河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高三上冊1月期末數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（含解析）

河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題考生注意：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)城內(nèi)．2.考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8個小題，每題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.2.若，則（）A.1 B. C.2 D.3.在△ABC中，O為重心，D為BC邊上近C點四等分點，，則m＋n＝（）A. B. C. D.4.一個燈罩可看作側(cè)面有布料的圓臺，在原形態(tài)下測得的布料最短寬度為13，將其壓扁變?yōu)閳A環(huán)，測得布料最短寬度為5，則燈罩占空間最小為（）A. B. C. D.不存在5若六位老師前去某三位學(xué)生家中輔導(dǎo)，每一位學(xué)生至少有一位老師輔導(dǎo)，每一位老師都要前去輔導(dǎo)且僅能輔導(dǎo)一位同學(xué)，由于就近考慮，甲老師不去輔導(dǎo)同學(xué)1，則有（）種安排方法A.335 B.100 C.360 D.3406.已知函數(shù)將其向右平移個單位長度后得到，若在上有三個極大值點，則一定滿足單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.7.已知，則（）A. B.C. D.8.若已知函數(shù)，，，若函數(shù)存在零點（參考數(shù)據(jù)），則的取值范圍充分不必要條件為（）A. B.C. D.二、多選題：本題共4個小題，每題5分，共20分．在每個小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.在正方體中，分別為棱中點，為近C三等分點，P在面上運動，則（）A.∥平面B.若，則C點到平面PBH的距離與P點位置有關(guān)C.D.若，則P點軌跡長度為10.若數(shù)列有，為前n項積，有，則（）A.為等差數(shù)列（） B.可能C.為等差數(shù)列 D.第n項可能與n無關(guān)11.已知拋物線C：，過點P（0，p）直線，AB中點為，過A，B兩點作拋物線的切線軸＝N，拋物線準(zhǔn)線與交于M，下列說法正確的是（）A.軸 B.O為PN中點C. D.M為近四等分點12.已知奇函數(shù)，，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，下列說法正確的是（）A.是周期為的函數(shù)B.是最小正周期為的函數(shù)C.關(guān)于中心對稱D.直線與若有3個交點，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.中常數(shù)項是_________．（寫出數(shù)字）14.若⊙C：，⊙D：，M，N分別為⊙C，⊙D上一動點，最小值為4，則取值范圍為_________．15.已知雙曲線，，分別為雙曲線左右焦點，作斜率為的直線交于點，連接交雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率_________．16.已知函數(shù)，，使得，的取值范圍為_________．四、解答題：本題共六個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知O為△ABC外心，S為△ABC面積，r為⊙O半徑，且滿足（1）求∠A大??；（2）若D為BC上近C三等分點（即），且，求S最大值．18.張老師在2022年市統(tǒng)測后統(tǒng)計了1班和3班的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦聢D所示，，0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828（1）根據(jù)卡方獨立進行檢驗，說明是否有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績與班級有關(guān)；（2）現(xiàn)在根據(jù)分層抽樣原理，從1班和3班中抽取10人，再讓數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的同學(xué)輔導(dǎo)一位數(shù)學(xué)評價一般的同學(xué)，每個人必有一人輔導(dǎo)，求在抽到甲輔導(dǎo)乙的情況下丙輔導(dǎo)丁的概率．（3）以頻率估計概率，若從全年級中隨機抽取3人，求至少抽到一人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率．（4）以頻率估計概率，若從三班中隨機抽取8人，求抽到人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的分布列（列出通式即可）及期望，并說明x取何值時概率最大．19.在△ABC中，，A、B、C、D四點共球，R（已知）為球半徑，O為球心，為外接圓圓心，（未知）為⊙半徑．（1）求和此時O到面ABC距離h；（2）在的條件下，面OAB（可以無限延伸）上是否存在一點K，使得KC⊥平面OAB？若存在，求出K點距距離和到面ABC距離，若不存在請給出理由．20.在高中的數(shù)學(xué)課上，張老師教會了我們用如下方法求解數(shù)列的前n項和：形如的數(shù)列，我們可以錯位相減的方法對其進行求和；形如的數(shù)列，我們可以使用裂項相消的方法對其進行求和．