中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第04講 倍長中線模型構(gòu)造全等三角形（解析版）

第04講倍長中線模型構(gòu)造全等三角形【應(yīng)對方法與策略】倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，往往需要連接相應(yīng)的頂點，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用）。三角形一邊的中線（與中點有關(guān)的線段），或中點，通?？紤]倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.主要思路：倍長中線（線段）造全等在△ABC中AD是BC邊中線延長AD到E，使DE=AD，連接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E連接BE延長MD到N，使DN=MD，連接CD【多題一解】一、單選題1．（2021·浙江湖州·二模）如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】延長BE交CD延長線于P，可證△AEB≌△CEP，求出DP，根據(jù)勾股定理求出BP的長，從而求出BM的長．【詳解】解：延長BE交CD延長線于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故選：C．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當(dāng)作輔助線構(gòu)造全等，依據(jù)勾股定理求出BP．2．（2021·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．證△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三邊關(guān)系求出AE的范圍即可解決問題．【詳解】解：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的全等判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，熟練證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵．3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，為上一點，為的中點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到，且為的中點，所以,由此可判斷選項；再結(jié)合平行線的性質(zhì)可以得到，由此可判斷選項；同時延長和交于點，可以證得，所以,由此可以判斷選項；由于，所以，由此可以判斷選項；【詳解】四邊形是平行四邊形由于條件不足，所以無法證明,故選項錯誤；故選項錯誤；同時延長和交于點在和中：由于條件不足，并不能證明，故選項錯誤；為的中點故選項正確；故選：D.【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定，根據(jù)題意作出相應(yīng)的輔助線是求解本題的關(guān)鍵.二、填空題4．（2019·湖北·武漢市糧道街中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，△ABC中，D是AB的中點，CD：AC：BC＝1：2：2，則∠BCD＝_____．【答案】30°【分析】利用“中線倍長法”構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而得出等腰三角形，再通過作等腰三角形的高，依據(jù)銳角三角函數(shù)可求出答案．【詳解】解：延長CD到E，使DE＝CD，連接BE，過E點作EF⊥BC，垂足為F，∵D是AB的中點，∴AD＝BD，又∵∠ADC＝∠BDE，DE＝DC，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴AC＝BE，∵CD：AC：BC＝1：2：2，設(shè)CD＝m，則AC＝2m＝BE＝CE，∴FC＝FB＝BC＝m，在Rt△CEF中，cos∠FCE＝＝＝，∴∠FCE＝30°，即∠BCD＝30°，故答案為：30°．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識，理解直角三角形的邊角關(guān)系是正確計算的前提．5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，分別是、邊上的點，將四邊形沿直線翻折，使得點、分別落在點、處，且點恰好為線段的中點，交于點，作于點，交于點．若，則________．【答案】【分析】根據(jù)中點這個條件考慮倍長，構(gòu)造出全等三角形，進(jìn)而結(jié)合翻折得性質(zhì)產(chǎn)生等腰三角形，綜合等腰三角形的性質(zhì)通過設(shè)未知數(shù)表示各線段，再通過相似三角形建立等式求解正方形的邊長，最后利用三角函數(shù)值快速求解．【詳解】如圖，連接B，延長交于點，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得為等腰三角形，，作于點，設(shè)，則正方形邊長為，則，，，，由，得，則，解得，則，設(shè)，則，設(shè)，則，此時作，，，則，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，及三角函數(shù)的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，難度較大，熟練掌握做輔助線的方法是解決問題的一個關(guān)鍵點，再有就是結(jié)合圖中構(gòu)造出的全等或相似，準(zhǔn)確列式計算也是本題的一個關(guān)鍵點．6．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為AD上的中點，則BE＝______．【答案】【分析】延長BE交CD于點F，證，則BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中運用勾股定理求出BF長即可.【詳解】解：延長BE交CD于點F,∵AB平行CD，則∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，又E為AD上的中點，∴BE=EF,所以.∴∴在直角三角形BCF中，BF==.∴.【點睛】本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等，找到線段的關(guān)系，然后運用勾股定理求解.三、解答題7．（2020·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）△ABC中D是BC邊上一點，連接AD．（1）如圖1，AD是中線，則AB+AC2AD（填>，<

