經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件：線性方程組

線性方程組第一節(jié)線性方程組的解一、線性方程組有解的判定條件定理3.1.1

n元線性非齊次方程組即并且①當(dāng)時(shí)，有惟一解

②當(dāng)時(shí)，有無窮解（1）無解的充分必要條件是（2）有解的充分必要條件是證明：設(shè)（1）若，則會(huì)得到同解方程組出現(xiàn)矛盾，因此原方程組無解（2）若，則得到因此原方程組有惟一解（2）若，則得到同解方程組稱為自由未知量，個(gè)數(shù)是個(gè)。

定理3.1.1可以簡單記為：

n元線性方程組有解的充分必要條件是，并且自由未知量的個(gè)數(shù)為個(gè).例3.1.1

求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換故方程組無解例3.1.2

求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換故方程組有解，且有4－2＝2個(gè)自由未知量同解方程組為取為自由未知量,得行最簡矩陣所以方程組的通解為令，則即有無窮解的充分必要條件是并且自由未知量的個(gè)數(shù)為個(gè)齊次線性方程組只有零解定理3.1.2

n元線性齊次方程組例3.1.3

解線性方程組解故有無窮解，并且自由未知量的個(gè)數(shù)為4－2＝2個(gè)因此得同解方程組為取為自由未知量,得原方程組通解為令，則例3.1.4

設(shè)有線性方程組問取何值時(shí)，①有惟一解？②無解？③有無窮解？并求其通解。解:（1）當(dāng)且時(shí)，故方程組有唯一解（2）當(dāng)時(shí)，故方程組無解。（3）當(dāng)時(shí)，故方程組通解為：方程組解有無窮組解練習(xí)解線性方程組解故有無窮解，并且自由未知量的個(gè)數(shù)為5－2＝3個(gè)因此得令，則練習(xí)解線性方程組答案同解方程組為原方程組同解為二、小結(jié)有無窮多解.?()()nBRAR<=齊次線性方程組只有零解有非零解一定注意：n指的是未知量的個(gè)數(shù)或系數(shù)矩陣A的列數(shù)非齊次線性方程組?無解?()()nBRAR==唯一解第二節(jié)向量組及其線性組合3.2.1、向量組與矩陣定義3.2.1

n個(gè)有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為n維向量.記為：或

n維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示。

n維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示。注意

１.行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；

２.行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；

３.當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量。

若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。例如是一個(gè)三維向量組。是一個(gè)四維向量組。向量組與矩陣的關(guān)系向量組稱為矩陣的列向量組。記為：向量組

：這時(shí)，矩陣也可記為：向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組。3.2.2線性組合與線性表示定義3.2.4（1）線性組合就是向量組A的一個(gè)線性組合。例如定義3.2.4（2）給定向量組和另一個(gè)向量，如果存在一組數(shù)，使則稱向量可由向量組線性表示。顯然，零向量可由任何向量組線性表示。定理3.2.1：向量可由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩。例3.2.5設(shè)判斷：能否由向量組線性表示，若能求出線性表達(dá)式解：由于，所以能由線性表示。設(shè)同解方程組為取為自由未知量，得令取任意常數(shù)，因此有練習(xí)1設(shè)證明：可由線性表示，并求表達(dá)式而不可由線性表示。答案：練習(xí)2設(shè)且可由線性表示，求解：因此3.2.3向量組的等價(jià)設(shè)有兩個(gè)向量組和若向量組中的每一個(gè)向量都可由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示。定理3.2.3向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是定義3.2.5若向量組和向量組能夠相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。向量組等價(jià)也有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）反身性；（2）對稱性；（3）傳遞性推論：3.2.1向量組和向量組等價(jià)的充分必要條件是例3.2.6設(shè)證明：與等價(jià)證：顯然，又故所以，和等價(jià)。四、小結(jié)（1）可由線性表示向量方程有解（2）向量組可由向量組線性表示（3）向量組與向量組等價(jià)第三節(jié)線性相關(guān)性概念3.3.1線性相關(guān)性的概念注意1.如果向量組線性無關(guān)，則只有當(dāng)時(shí)，才有：定義3.3.1則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)。（零向量）5.兩個(gè)向量相關(guān)的充要條件是這兩個(gè)向量對應(yīng)的分量成比例.例3.3.2已知向量組線性無關(guān)，證明：向量組也線性無關(guān)。證：設(shè)這就說明無關(guān)。故方程組只有零解，因此