李華同學(xué)在思考錯位相減和裂項相消后的本質(zhì)后對其進行如下思考：錯位相減：設(shè)，綜上：當(dāng)中間項可以相消時，可將求解的問題用錯位相減化簡裂項相消：設(shè)或為公比為1等比數(shù)列；①當(dāng)時，②當(dāng)為公比為1的等比數(shù)列時，；故可為簡便計算省去②的討論，綜上：可將求解的問題用裂項相消轉(zhuǎn)化為求解的問題你看了他的思考后雖覺得這是“廢話文學(xué)”，但是你立刻腦子里靈光一閃，回到座位上開始寫下了這三個問題：（1）用錯位相減的方法“溫故”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項和；（2）用裂項相消的方法“知新”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項和；（3）融會貫通，求證：前n項和滿．請基于李華同學(xué)的思考做出解答，并寫出裂項具體過程．21.在平面直角坐標(biāo)系中，分別為，，⊙，為⊙上一點，為線段上一點，⊙C過和．（1）求點軌跡方程，并判斷軌跡形狀；（2）過兩直線交分別于、和、，，分別為和中點，求、軌跡方程，并判斷軌跡形狀；（3）在（2）條件下，若PQ//x軸，，求點軌跡方程，并判斷軌跡形狀．22已知函數(shù).（1）求證：；（2）若，都，求k滿足的取值范圍．河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題考生注意：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)城內(nèi)．2.考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8個小題，每題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】先求出集合，然后再逐個分析判斷即可.【詳解】由，得，解得或，所以或，因為，所以，對于A，因為，所以，所以A錯誤，對于B，因為或，，所以，所以B正確，對于C，因為，所以C錯誤，對于D，因或，所以，因為，所以，所以D錯誤，故選：B2.若，則（）A.1 B. C.2 D.【正確答案】A【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)相等求出，即可求解.【詳解】設(shè)，（為虛數(shù)單位）.因為,所以，所以，解得.所以，所以故選：A3.在△ABC中，O為重心，D為BC邊上近C點四等分點，，則m＋n＝（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】連接延長交于點，則點為的中點，連接，利用向量平面基本定理表示可得答案.【詳解】連接延長交于點，則點為的中點，連接，所以，所以，.故選：B.4.一個燈罩可看作側(cè)面有布料的圓臺，在原形態(tài)下測得的布料最短寬度為13，將其壓扁變?yōu)閳A環(huán)，測得布料最短寬度為5，則燈罩占空間最小為（）A. B. C. D.不存在【正確答案】D【分析】設(shè)圓臺的上、下底面圓的半徑分別為，母線長為，高為，由題意可知，，則，利用圓臺的體積公式求出體積表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】設(shè)圓臺的上、下底面圓的半徑分別為，母線長為，高為由題意可知，，則則圓臺的體積為當(dāng)時，單調(diào)遞增，故不存在最小值．故選：D．5.若六位老師前去某三位學(xué)生家中輔導(dǎo)，每一位學(xué)生至少有一位老師輔導(dǎo)，每一位老師都要前去輔導(dǎo)且僅能輔導(dǎo)一位同學(xué)，由于就近考慮，甲老師不去輔導(dǎo)同學(xué)1，則有（）種安排方法A.335 B.100 C.360 D.340【正確答案】C【分析】把6位老師按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人數(shù)分為三組；每種分組再分同學(xué)1安排的幾位老師輔導(dǎo)解答.【詳解】把6位老師按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人數(shù)分為三組；①把6為老師平均分為3組的不同的安排方法數(shù)有在把這三組老師安排給三位不同學(xué)生輔導(dǎo)的不同安排方案數(shù)為：，根據(jù)分步計數(shù)原理可得共有不同安排方案為：如果把甲老師安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為：所以把6位老師平均安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)且甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為②把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為：若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則若1同學(xué)安排了四位輔導(dǎo)老師則所以把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為③把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為；若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則若1同學(xué)只安排了兩位輔導(dǎo)老師則若1同學(xué)只安排了三位輔導(dǎo)老師則所以把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為綜上把6位老師安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)，甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為故選：C6.