2023-2024學年北京市九年級數(shù)學上學期中分類匯編：幾何綜合（原卷版）

2023-2024學年北京市九年級上期中數(shù)學分類一一幾何綜合

1.(2023秋?清華附中期中)將線段繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段NC,繼續(xù)旋轉(zhuǎn)a(0°<a<120°)

得到線段4D,連接CD.

(1)連接3D,如圖1,若a=80。，則/8OC的度數(shù)為；(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2,以為斜邊作直角三角形48E,使得連接CE,DE.若/CED=90°,

求a的值.

圖2

2.(2023秋?北京四中期中)在Rt^NBC中，ZC=90°,AC=BC,點、D為AB_L一點、.過點。作?！闖_

/C于點E,過點。作。尸，3C于點凡G為直線3c上一點，連接GE,M為線段GE的中點.連接

MD,MF,將線段V。繞點M旋轉(zhuǎn)，使點。恰好落在邊上，記為。.

(1)①在圖1中將圖形補充完整;

②求N&WZ7的度數(shù).

(2)如圖2所示，DE=J§DF，當點G,M,D'在一條直線上時，請直接寫出/GFW的度數(shù).

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3.（2023秋?北京二中期中）已知在△4BC中，AB=AC,ZBAC=a.作點3關(guān)于直線/C的對稱點D,

連接CD.在線段CD上取一點E,連接瓦4,將線段E/繞點￡順時針旋轉(zhuǎn)a度得到線段跖，連接AF

交NC于點

（1）請你依據(jù)題意，補全圖形；

（2）求/4CE的度數(shù)；（用含有a的代數(shù)式表示）

4.（2023秋?匯文中學期中）如圖，中，AB=AC,ZBAC<60°,將線段48繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)60°

得到點D,點E與點。關(guān)于直線3c對稱，連接CD,CE,DE.

（1）依題意補全圖形；

（2）判斷△CDE的形狀，并證明；

（3）請問在直線CE上是否存在點尸，使得R4-PB=CD成立?若存在，請用文字描述出點尸的準確

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5.（2023秋?人大附中朝陽學校期中）在△NBC中，AB=AC,過點C作射線C3',使//C8'=ZACB

（點B'與點3在直線/C的異側(cè)），點。是射線。3,上一個動點（不與點C重合），點E在線段3c

上，且/'￡+//0=90°.

（1）如圖1,當點E與點C重合時，在圖中畫出線段40.若=。，則CD的長為

（用含a的式子表示）；

（2）如圖2,當點E與點。不重合時，連接。E.

①求證：ZBAC=2ZDAE；

②用等式表示線段BE,CD,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

6.（2023秋?三帆中學期中）已知在RtZ\/8C中，NACB=9Q°,AC=BC,CD-B于D,￡為線段3c

上的一動點，連接即，將即繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段跖，連接交直線CD于點G.

（1）當￡與。重合時，如圖1,求證：AG=FG；

（2）當E與C不重合時，如圖2,則（1）中的結(jié)論是否成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；

（3）若NC=2,直接寫出CG長的最大值.

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7.(2023秋?北師大附屬實驗中學期中)如圖，在正方形/BCD中，將線段N3繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)a(90。

<a<180°)得到線段/E,作NR4E的角平分線交邊CD于點尸，連接班并延長交射線/尸于點R

連接CE

(1)依題意補全圖1,求N/FE1的大??；

(2)寫出線段m與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)連接CE,點G是CE的中點，48=2,直接寫出線段OG的最小值.

8.(2023秋?師大附中期中)在中，ZC=90°,Z5=a(0°<a<45°),P是線段5c上的動

點(不與點2,C重合)，將線段PC繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段PD

(1)如圖1,當a=30°,且點。在線段48上時，求證尸口=8尸;

(2)如圖2,點。在RtA/BC內(nèi)部，過點。作4D的垂線，與直線2C交于點0

①請根據(jù)題意，將圖形補充完整；

②判斷P。與尸3的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1

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9.（2023秋?陳經(jīng)綸中學期中）如圖，在△/8C中，ZA=a（0°<aW90°）,將8C邊繞點C逆時針旋

轉(zhuǎn)（180°-a）得到線段CD.

（1）判斷與//CD的數(shù)量關(guān)系并證明；

（2）將/C邊繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段CE,連接DE與/C邊交于點M（不與點/,C重合）.