或=）；（2）如圖2，AD是角平分線，求證AB-AC>BD-CD．【答案】（1）＞；（2）見解析【分析】（1）延長AD至E，使DE=AD，連接CE，利用“SAS”證明△CDE≌△ADB，再利用三角形的三邊關(guān)系證明即可；（2）在AB上截取AG=AC，連接DG，利用“SAS”證明△ADC△ADG，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可證明AB-AC>BD-CD．【詳解】（1）如圖，延長AD至E，使DE=AD，連接CE，在△CDE與△ADB中，，∴△CDE≌△ADB（SAS），∴AB=CE，∴AB+AC=AC+CE＞AE=2AD，即AB+AC＞2AD；故答案為：＞；（2）在AB上截取AG=AC，連接DG，∵AD是角平分線，∴∠1=∠2，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC△ADG(SAS)，∴DC=DG，∴AB-AC=AB-AG=BG>BD-DG=BD-CD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，添加輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2020·北京一七一中九年級階段練習(xí)）在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中點，E為直線AC上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)點E是線段AC的中點時，AE＝2，BF＝1，求EF的長；（2）當(dāng)點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖形2，用等式表示AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）；（2）AE2+BF2＝EF2，證明見解析【分析】（1）由三角形的中位線定理得DE∥BC，DE＝BC，進(jìn)而證明四邊形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根據(jù)勾股定理得結(jié)果；（2）過點B作BM∥AC，與ED的延長線交于點M，連接MF，證明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分線的判定定理得EF＝MF，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵D是AB的中點，E是線段AC的中點，∴DE∥BC，DE＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四邊形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF＝；（2）AE2+BF2＝EF2．證明：過點B作BM∥AC，與ED的延長線交于點M，連接MF，則∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D點是AB的中點，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直平分線的判定，關(guān)鍵在于構(gòu)造全等三角形．9．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）已知：如圖所示，AD平分，M是BC的中點，MF//AD，分別交CA延長線，AB于F、E．求證：BE=CF．【答案】見解析.【分析】過B作BN∥AC交EM延長線于N點，易證△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM＝∠N，所以BE＝BN＝CF.【詳解】證明：過B作BN∥AC交EM延長線于N點，∵BN∥AC，BM＝CM，∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F，∴△BMN≌△CMF，∴CF＝BN，又∵M(jìn)F//AD，AD平分∠BAC，∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∴∠BEM＝∠N，∴BE＝BN＝CF.【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．10．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點時，設(shè)，求EF的長（用含的式子表示）；（2）當(dāng)點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）；（2）圖見解析，，證明見解析．【分析】（1）先根據(jù)中位線定理和線段中點定義可得，，，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，然后利用勾股定理即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，，然后根據(jù)垂直平分線的判定與性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理、等量代換即可得證．【詳解】（1）∵D是AB的中點，E是線段AC的中點∴DE為的中位線，且∴，∵∴∵∴∴四邊形DECF為矩形∴∴則在中，；（2）過點B作AC的平行線交ED的延長線于點G，連接FG∵∴，∵D是AB的中點∴在和中，∴∴，又∵∴DF是線段EG的垂直平分線∴∵，∴在中，由勾股定理得：∴．【點睛】本題考查了中位線定理、矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．11．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為線段BC的延長線上一點，且DB=DA，BE⊥AD于點E，取BE的中點F，連接AF．（1）若AC=，AE=，求BE的長；（2）在（1）的條件下，求△ABD的面積．