已知函數(shù)將其向右平移個單位長度后得到，若在上有三個極大值點，則一定滿足的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)平移變換得函數(shù)，由在上有三個極大值點，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得，再求的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，由此可判斷答案.【詳解】解：有題意可得，由得，由于在上有三個極大值點，所以，解得，當(dāng)，而，故A正確，當(dāng)，而，故B不正確，當(dāng)，，而，故C不正確，當(dāng)，，而，故D不正確，故選：A.7.已知，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】變形a，b，構(gòu)造函數(shù)比較a，b的大小，構(gòu)造函數(shù)比較的大小，利用極值點偏移的方法判斷的大小作答.【詳解】依題意，，，令，，當(dāng)時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，因此，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，而，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然，則方程有兩個不等實根，，有，，而，則有，令，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，因此，即有，而，在上單調(diào)遞增，于是得，即，取，，于是得，又，在上單調(diào)遞增，從而，所以，D正確.故選：D思路點睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.8.若已知函數(shù)，，，若函數(shù)存在零點（參考數(shù)據(jù)），則的取值范圍充分不必要條件為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】因為求的是充分不必要條件，而非充要條件，所以采用特殊值法，只要滿足，則有存在零點，求出時的取值范圍，即為一個充分條件，再由選項依次判斷即可.【詳解】當(dāng)時，的圖象恒在上方，若滿足，即，，則與的圖象必有交點，即存在零點.令，，有當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增..即當(dāng)時，一定存在，滿足，即存在零點，因此是滿足題意的取值范圍的一個充分條件.由選項可得，只有是的子集，所以是的取值范圍的一個充分不必要條件.故選.二、多選題：本題共4個小題，每題5分，共20分．在每個小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.在正方體中，分別為棱中點，為近C三等分點，P在面上運動，則（）A.∥平面B.若，則C點到平面PBH的距離與P點位置有關(guān)C.D.若，則P點軌跡長度為【正確答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐一解答即可.【詳解】解：根據(jù)題意建立如圖所示的坐標(biāo)系：因為正方體的邊長為2，所以，，，，，，，，，，，，對于A，因為，，，設(shè)平面的法向量為，則有，則有，取，因為，所以不成立，所以∥平面不成立，故錯誤；對于B，設(shè)，則，，，又因為，所以，所以有，所以P點軌跡為如圖所示的線段，在平面內(nèi)作出與平行的直線，易知與的距離等于平面與平面的距離為2，因為與不平行，所以與不平行，所以點到的距離不是定值，所以不是定值，又因為,即，(為C點到平面PBH的距離)，所以不是定值，所以C點到平面PBH的距離與P點位置有關(guān)，故正確；對于C，因為，，，所以，即有，故正確；對于D，由B可知P點軌跡為，令，則；令，則，所以P點軌跡的長度為，故正確.故選：BCD10.若數(shù)列有，為前n項積，有，則（）A.為等差數(shù)列（） B.可能C.為等差數(shù)列 D.第n項可能與n無關(guān)【正確答案】BD【分析】結(jié)合遞推式，取，求的通項公式判斷選項A錯誤，求判斷B，由遞推式，取，判斷C，求數(shù)列的通項公式判斷D.【詳解】因為，所以，所以當(dāng)時，，若，則，不存在，A錯誤；因為時，，所以，所以，又，所以可能，B正確；因為，取，則，此時不存在，C錯誤；D正確；故選：BD.11.已知拋物線C：，過點P（0，p）直線，AB中點為，過A，B兩點作拋物線的切線軸＝N，拋物線準(zhǔn)線與交于M，下列說法正確的是（）A.軸 B.O為PN中點C. D.M為近四等分點【正確答案】AD【分析】設(shè)直線的斜率為，不妨設(shè)，直線的方程為，，與拋物線方程聯(lián)立求出，，，得，令，求出，求出，可得直線的方程、直線的方程，由可判斷C；聯(lián)立直線、直線的方程可得可判斷A；令由得可判斷B；由、點的縱坐標(biāo)為、可判斷D.【詳解】由題意直線的斜率存在，設(shè)為，不妨設(shè)，，則直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，，所以，，，所以，不妨令，所以，由得，所以直線的方程為，直線的方程為，所以，故C錯誤；由解得，可得，所以，所以軸，故A正確；令所以由得，所以，而，且，故B錯誤；因為，點的縱坐標(biāo)為，，所以，，故M為近四等分點，故D正確.故選：AD.12.已知奇函數(shù)，，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，下列說法正確的是（）A.是周期為的函數(shù)B.是最小正周期為的函數(shù)C.關(guān)于中心對稱D.直線與若有3個交點，則【正確答案】AC【分析】根據(jù)奇函數(shù)，，且，可確定函數(shù)的周期，即可判斷A；設(shè)確定函數(shù)的奇偶性與對稱性即可判斷函數(shù)B，C；根據(jù)可判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合對稱性與周期性即可得函數(shù)的大致圖象，根據(jù)直線與若有3個交點，列不等式即可求的取值范圍，即可判斷D.