角為負角,故旋轉(zhuǎn)了-2.B月亮東升西落、晝夜變化是周期現(xiàn)象,氣候的冷暖、火山爆發(fā)不是周期現(xiàn)象.3.二∵-950°12'=-3×360°+129°48',∴129°48'的角的終邊和-950°12'的角的終邊相同,它是其次象限角.4.解:S={β|β=70°+k·360°,k∈Z},S中適合-360°≤β<270°的元素有:70°-1×360°=-290°,70°+0×360°=70°,70°+1×360°=430°.重點難點探究探究一:【解析】由于每周有七天,從星期一到星期日,周而復(fù)始,故這是一個周期現(xiàn)象,周期為7.今日是星期一,明天是星期二,因此從明天算起,第7k(k∈N+)天是星期一,由于100=7×14+2,因此第100天是星期三.【答案】B【小結(jié)】星期的往復(fù)是周期現(xiàn)象,計算時關(guān)鍵看經(jīng)受了幾個周期,且是一個周期后的第幾天.探究二:【解析】(1)825°17'=2×360°+105°17',由于105°17'是其次象限角,且105°17'與825°17'角是終邊相同的角,故825°17'是其次象限角.(2)-1046°=-3×360°+34°,由于34°是第一象限角,且34°與-1046°角是終邊相同的角,故-1046°是第一象限角.【小結(jié)】終邊相同的角所在的象限是相同的,故在推斷各角是第幾象限角時,先應(yīng)用終邊相同的角的公式將角表示為k·360°+α(k∈Z),α∈[0°,360°),再推斷.探究三:【解析】(法一)∵α是第一象限角,∴k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,∴k3·360°<α3<k3·360°+30°,k當(dāng)k=3n時,有n·360°<α3<n·360°+30°,k∈Z,∴α3當(dāng)k=3n+1時,n·360°+120°<α3<n·360°+150°,k∈Z,∴α3當(dāng)k=3n+2時,n·360°+240°<α3<n·360°+270°,k∈Z,∴α3綜上可知,α3可能是第一、二、三象限角(法二)如圖,將平面坐標(biāo)系的各個象限都三等分,從x軸正半軸逆時針方向依次沿每個區(qū)域循環(huán)標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,則數(shù)字1所在的區(qū)域就是α3角所在的區(qū)域,所以α3【小結(jié)】將k分為3n,3n+1,3n+2三種狀況分別推斷之.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:每一周期最多乘坐4×10=40(人),16h共有32個周期,因而16h內(nèi)最多有40×32=1280(人)乘坐.應(yīng)用二:(1)與25°角終邊相同的角的集合是A={α|α=k·360°+25°,k∈Z}.(2)在A中適合-1080°<α<360°的元素:取k=-3,-3×360°+25°=-1055°;取k=-2,-2×360°+25°=-695°;取k=-1,-1×360°+25°=-335°;取k=0,0×360°+25°=25°.故A中滿足不等式-1080°<α<360°的元素有-1055°,-695°,-335°,25°.應(yīng)用三:由于6α與240°角的終邊相同,所以6α=k·360°+240°(k∈Z),所以α=k·60°+40°(k∈Z),又由于α∈(0°,360°),所以0°<k·60°+40°<360°,解得-23<k<16所以k的可能取值為0,1,2,3,4,5,所以對應(yīng)的角α的全部可能取值為40°,100°,160°,220°,280°,340°.基礎(chǔ)智能檢測1.DA、B、C所述都是周期現(xiàn)象,而D中“向上的數(shù)字是奇數(shù)”不是周期現(xiàn)象.2.α|α=45°+k·180°,k∈Z終邊落在∠xOy平分線上的角的集合為α|α=45°3.302.5將時鐘撥慢了5分鐘,分針、時針都是按逆時針方向轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)過的是正角.這時,分針轉(zhuǎn)過的角度是360°12=30°;時針轉(zhuǎn)過的角度是30°12=4.解:S={β|β=-75°+k·360°,k∈Z},S中適合-360°≤β<720°的