（3）若∠BAC=∠DAF，求證：2AF=AD；【答案】（1）；（2）；（3）見詳解【分析】（1）在Rt△AEB中，利用勾股定理即可解決問題；（2）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出AD的長，再利用三角的面積公式計算即可；（3）如圖，延長AF至M點，使AF＝MF，連接BM，首先證明△AEF≌△MFB，再證明△ABM≌△ACD即可．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，AC＝，∴AB＝，∵BE⊥AD，AE＝，∴在Rt△AEB中，；（2）設(shè)，則，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，即,則，則；（3）證明：如圖，延長AF至M點，使AF＝MF，連接BM，∵點F為BE的中點，∴EF＝BF，在△AEF和△MBF中，∴△AEF≌△MBF（SAS），∴∠FAE＝∠FMB，∴AE∥MB，∴∠EAB+∠ABM＝180°，∴∠ABM＝180°﹣∠BAD，又∵AB＝AC，DB＝DA，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，∴∠ABM＝∠ACD．又∵∠BAC＝∠DAF，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC，∴∠1＝∠2．在△ABM和△ACD中，，∴△ABM≌△ACD（ASA），∴AM＝AD，又∵AM＝AF+MF＝2AF，∴2AF＝AD．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是中線延長一倍，作出正確的輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于?？碱}型．12．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，D是BC中點，E是AB上一點，F(xiàn)是AC上一點．若∠EDF＝90°，且BE2＋FC2＝EF2，求證：∠BAC＝90°．【答案】見解析【分析】延長FD到G使DG＝DF，連接BG，EG，先證明△BDG≌△CDF（SAS）得BG＝FC，∠GBD＝∠C，從而有，DG＝DF，又由勾股定理的逆定理得，再利用平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立．【詳解】證明：如圖，延長FD到G使DG＝DF，連接BG，EG，∵D為BC中點，∴BD＝CD，∵在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝FC，∠GBD＝∠C，∴，DG＝DF，∵ED⊥DF，∴EG＝EF，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．13．（2020·福建福州·九年級開學(xué)考試）如圖1，已知正方形和等腰，，，是線段上一點，取中點，連接、．（1）探究與的數(shù)量與位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，將圖1中的等腰繞點順時針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）在（2）的條件下，若，求的最小值．【答案】（1）且．理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）首先根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)得出、、三點共線，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證明，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得出，從而證明；（2）延長至，使，連接交于，連接、，首先通過SAS證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)及平行線的判定證明，進(jìn)而可利用正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)證明，從而可證明結(jié)論仍然成立；（3）連接，首先根據(jù)題意確定當(dāng)、、，在同一直線上時，有最小值，此時在上，然后根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)得出有最小值就是的長，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）且．理由如下：如圖1，連接．∵正方形和等腰，∴，∴、、三點共線．∵，為的中點，，∴．∴，．∴，即，∴．（2）仍然成立．理由如下：如圖2，延長至，使，連接交于，連接、．∵，，，∴，∴，，∴．∵是正方形，∴，．∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴為等腰直角三角形．又∵，∴且．（3）如下圖，連接，當(dāng)、、，在同一直線上時，有最小值，此時在上，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，由（2）知，∴，即有最小值，就是的長，由勾股定理得．【點睛】本題主要考查四邊形綜合，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2020·陜西咸陽·一模）問題提出（1）如圖，是的中線，則__________；（填“”“”或“”）問題探究（2）如圖，在矩形中，，點為的中點，點為上任意一點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的長；問題解決（3）如圖，在矩形中，，點為對角線的中點，點為上任意一點，點為上任意一點，連接，是否存在這樣的點，使折線的長度最?。咳舸嬖?，請確定點的位置，并求出折線的最小長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）＞；（2）；（3）當(dāng)點與的中點重合時，折線的長度最小，最小長度為4．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，從而可得AE的長，再根據(jù)三角形的周長公式、兩點之間線段最短得出的周長最小時，點F的位置，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；（3）如圖（見解析），先根據(jù)軸對稱性質(zhì)、兩點之間線段最短得出折線的長度最小時，四點共線，再利用直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)得出，，，然后利用軸對稱的性質(zhì)、角的和差可得，，由此利用勾股定理可求出的長，即折線的最小長度；設(shè)交于點，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得折線的長度最小時，點Q的位置．