【詳解】解：因為，所以的圖象關(guān)于對稱，又因為為奇函數(shù)，所以，則，則，故是周期為的函數(shù)，故A正確；設(shè)，其定義域為，則，所以關(guān)于中心對稱，即關(guān)于中心對稱，故C正確；又，所以為上的奇函數(shù)，結(jié)合可得，即故是周期為的函數(shù)，故B錯誤；當(dāng)，所以，故在上單調(diào)遞增，由于關(guān)于中心對稱，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，又函數(shù)的周期為，則可得大致圖象如下：若直線與若有3個交點，則或，解得或，故，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.中常數(shù)項是_________．（寫出數(shù)字）【正確答案】【分析】將看作一項，利用展開式的通項，找兩項中的常數(shù)項即可求解.【詳解】的展開式的通項公式是，令，則，故或或，所以的展開式中常數(shù)項為：，故答案為.14.若⊙C：，⊙D：，M，N分別為⊙C，⊙D上一動點，最小值為4，則取值范圍為_________．【正確答案】【分析】先根據(jù)的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范圍.【詳解】由于最小值為4，圓C的半徑為1，圓D的半徑為2，故兩圓圓心距離，即，由柯西不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即，解得.故15.已知雙曲線，，分別為雙曲線左右焦點，作斜率為的直線交于點，連接交雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率_________．【正確答案】【分析】首先求出的方程，聯(lián)立兩直線方程，即可取出點坐標(biāo)，由，即可得到為、的中點，得到點坐標(biāo)，再代入雙曲線方程，即可求出，從而求出雙曲線的離心率.【詳解】解：依題意，所以：，由，解得，即，所以，又，所以為、的中點，所以，所以，即，即，所以，即，即，所以，則離心率.故16.已知函數(shù)，，使得，的取值范圍為_________．【正確答案】【分析】不妨設(shè)，把化為，構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)數(shù)，求出的取值范圍．【詳解】不妨設(shè),∵，即，,構(gòu)造函數(shù)，∴在是單調(diào)遞增函數(shù)，∴,∴當(dāng)時，，，所以，所以，所以取值范圍為故四、解答題：本題共六個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知O為△ABC外心，S為△ABC面積，r為⊙O半徑，且滿足（1）求∠A大小；（2）若D為BC上近C三等分點（即），且，求S最大值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由向量的運算整理可得，結(jié)合正弦定理、余弦定理和面積公式運算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合向量可得，再結(jié)合數(shù)量積可得，利用基本不等式可得，再結(jié)合面積公式即可得結(jié)果.【小問1詳解】取的中點，連接，則，可得：由，可得，則，即，整理得，由余弦定理，可得，∵，故.【小問2詳解】由題意可得：，則，可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即，則.故S最大值為.18.張老師在2022年市統(tǒng)測后統(tǒng)計了1班和3班的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦聢D所示，，0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828（1）根據(jù)卡方獨立進行檢驗，說明是否有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績與班級有關(guān)；（2）現(xiàn)在根據(jù)分層抽樣原理，從1班和3班中抽取10人，再讓數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的同學(xué)輔導(dǎo)一位數(shù)學(xué)評價一般的同學(xué)，每個人必有一人輔導(dǎo)，求在抽到甲輔導(dǎo)乙的情況下丙輔導(dǎo)丁的概率．（3）以頻率估計概率，若從全年級中隨機抽取3人，求至少抽到一人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率．（4）以頻率估計概率，若從三班中隨機抽取8人，求抽到人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的分布列（列出通式即可）及期望，并說明x取何值時概率最大．【正確答案】（1）有，理由見解析（2）（3）（4）分布列見解析，，時，概率最大，理由見解析【分析】（1）計算卡方，與10.828比較后得到結(jié)論；（2）先根據(jù)分層抽樣求出1班和3班抽到的學(xué)生分布情況，再根據(jù)條件概率求出概率；（3）計算出1班和3班的總?cè)藬?shù)，以及數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)，求出相應(yīng)的頻率作為全校數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的概率，求出隨機抽取3人，抽到0人數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的概率，再利用對立事件求概率公式計算出答案；（4）由題意得到，從而求出分布列，數(shù)學(xué)期望，并利用不等式組，求出時，概率最大.