①用等式表示線段DM,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②若N2=a,AC=b,直接寫出的長.（用含a,b的式子表示）

10.（2023秋?十五中期中）如圖，四邊形/BCD是正方形，以點/為中心，將線段N2順時針旋轉(zhuǎn)ci（0°

<a<90°）,得到線段連接。E,BE.

（1）求/DEB的度數(shù)；

（2）過點3作于點尸，連接CF,依題意補全圖形，用等式表示線段DE與CF的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

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11.（2023秋?景山學校期中）在△48C中，AB=AC,/8/C=90°,點。為直線NC上一個動點（點。

不與點4,C重合），連接AD,將線段AD繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段連接CE.

（1）如圖1,若點。在線段NC上.

①依題意補全圖1；

②用等式表示線段C8,CD,C￡之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）若點。在線段C4的延長線上，且設(shè)BC=m,BD=n,直接寫出CE的長（用含"

的式子表示）.

圖1備用圖

12.（2023秋?鐵路二中期中）已知/M4N=45°,點2為射線ZN上一定點，點C為射線上一動點（不

與點/重合），點。在線段8C的延長線上，且CO=CB,過點。作于點E.

（1）當點。運動到如圖1的位置時，點E恰好與點。重合，此時NC與。E的數(shù)量關(guān)系是；

（2）當點C運動到如圖2的位置時，依題意補全圖形，并證明：2AC=AE+DE；

（3）在點C運動的過程中，點E能否在射線的反向延長線上？若能，直接用等式表示線段/C,

AE,之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請說明理由.

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13.(2023秋?北京八中期中)在學習旋轉(zhuǎn)時，老師提出這樣一個問題:

已知點P為其內(nèi)部一點，在。/與。2上分別求作點N,使得部為等腰直角三角形，

其中NMPN=90°.

以下是同學們思考后的兩種正確作法：

作法1：如圖1,作PCJ_O8于C,以尸為旋轉(zhuǎn)中心將線段尸。順時針旋轉(zhuǎn)90°到P。，作交

于連接尸“，在。。延長線確定一點N,使得CN=。"，連接PN,MN,則即為所求.

作法2：如圖2,過點P作尸CL08于點C,以C為圓心，CP為半徑作圓，交于點。，E,連接

PE,PD.作ZW_L02交。4于連接尸作PNLPM交OB于N,連接則△〃時即為所求.

(1)請選擇其中的一個作法，證明它是正確的.

(2)從下列題目任選一題作答.

①如圖3,若//。8=45°,在圖1中，連接CD,交"N于點0.求證：MQ=NQ-,

②如圖4,若乙4。5=45°,在圖2中，過點C作CF_LCM,交.MN于點、Q.求證：MQ^NQ.

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14.（2023秋?德勝中學期中）如圖，點￡在等邊三角形N3C的邊的延長線上.過點。作于

點D,將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段環(huán).作點B關(guān)于點E的對稱點G,連接CF,FG,

CG.

C

ABE

②證明：AC//EF；

（2）/CFG的度數(shù)是°,請說明理由.

15.（2023秋?首師大附中朝陽學校期中）問題背景：（1）如圖1,△NCZ?和△（7所都是等腰直角三角形，

點E在上，連BF,求證：BFLAB-,

遷移運用：（2）如圖2,在△N8C中，AB=AC,48/。=120°,點P在△/8C外，PA=2,尸5=6,

ZBPA=60°,求尸C的長；

拓展提升：（3）如圖3,在等腰Rt4/BC中，AC=BC,ZACB=90°,點￡、尸在△/BC外，ZECF

=135°,BE//AF,直接寫出線段BE、AF.斯之間的關(guān)系.

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16.(2023秋?華夏女子中學期中)在△ZBC中，ZACB=90°,CA=CB,將線段C4繞點C順時針旋轉(zhuǎn)

到如圖所示的位置，得到線段C。，連接4D,BD.CF平分NBCD交BD于點G,交的延長線于點

F,連接5足

(1)依題意補全圖形；

(2)①求NDFC的度數(shù)；

②用等式表示線段FB,尸C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

17.(2023秋?陳經(jīng)綸中學望京分校期中)△4C8中，ZC=90°,以點/為中心，分別將線段/C逆

時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,連接。E,延長。E交于點尸.

