【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版選修2-1)課時作業(yè)-2.1.2求曲線的方程

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(十)求曲線的方程(30分鐘50分)一、選擇題(每小題3分,共18分)1.已知動點P到點(1,-2)的距離為3,則動點P的軌跡方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3【解析】選B.設(shè)P(x,y),由題設(shè)得(x-1所以(x-1)2+(y+2)2=9.2.已知等腰三角形ABC底邊兩端點是A(-3,0),B(3,0),頂點C的軌跡是()A.一條直線 B.一條直線去掉一點C.一個點 D.兩個點【解析】選B.到兩定點距離相等的點的軌跡為兩點連線的垂直平分線.留意當(dāng)點C與A,B共線時,不符合題意,應(yīng)去掉.3.(2022·臨沂高二檢測)在△ABC中,若B,C的坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),中線AD的長度是3,則A點軌跡方程是()A.x2+y2=3 B.x2+y2=4C.x2+y2=9(y≠0) D.x2+y2=9(x≠0)【解析】選C.易知BC中點D即為原點O,所以|OA|=3,所以點A的軌跡是以原點為圓心,以3為半徑的圓,又因△ABC中,A,B,C三點不共線,所以y≠0.所以選C.【變式訓(xùn)練】一動點到y(tǒng)軸的距離比到點(2,0)的距離小2,則此動點的軌跡方程為.【解析】設(shè)動點為P(x,y),則由條件得:(x-2)2當(dāng)x≥0時,y2=8x;當(dāng)x<0時,y=0.所以動點的軌跡方程為y2=8x(x≥0)或y=0(x<0).答案:y2=8x(x≥0)或y=0(x<0)4.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足OC→=αOA→+βOB→,其中α,A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0 D.x+2y-5=0【解題指南】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,建立方程組,把α,β用動點坐標(biāo)(x,y)表示后代入α+β=1,整理即可得出點C的軌跡方程或依據(jù)OC→=αOA→+βOB→及α+β=1,用【解析】選D.設(shè)C(x,y),由于OC→=αOA→所以(x,y)=α(3,1)+β(-1,3),所以(x,y)=(3α-β,α+3β),得x=3α-β,y=α+3β,由于α+β=1,所以3x+y10+整理得x+2y-5=0.【一題多解】選D.由OC→=αOA→+βOB→=α(3,1)+(1-α)(-1,3)=(3α,α)+(α-1,3-3α)=(4所以x=4α-1,y=3-2α,消去5.已知點A(1,0),直線l:y=2x-4,點R是直線l上的一點,若RA→=A.y=-2x B.y=2xC.y=2x-8 D.y=2x+4【解析】選B.由RA→=設(shè)P(x,y),R(x1,y1),由RA→=AP→,得(1-x得1-x1=x-1,-6.設(shè)過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點,點Q與點P關(guān)于y軸對稱,O為坐標(biāo)原點,若BP→=2PA→,且A.3x2+32y2B.3x2-32y2C.32x2-3y2D.32x2+3y2【解析】選D.設(shè)A(x0,0),B(0,y0),則BP→=(x,y-y0),PA由于BP→=2所以(x,y-y0)=2(x0-x,-y),所以x=2x因此A點坐標(biāo)為32又由于點Q與點P關(guān)于y軸對稱,所以Q(-x,y),由OQ→·AB→即32x2+3y2又P點在第一象限,所以x>0,y>0.故選D.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2022·溫州高二檢測)已知點M到定點F(1,0)的距離和它到定直線l:x=4的距離的比是常數(shù)12,設(shè)點M的軌跡為曲線C,則曲線C的軌跡方程是【解析】設(shè)點M(x,y),則據(jù)題意有(x-1)2則4[(x-1)2+y2]=(x-4)2,即3x2+4y2=12,所以x24+故曲線C的方程為x24+答案:x24+8.(2022·珠海高二檢測)動點P與平面上兩定點A(-2,0),B(2,0)連線的斜率的積為定值-12,則動點P的軌跡方程為【解析】設(shè)P(x,y),由題意知,x≠±2,kAP=yx+kBP=yx-2,由條件知kAP·kBP=-所以yx+2×yx-整理得x2+2y2-2=0(x≠±2).答案:x2+2y2-2=0(x≠±2)【誤區(qū)警示】解答本題時簡潔漏掉“x≠±2”這個條件.這是由于忽視了直線斜率的存在性所導(dǎo)致.所以做題時理解要到位,避開因隱含條件未挖掘出來而導(dǎo)致錯誤發(fā)生.9.由動點P向圓x2+y2=1引兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,∠APB=60°,則動點P的軌跡方程為.【解析】如圖.|PA|=|PB|,連接PO.則∠OPB=30°.由于|OB|=1.所以|PO|=2.所以P點的軌跡是以O(shè)為圓心以2為半徑的圓,即x2+y2=4.答案:x2+y2=4三、解答題(每小題10分,共20分)10.(2022·唐山高二檢測)設(shè)點P是圓x2+y2=4上任意一點,由點P向x軸作垂線PP0,垂足為P0,且MP0→【解析】設(shè)點M(x,y),P(x0,y0),則由題意知P0(x0,0).由MP0→=(x0-x,-y),PP0→=(0,-y0),且MP0→所以x0-x=0,又x02+所以x2+43y2所以,點M的軌跡C的方程為x24+【變式訓(xùn)練】若長為3的線段AB的端點A,B分別在x軸、y軸上移動,動點C(x,y)滿足AC→=2【解析】設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為(a,0),(0,b),則AC→=(x-a,y),由于AC→=2所以x-a=-2x,y=2b-2y,又由于|AB|=3,所以a2+b2=9,即9x2+94y2=9,即x2+y故動點C的軌跡方程為x2+y211.