【小問1詳解】，故有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績與班級有關(guān)；【小問2詳解】1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，故抽取10人，從1班抽取人數(shù)為，從3班抽取的人數(shù)為，由于1班數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀和一般人數(shù)比為4:2，故抽取的6人中有4人數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀，2人評價一般，而3班數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀和一般的人數(shù)之比為1:3，故抽取的4人中有1人數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀，3人評價一般，設(shè)抽到甲輔導(dǎo)乙為事件A，抽到丙輔導(dǎo)丁為事件B，則，，；【小問3詳解】1班和3班總?cè)藬?shù)為100人，其中兩班學(xué)生數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為，故頻率為，以頻率估計概率，全年級的數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的概率為，從全年級中隨機抽取3人，抽到0人數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的概率為，所以從全年級中隨機抽取3人，至少抽到一人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為.【小問4詳解】由題意得：3班的數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀概率為，故，所以分布列為，；數(shù)學(xué)期望，時，概率最大，理由如下：令，解得：，令，解得：，故，因為，所以.19.在△ABC中，，A、B、C、D四點共球，R（已知）為球半徑，O為球心，為外接圓圓心，（未知）為⊙半徑．（1）求和此時O到面ABC距離h；（2）在的條件下，面OAB（可以無限延伸）上是否存在一點K，使得KC⊥平面OAB？若存在，求出K點距距離和到面ABC距離，若不存在請給出理由．【正確答案】（1）為，此時，（2）存在K，滿足KC⊥平面OAB，理由見解析；，.【分析】(1)設(shè)線段的延長線與球的交點為，則，設(shè)，表示的體積，通過換元，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.(2)取的中點，連接，，過作，根據(jù)線面垂直判定定理證明KC⊥平面OAB，再通過解三角形求，.【小問1詳解】當(dāng)點為線段的延長線與球的交點時，點到平面的距離最大，所以，由球的截面性質(zhì)可得平面，設(shè)，，則，又，所以，所以，在中，，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，故，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，設(shè)，令，則，所以，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)，取最大值，最大值為，所以，所以為，此時，【小問2詳解】由(1)點與點重合，，又，取的中點，連接，，則，，平面，所以平面，過作，垂足為，因為平面，所以，，平面，所以平面，由(1)，，，所以，，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以為的中點，又，所以到直線的距離為，過作，垂足為，故點到的距離為，所以到直線的距離為，因為平面，為垂足，所以點到平面的距離為，過作，垂足為，則，所以平面，故點到平面的距離為，又所以點到平面的距離為.20.在高中的數(shù)學(xué)課上，張老師教會了我們用如下方法求解數(shù)列的前n項和：形如的數(shù)列，我們可以錯位相減的方法對其進行求和；形如的數(shù)列，我們可以使用裂項相消的方法對其進行求和．李華同學(xué)在思考錯位相減和裂項相消后的本質(zhì)后對其進行如下思考：錯位相減：設(shè)，綜上：當(dāng)中間項可以相消時，可將求解的問題用錯位相減化簡裂項相消：設(shè)或為公比為1的等比數(shù)列；①當(dāng)時，②當(dāng)為公比為1的等比數(shù)列時，；故可為簡便計算省去②的討論，綜上：可將求解的問題用裂項相消轉(zhuǎn)化為求解的問題你看了他的思考后雖覺得這是“廢話文學(xué)”，但是你立刻腦子里靈光一閃，回到座位上開始寫下了這三個問題：（1）用錯位相減的方法“溫故”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項和；（2）用裂項相消的方法“知新”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項和；（3）融會貫通，求證：前n項和滿．請基于李華同學(xué)的思考做出解答，并寫出裂項具體過程．【正確答案】（1）；（2）；（3）裂項過程見解析，證明見解析.【分析】(1)寫出的表達式，兩邊同乘，與原式相減，利用等比數(shù)列求和公式化簡即可；(2)對進行裂項，結(jié)合裂項相消法求和；(3)對進行裂項，利用裂項相消法求和，由此證明結(jié)論.【小問1詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以；【小問2詳解】因為，設(shè)，則，所以，，故所以，所以；【小問3詳解】因為，設(shè)，則，則，所以，即，所以所以，所以21.在平面直角坐標(biāo)系中，分別為，，⊙，為⊙上一點，為線段上一點，⊙C過和．（1）求點軌跡方程，并判斷軌跡形狀；（2）過兩直線交分別于、和、，，分別為和中點，求、軌跡方程，并判斷軌跡形狀；（3）在（2）的條件下，若PQ//x軸，，求點軌跡方程，并判斷軌跡形狀．【正確答案】（1）C點軌跡方程為，軌跡形狀是