(I)如圖I,若N8=30°,/CFE的度數(shù)為；

(2)如圖2,當30°<ZB<60°時，

①依題意補全圖2；

②猜想C尸與NC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

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18.(2023秋?北師大亞太實驗學校期中)如圖，〃?為正方形/BCD內(nèi)一點，點N在邊上，且/BMN

=90°,MN=2MB.點E為ACV的中點，點尸為。E的中點，連接并延長到點尸，使得尸尸=尸河,

連接DF.

(1)依題意補全圖形；

(2)求證：DF=BM；

(3)連接用等式表示線段和的數(shù)量關(guān)系并證明.

19.(2023秋?西城區(qū)校級期中)如圖，在等邊△/8C中，D,E分別是邊NC,8C上的點，且C￡>=C￡,

ZDBC<30°,點。與點尸關(guān)于AD對稱，連接/尸，F(xiàn)E,FE交BD于G.

(1)連接。E,DF,貝1]￡>￡,。尸之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)若/DBC=cc,求/EEC的大??；(用a的式子表示)

(3)用等式表示線段8G,G尸和旗之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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20.（2023秋?京源學校期中）如圖1,在口/BCD中，ZELBC于。E恰為BC的中點，AE=2BE

（1）求證：AD=AE；

（2）如圖2,點尸在BE上，作EF_LDP于點尸,連接/反求證：DF-EF=M&F；

（3）請你在備用圖中畫圖探究：當尸為射線EC上任意一點（尸不與點E重合）時，作斯，。尸于點

F,連接/R線段DR跖與/尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論.

21.（2023秋?北京三中期中）如圖，在等邊三角形中，點P為△48C內(nèi)一點，連接/P,BP,CP,

將線段4P繞點/順時針旋轉(zhuǎn)60°得到/P,連接尸尸，BP'.

（1）用等式表示3P與C尸的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當N3PC=120°時，

①直接寫出NP8P的度數(shù)為；

②若“為BC的中點，連接尸用等式表示尸W與/尸的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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22.(2023秋?牛欄山中學實驗學校期中)四邊形/BCD是正方形，將線段CD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)2a(0。

<a<45°),得到線段CE,連接DE,過點2作AFUDE交DE的延長線于R連接8E.

(1)依題意補全圖1;

(2)直接寫出/E8E的度數(shù);

(3)連接/凡用等式表示線段Nb與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

備用圖

23.(2023秋?北京二中朝陽學校期中)如圖，4D是△/8C的高，點2關(guān)于直線/C的對稱點為E,連接

CE,9為線段CE上一點(不與點E重合)，AF=AB.

(1)比較N4FE1與/48C的大??；

(2)用等式表示線段8。，M的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)連接2/，取AF的中點連接DM.判斷ZW與/C的位置關(guān)系，并證明.

備用圖

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24.(2023秋?北京九中期中)已知：如圖①，在正方形48CZ)中，點尸是8C上一個動點，點E在CD

的延長線上，且BF=DE,連接AF,EF,EH平分/FEC,交AC于點、H,連接下區(qū)

(1)直接寫出/￡與/尸的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

(2)求證：AH=AF；

(3)如圖②，當點/在射線8C上運動時，過〃作于點尸，直接寫出線段HP,EF與AB之

間的數(shù)量關(guān)系.

(備用圖)

25.(2023秋?171中學期中)如圖1,在中，/48C=90°,BA=BC,直線MN是過點/的直

線CZ)_LMN于點。，連接3D

(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC,AD,3。之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)過觀察思考，小

明出一種思路：如圖1,過點B作BELBD,交MN于點、E,進而得出：DC+/D=BD.

(2)探究證明

將直線九W繞點/順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時線段。C,AD,3。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

(3)拓展延伸

在直線九W繞點/旋轉(zhuǎn)的過程中，當△43。面積取得最大值時，若CD長為1,請直接寫3。的長.

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26.(2023秋?八十中學期中)在△N8C中，Z5=ZC=a(0°<a<45°),NO_L8C于點。，尸為線段

上的動點(不與點8、。重合)，連接4P并將線段/尸繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)180°-2a,得到線段/P,

連接PP,取尸P的中點0.

(1)依題意補全圖形；

(2)用含a的式子表示入BCP,并說明理由；

(3)點M為線段DC上一點，當必)與AP滿足的數(shù)量關(guān)系為時，對于任意的點尸，

總有/QMB=2a,證明你的結(jié)論.