(2021·陜西高考改編)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.求動圓圓心的軌跡C的方程.【解題指南】由弦長的一半、半徑和弦心距構(gòu)成直角三角形列出方程,化簡后得出軌跡C的方程.【解析】A(4,0),設(shè)圓心C(x,y),線段MN的中點為E,由幾何圖象知ME=MN2,CA2=CM2=ME2+EC2?(x-4)2+y2=42+x2?y(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2022·長沙高二檢測)已知兩點M(-2,0),N(2,0),點P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點,滿足|MN→|·|MP→|+A.y2=8x B.y2=-8xC.y2=4x D.y2=-4x【解析】選B.依題意可得,4(x+2)22.曲線f(x,y)=0關(guān)于直線x-y-3=0對稱的曲線方程為()A.f(x-3,y)=0 B.f(y+3,x)=0C.f(y-3,x+3)=0 D.f(y+3,x-3)=0【解題指南】求對稱曲線上任意一點關(guān)于直線x-y-3=0的點的坐標(biāo)(x′,y′),又(x′,y′)滿足方程f(x,y)=0,由此可得對稱曲線方程.【解析】選D.設(shè)P′為對稱曲線上任意一點,其坐標(biāo)為(x,y),它關(guān)于直線x-y-3=0對稱點的坐標(biāo)為(x′,y′),依題意有y-y'x-x'又(x′,y′)適合方程f(x,y)=0,故所求對稱曲線方程為f(y+3,x-3)=0,故選D.3.已知點P是直線2x-y+3=0上的一個動點,定點M(-1,2),Q是線段PM延長線上的一點,且|PM|=|MQ|,則Q點的軌跡方程是()A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0【解析】選D.設(shè)Q(x,y),則P為(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.【舉一反三】若題中直線方程和點的坐標(biāo)不變,其他條件改為“Q是PM的中點”,則結(jié)論如何?【解析】設(shè)Q(x,y),P(x0,y0),則x=x0-12所以x0=2x+1,y0=2y-2.由于點P在直線2x-y+3=0上,所以2(2x+1)-(2y-2)+3=0.整理得4x-2y+7=0,即點Q的軌跡方程為4x-2y+7=0.4.(2022·哈爾濱高二檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于13()A.x2-3y2=-2 B.x2-3y2=-2(x≠±1)C.x2-3y2=2 D.x2-3y2=2(x≠±1)【解析】選B.設(shè)P(x,y),由于點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,所以B(1,-1).kPA=y-1x+1(x≠-1),kPB=y+1由于kPA·kPB=13,所以y-1x+1·y整理得x2-3y2=-2(x≠±1).【變式訓(xùn)練】定長為6的線段,其端點分別在x軸,y軸上移動,則AB中點M的軌跡方程是()A.x2+y2=9 B.x+y=6C.2x2+y2=12 D.x2+2y2=12【解析】選A.設(shè)M點坐標(biāo)為(x,y),A(0,y0),B(x0,0),由于M為AB中點,所以x=得x0所以(2x-0整理得:x2+y2=9.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2022·成都高二檢測)如圖,動點M和兩定點A(-1,0),B(2,0)構(gòu)成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,設(shè)動點M的軌跡為C,則軌跡C的方程為.【解析】設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),明顯有x>0,且y≠0,當(dāng)∠MBA=90°時,點M的坐標(biāo)為(2,±3),當(dāng)∠MBA≠90°時,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=2tan∠MAB將tan∠MBA=y2-x,tan∠MAB=y化簡可得3x2-y2-3=0,而點(2,±3)在曲線3x2-y2-3=0上,綜上可知,軌跡C的方程為3x2-y2-3=0(x>1).答案:3x2-y2-3=0(x>1)6.已知sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的兩根,則點P(a,b)的軌跡方程為.【解題指南】依據(jù)sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的兩根,建立a,b與sinθ,cosθ的關(guān)系,再通過消參,消去sinθ,cosθ得到a,b的關(guān)系式.【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系知sin由①2-②×2得a2-2b=1.由于a=sinθ+cosθ=2sinθ+所以-2≤a≤2,b=12sin2θ所以-12≤b≤1所以點P的軌跡方程為:a2=2b+12(-2≤a答案:a2=2b+12(-2≤x【學(xué)問拓展】參數(shù)法的定義及消參的方法(1)參數(shù)法的定義求曲線方程時,若x,y的關(guān)系不明顯或難以查找,可借助中間量(即參數(shù))使x和y建立起聯(lián)系,然后再從式子中消去參數(shù)得到曲線方程,這種方法叫做參數(shù)法求曲線的方程.(2)消去參數(shù)的常用方法①代入法:從所給的一個式子中解出所要消的參數(shù),代入另外的式子,從而消去參數(shù);②加、減、乘、除法:通過對所給式子乘以某一常數(shù)后,再借助于加、減、乘、除,消去參數(shù);③平方法:通過平方,整體代入消去參數(shù).三、解答題(每小題12分,共24分)7.(2022·南京高二檢測)△ABC的頂點B,C的坐標(biāo)分別為(0,0),(4,0),AB邊上的中線的長為3,求頂點A的軌跡方程.【解析】設(shè)A的坐標(biāo)為(x,y),AB的中點D的坐標(biāo)為(x1,y1).由中點坐標(biāo)公式可知x1由于AB邊上