【詳解】（1）如圖，延長AD，使得，連接CE是的中線在和中，在中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即故答案為：；（2）如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接FG，則四邊形ABCD是矩形，垂直平分點E是BC的中點，，則的周長為要使的周長最小，只需由兩點之間線段最短可知，當(dāng)點共線時，取得最小值∴∴，即解得；（3）如圖，作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接，則∴折線的長度為由兩點之間線段最短可知，，當(dāng)且僅當(dāng)點四點共線時，折線取得最小長度為∵在矩形中，∴，∵點為的中點∴∵點與點關(guān)于對稱，點與點關(guān)于對稱∴，，∴設(shè)交于點在中，∴，即又∵∴是等邊三角形∴∵∴點與的中點重合綜上，當(dāng)點與的中點重合時，折線的長度最小，最小長度為4．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），利用軸對稱的性質(zhì)正確找出折線的最小長度是解題關(guān)鍵．15．（2020·安徽合肥·二模）如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點，AF平分∠EAD，交CD于點F．(1)如圖1，若點F恰好為CD中點，求證：AE=BE+2CE；(2)在(1)的條件下，求的值；(3)如圖2，延長AF交BC的延長線于點G，延長AE交DC的延長線于點H，連接HG，當(dāng)CG=DF時，求證：HG⊥AG．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析【分析】（1）延長BC交AF的延長線于點G，利用“AAS”證△ADF≌△GCF得AD＝CG，據(jù)此知CG＝BC＝BE＋CE，根據(jù)EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE＝AE即可得證；（2）設(shè)CE＝a，BE＝b，則AE＝2a＋b，AB＝a＋b，在Rt△ABE中，由AB2＋BE2＝AE2可得b＝3a，據(jù)此可得答案；（3）連接DG，證△ADF≌△DCG得∠CDG＝∠DAF，再證△AFH∽△DFG得，結(jié)合∠AFD＝∠HFG，知△ADF∽△HGF，從而得出∠ADF＝∠FGH，根據(jù)∠ADF＝90°即可得證．【詳解】解：(1)如圖1，延長BC交AF的延長線于點G，∵AD∥CG，∴∠DAF=∠G，又∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴EA=EG，∵點F為CD的中點，∴CF=DF，又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G，∴△ADF≌△GCF(AAS)，∴AD=CG，∴CG=BC=BE+CE，∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；(2)設(shè)CE=a，BE=b，則AE=2a+b，AB=a+b，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，解得b=3a，b=﹣a(舍)，∴；(3)如圖2，連接DG，∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG，∴△ADF≌△DCG(SAS)，∴∠CDG=∠DAF，∴∠HAF=∠FDG，又∵∠AFH=∠DFG，∴△AFH∽△DFG，∴，又∵∠AFD=∠HFG，∴△ADF∽△HGF，∴∠ADF=∠FGH，∵∠ADF=90°，∴∠FGH=90°，∴AG⊥GH．【點睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．16．（2020·江西宜春·一模）將一大、一小兩個等腰直角三角形拼在一起，，連接．（1）如圖1,若三點在同一條直線上，則與的關(guān)系是；

（2）如圖2，若三點不在同一條直線上,與相交于點，連接,猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，在(2)的條件下作的中點,連接，直接寫出與之間的關(guān)系．【答案】（1）且；（2）；證明見解析；（3）且．【分析】（1）根據(jù)題意利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及延長AC交BD于點C’進(jìn)行角的等量代換進(jìn)行分析即可；（2）根據(jù)題意在上截取,連接，并全等三角形的判定證明和，進(jìn)而利用勾股定理得出進(jìn)行分析求解即可；（3）過點B作BM∥OC，交OF的延長線于點M，延長FO交AD于點N，證明?BFM??CFO，?AOD??OBM，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，延長AC交BD于點C’，如下圖：∵，∴，即，綜上且，故答案為：且；證明:在上截取,連接在和中在和中即；且，理由如下：過點B作BM∥OC，交OF的延長線于點M，延長FO交AD于點N，∵BM∥OC，∴∠M=∠FOC，∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,∴?BFM??CFO（AAS），∴OF=MF，BM=CO，∵DO=CO，∴DO=BM，∵BM∥OC，∴∠OBM+∠BOC=180°，∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，∴∠OBM=∠AOD，又∵AO=BO，∴?AOD??OBM（SAS），∴AD=OM=2OF，∠BOM=∠OAD，∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．∴且．【點睛】本題考查等腰直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.17．（2022·安徽宿州·九年級期末）已知：在矩形中，連接，過點作，交于點，交于點．（1）如圖1，若．①求證：；②連接，求證：．（2）如圖2，若，求的值．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)已知易得，再由可得，即可得，而矩形對邊相等，從而可得；②延長、，交于點．