27.(2023秋?和平街一中期中)已知△/￡>￡和都是等腰直角三角形，ZADE=ZBAC=90°,尸為

/￡的中點，連接DP.

(1)如圖1,點/,B,。在同一條直線上，直接寫出DP與4E的位置關(guān)系；

(2)將圖1中的△4DE繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)，當4D落在圖2所示的位置時，點C,D,尸恰好在同一

條直線上.

①在圖2中，按要求補全圖形，并證明NA4E=//CP；

②連接AD,交/￡于點尸.判斷線段8尸與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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28.(2023秋?東直門中學期中)已知正方形48。和一動點￡,連接CE,將線段CE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)

90°得到線段CF,連接BE,DF.

(1)如圖1,當點￡在正方形48c〃內(nèi)部時：

①依題意補全圖1；

②求證：BE=DF；

(2)如圖2,當點E在正方形42。外部時，連接NR取/尸中點連接ZE,DM,用等式表示線

29.(2023秋?門頭溝大峪中學期中)如圖，4D是△/2C的高，點8關(guān)于直線/C的對稱點為E,連接CE,

產(chǎn)為線段CE上一點(不與點￡重合)，AF=AB.

(1)用等式表示線段環(huán)的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)連接3凡取3尸的中點連接。河，判斷DW與/C的位置關(guān)系，并證明.

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30.(2023秋?朝陽外國語學校期中)在平面直角坐標系中，四邊形/02C是矩形，點。(0,0),點/(6,

0),點8(0,8).以點/為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形/O8C,得到矩形/。防，點。，B,C的對應點分

別為E,F,記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°).

(I)如圖①，當a=30°時，求點D的坐標；

(II)如圖②，當點E落在/C的延長線上時，求點。的坐標；

(III)當點。落在線段OC上時，求點￡的坐標(直接寫出結(jié)果即可).

圖①圖②

31.(2023秋?廣渠門中學期中)己知四邊形/BCD是正方形，將線段CD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<

90°),得到線段C￡,連接3￡、CE、DE.過點8作3￡交線段的延長線于足

(1)如圖，當時，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

(2)當旋轉(zhuǎn)角a的大小發(fā)生變化時，/3￡尸的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請用含a的代數(shù)式表示；

如果不變，請求出N3跖的度數(shù)；

(3)聯(lián)結(jié)/凡求證：DE=42AF.

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32.（2023秋?五十五中學期中）在等腰直角△/BC中，AB=AC,ZA=90°,過點3作8c的垂線/.點

產(chǎn)為直線48上的一個動點（不與點力,8重合），將射線PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°交直線/于點D.

（1）如圖1,點P在線段上，依題意補全圖形.

①求證：/BDP=/PCB；

②用等式表示線段8C,BD,8尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）點尸在線段的延長線上，直接寫出線段8C,BD,3P之間的數(shù)量關(guān)系.

備用圖

33.（2023秋?三十五中期中）在△NBC中，BC=AC,ZACB=90°,點。是平面內(nèi)一動點（不與點4

。重合），連接CD,將CD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°至CE的位置.

圖2

(1)如圖1,若點。為△48C邊的中點，AC=2,則值為

(2)如圖2,若點。在△N3C的邊AB上，取NE中點"，用等式表示線段CM,AD之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

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34.(2023秋?十三分期中)已知正方形48。，將線段8/繞點8旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),得到線段8E,

連接E4,EC.

(1)如圖1,當點￡在正方形/BCD的內(nèi)部時，若BE平分/ABC,AB=4,則/4EC=°

四邊形N2CE的面積為；

(2)當點￡在正方形/BCD的外部時，

①在圖2中依題意補全圖形，并求//EC的度數(shù)；

②作/E3C的平分線3尸交EC于點G,交￡/的延長線于點R連接CF.用等式表示線段ZE,FB,

尸C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

35.(2023秋?西城外國語期中)如圖，已知△/2C為等腰直角三角形，NB4c=90°,AB=2.點D為△

/8C內(nèi)一點，且有/3。/=90°,點尸為3C中點，連接DP

(1)連結(jié)/P并證明乙弘)尸=45°；

(2)寫出線段NO,BD,尸〃之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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36.(2023秋?文匯中學期中)如圖，△NBC是等腰直角三角形，乙4cB=90°,AC=BC,。為NC延長

線上一點，連接AD,將線段AD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段。E,過點E作斯，/C于點尸，連

接力￡

(1)依題意補全圖形；

(2)比較//與CD的大小，并證明；

(3)連接3E,G為3E的中點，連接CG,用等式表示線段CD,CG,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

37.(2023秋?161中學期中)在RtZX/BC中，ZACB=90°,AC=],記a，點。為射線5c上

的動點，連接4D,將射線N繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a角后得到射線過點/作4D的垂線，與射線

交于點P,點8關(guān)于點。的對稱點為。，連接尸0.

(1)當△/AD為等邊三角形時，

①依題意補全圖1；

②PQ的長為；

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38.（2023秋?北京中學期中）如圖，正方形N5CD中，點E是邊8C上的一點，連接/￡,將射線NE繞

點/逆時針旋轉(zhuǎn)90°交CO的延長線于點R連接所，取跖中點G,連接DG.

（1）依題意補全圖形；用等式表示N/DG與/CDG的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）若用等式表示線段3c與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

39.（2023秋?166中學期中）如圖，在正方形48CD中，￡是邊8C上一動點（不與點8,C重合），連接

點C關(guān)于直線DE的對稱點為C',連接/。并延長交直線。E于點P,尸是AC'中點，連接DF.

（1）求NED尸的度數(shù)；

（2）連接3P,請用等式表示/尸，BP,DP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）若正方形的邊長為丁萬，請直接寫出△NC。的面積最大值.

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40.(2023秋?十四中期中)如圖，在正方形/BCD中，尸是邊3C上的一動點(不與點8,C重合)，點8

關(guān)于直線4P的對稱點為￡,連接連接。E并延長交射線4P于點尸，連接AF.

(1)若/34P=a,直接寫出/ND尸的大小(用含a的式子表示)；

(2)求證：BF1DF；

(3)連接CF,用等式表示線段NF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

41.(2023秋?回民中學期中)如圖，在△45C中，ZACB=90°,AC=BC,P,。為射線48上兩點(點

。在點尸的左側(cè))，且尸D=8C,連接CP以尸為中心，將線段PD逆時針旋轉(zhuǎn)/(0<?<180)得

線段PE.

(1)如圖1,當四邊形NCPE是平行四邊形時，畫出圖形，并直接寫出〃的值;

(2)當“=135°時，M為線段4￡的中點，連接

①在圖2中依題意補全圖形；

②用等式表示線段C尸與尸M之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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42.(2023秋?海淀區(qū)期中)如圖，在△/8C中，AC=BC,ZACB=90°,點。在上(BDVAD),過

點D作DELBC于點E,連接將線段瓦4繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段所，連接。足

(1)依題意補全圖形；

(2)求證：FD=ABy

(3)。尸交于點G,用等式表示線段CE和尸G的數(shù)量關(guān)系，并證明.

43.(2023秋?昌平區(qū)期中)如圖，在等邊中，作/4CD=/NAD=45°,邊CD、BD交于點、D,

連接AD.

(1)請直接寫出NCD8的度數(shù)；

(2)求N4DC的度數(shù)；

(3)用等式表示線段N。、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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44.（2023秋?昌平區(qū)期中）已知等邊△4SC中的邊長為4,點尸，M分別是邊3C,/C上的一點，以點尸

為頂點，作NMW=60°,PN與直線AB交于點、N.

（1）依題意補全圖1；

（2）求證：BN，CM=CP，BP；

（3）如圖2,若點尸為8C中點，AM=2AN,求NN的長.

45.（2023秋?延慶區(qū)期中）小明遇到這樣一個問題：如圖1,在△4SC中，點。在邊上，且

20°,ZDCB=80°,CD=2M，AD：DB=1：2,求/C的長.

圖3

小明發(fā)現(xiàn)，過點/作NE〃8C,交CD的延長線于點￡,通過構(gòu)造△NEC,經(jīng)過推理和計算能夠使問題

得到解決（如圖2）.

（1）請回答：/◎￡的度數(shù)為；/C的長為；

（2）參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在四邊形/BCD中，AC與BD交于點、E,且ZBDC=45°,Z￡>5C=67.5°,EC：

/E=l：2,DE=2,求48的長.

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46.（2023秋?豐臺區(qū)期中）如圖，在正方形N3CD中，點P是線段NC延長線上一動點，連接。尸，將線

段。尸繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段D。，連接尸。，BP,作直線3。交/C于點E.

（1）依題意補全圖形；

(2)求證：NPB