易證B是CG的中點，故中，．再由即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)可得，再由可得，進(jìn)而由勾股定理可得，繼而得到，再結(jié)合即可解題．【詳解】（1）證明：①如圖，在矩形中，∠DAB=∠ADC=90°，∴∠1+∠EDC=90°，又∵，∴∠2+∠EDC=90°，∴，∵，∴，∴，又∵AB=CD，∴，∴．②證明：如解圖2，延長、，交于點．∵在矩形中，AD//BC,∴，在和中，∴≌，∴，故中，．由（1）可知，∴，∴，（2）∵，，∴，又∵∠ADF=∠DCA，∴，∴，在Rt△ADF中，，∴，∴，又∵在矩形中，AB//CD,∴，∴．【點睛】本題綜合考查了解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等判定和性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)等；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握實數(shù)的運算，利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)換線段比是解題的關(guān)鍵．18．（2021·江蘇宿遷·二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，垂足為點，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為（填“真命題”，“假命題”）；【探究】（1）如圖2，和為共頂點的等腰直角三角形，，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點．證明：點是的中點；（2）如圖3，和為共頂點的等腰直角三角形，點是的中點，連接交于點，若，求的長．【答案】【思考】真命題；【探究】（1）證明見解析；（2）4．【思考】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，再利用等量代換計算．結(jié)論可得；（1）過點作，交的延長線于點，利用同角的余角相等得出和，進(jìn)而得到；再證明，結(jié)論可得；（2）過點作，交的延長線于點，易證，得到，．再進(jìn)一步說明，可得，結(jié)論可得．【詳解】解：【思考】“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為真命題．理由如下：如下圖，∵，為的中點，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．即：．∴命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為真命題．故答案為：真命題．【探究】（1）如下圖，過點作，交的延長線于點，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵為等腰直角三角形，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．即是的中點．（2）如下圖，過點作，交的延長線于點，∵，∴．在和中，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．在和中，∴．∴．【點睛】本題主要考查了圓的綜合運用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用中點添加平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2020·江蘇徐州·模擬預(yù)測）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點，于點，交于點，交于點，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作一個的角，角的兩邊分別交、于、兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）見詳解；（3），理由見詳解【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明，，在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出答案；（2）延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，可得出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得出，利用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長AB至N，使BN=DF，連接CN，可得，證明，得出，利用角的和差關(guān)系可推出，再證明，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∴∴在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得出：，即∴故答案為：；（2）延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，同（1）可得出，∵∴在中，∴；（3），理由如下：延長AB至N，使BN=DF，連接CN，∵∴∴∴∵∴∴（SAS）∴∴∴．【點睛】本題考查的知識點有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、角的和差等，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出與圖①中結(jié)構(gòu)相關(guān)的圖形．此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣，綜合性強(qiáng)．【一題多解】1．（2021·河北·九年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．完成下面問題：（1）①思路一的輔助線的作法是：；②思路二的輔助線的作法是：．（2）請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過程）．【答案】（1）①延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG；②作BG＝BF交AD的延長線于點G；（2）詳見解析【分析】（1）①依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．②作BG＝BF交AD的延長線于點G．利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，證明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，證出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG，如圖①，理由如下：∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案為：延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG；②作BG＝BF交AD的延長線于點G，如圖②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案為：作BG＝BF交AD的延長線于點G；（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，如圖③所示：則∠G＝∠CAD，∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、其中一般證明兩個三角形全等共有四個定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同學(xué)們靈活運用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會做輔助線解決問題．2．（2021·貴州·貴陽市第十九中學(xué)九年級階段練習(xí)）在與中，，，，連接，點為的中點，連接，繞著點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點落在的延長線上時，與的數(shù)量關(guān)系是：__________；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點落在的延長線上時，與是否仍有具有（1）中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請給予證明；如果沒有，請說明理由；（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若當(dāng)時，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）具有，證明見解析；（3）14或．【分析】（1）；當(dāng)點落在的延長線上時，∠ADE=90o，點為的中點，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，再證△ACE≌△BCE（SAS）利用性質(zhì)得AE=BE即可；（2）成立（具有）延長到點，使，連接，由點為的中點，可知是的中位線，有結(jié)論，先證，再證，即可；（3）分兩種情況∠BCD再BC的左邊與右邊，構(gòu)造Rt△ECH，∠HCE=60o或Rt△CGE，∠GCE=30o，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用（1）結(jié)論即可．【詳解】（1）當(dāng)點落在的延長線上時，∠ADE=90o，∵點為的中點，∴AF=EF=FD，∴，∵BC=AC，∠ACB=90o，CD=DE，∠CDE=90o，∴∠DCE=∠DEC=45o，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90o+45o=135o，∴∠ACE=360o-∠ACB-∠BCE=360o-90o-135o=135o=∠BCE，∵CE=CE，∴△ACE≌△BCE（SAS），∴AE=BE，∴，故答案為：；（2）成立（具有）證明：延長到點，使，連接，∵點為的中點，∴是的中位線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）14或．過E作EH⊥BC于H，∴在Rt△ECD中，CE=2，∵∠BCD=105o，∴∠HCE=105o-∠DCE=60o，∴CH=，EH=，∵BC=，∴BH=BC-CH=-，∴FD2=；延長BC，過E作EG⊥BC于G，∵∠BCD=105o，∠DCE=45o，∴∠GCE=180o-∠ACD-∠DCE=30o，∴GE=，∴CG=，∴∴FD2=．綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形中位線，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，涉及的知識多，習(xí)題難度大，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出準(zhǔn)確的圖形，畫圖時應(yīng)注意分類來畫是解題關(guān)鍵．3．（2021·山東·日照市田家炳實驗中學(xué)一模）定義：如果三角形三邊的長a、b、c滿足，那么我們就把這樣的三角形叫做“勻稱三角形”．如：三邊長分別為1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“勻稱三角形”．（1）已知“勻稱三角形”的兩邊長分別為4和6，則第三邊長為．（2）如圖，ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，交AB的延長線于E，求證：EF是⊙O的切線；（3）在（2）的條件下，若，判斷AEF是否為“勻稱三角形”？請說明理由．【答案】（1）5或8；（2）見解析；（3）AEF是“勻稱三角形”，見解析【分析】（1）設(shè)第三邊長為，利用“勻稱三角形”的定義，列出方程，但是由于等式中，4，6，均有可能為等式右邊的“”，所以需要分三類討論，最終確定下來的三邊長必須滿足“三角形兩邊之和大于第三邊”，故最終答案為5或8；（2）要證明為切線，連接，由于是半徑，只需要證明，又由于，所以只需要證明，又由于為中點，只需要證明為的中點，因為是直徑，所以，又因為，所以為的中點，即可證明；（3）因為為的中點，仿照“中線倍長”模型，過作于，如圖2，或者在上截取，構(gòu)造，所以，將轉(zhuǎn)化成，因為，所以，可以得到，設(shè)，則，利用勾股定理求出，滿足定義，即可證明．【詳解】解：（1）解：設(shè)第三邊長為，①當(dāng)時，解得，②當(dāng)是，解得，③當(dāng)時，解得，，當(dāng)三邊長為2，4，6時，不能構(gòu)成三角形，所以③舍去，故答案為：5或8；（2）證明：如圖1，連接，，是直徑，，，為的中點，即，為中點，，，，，，，，是半徑，是