定理3.3.1

向量組（當(dāng)時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示。證明充分性即有

設(shè)中有一個(gè)向量（比如）能由其余向量線性表示。故因這個(gè)數(shù)不全為0，故線性相關(guān)。必要性設(shè)線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使因中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線性表示。

推論3.3.1

向量組（當(dāng)時(shí)）線性無關(guān)的充分必要條件是其中任何一個(gè)向量都不能由其余的向量線性表示.例如：由于，所以相關(guān)向量組線性相關(guān)方程組：有非零解3.3.2線性相關(guān)性的判定定理3.3.2向量組：線性相關(guān)的充要條件是向量組：線性無關(guān)的充要條件是因此n維單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)的.稱為n維單位坐標(biāo)向量組.解：向量組線性相關(guān)；向量組線性無關(guān)；練習(xí)設(shè)是一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量組能由它們線性表示，證明：線性無關(guān)證：只須證明。一方面，另一方面，由于能由線性表示，因此故記住：n+1個(gè)n維向量必相關(guān)。必相關(guān)推論3.3.1m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān).定理3.3.3設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表示，且表示式惟一。無關(guān)，相關(guān)，定理3.3.4若向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)；反之，若向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)。顯然相關(guān)，故B也顯然相關(guān)。

該定理可以推廣為：一個(gè)向量組若部分相關(guān)，則整體也相關(guān)；若整體無關(guān)，則部分也無關(guān)。顯然無關(guān)，也無關(guān)。若向量組無關(guān)，則向量組也無關(guān)；反之，若相關(guān)，則也相關(guān)。無關(guān)，也無關(guān)定理3.3.5相關(guān)，還是相關(guān)。思考題練習(xí)設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，證明：（1）能由線性表示；（2）不能由線性表示。證明：（1）因?yàn)榫€性無關(guān)，故也無關(guān)又相關(guān)，所以可由線性表示（2）假設(shè)可由線性表示，而由（1）又可由線性表示，因此可由線性表示，這與無關(guān)矛盾。第四節(jié)齊次線性方程組

解的結(jié)構(gòu)復(fù)習(xí)推論

n元線性方程組有無窮解的充分必要條件是（1）無解的充分必要條件是n元線性方程組并且①有惟一解：（2）有解的充分必要條件是②有無窮解：3.4.1齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若為的解，則

也是的解.

證明（2）若為的解，為實(shí)數(shù)，則也是的解.證明用表示齊次方程組的全體解向量所組成的集合，則由這兩個(gè)性質(zhì)知中一定含有無窮多個(gè)解向量，因此是一個(gè)含有無窮多個(gè)向量的向量組，故只要找到的一個(gè)最大無關(guān)組，就能把表示出來。定義3.4.1設(shè)齊次方程組有非零解，如果它的s個(gè)解向量滿足：（1）線性無關(guān)；（2）的任何一個(gè)解都可以由線性表示，即則稱是方程組的基礎(chǔ)解系.3.4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)并且方程組的通解為：定理3.4.1

n元齊次方程組，設(shè)系數(shù)矩陣的秩，則的基礎(chǔ)解系存在：

其中，為的一個(gè)基礎(chǔ)解系，

為任意實(shí)數(shù)例3.4.1

求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并寫出其通解。解令為自由未知量，得：代入上述方程組，得

原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：

故原方程組的通解為上面的方法是先寫出基礎(chǔ)解系，再寫出通解而3.1節(jié)介紹的方法是先寫通解，再寫出基礎(chǔ)解系即由得到上式中令，則從而，原方程通解為由上述通解，可得是原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系另外，在若取得則得到不同的基礎(chǔ)解系從而通解為練習(xí)1：求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解。得基礎(chǔ)解系：令得基礎(chǔ)解系：若令練習(xí)2.求，使齊次方程組有非零解，并求通解。解：所以，當(dāng)＝0即=0或1時(shí)，有非零解。（1）將＝0代入原方程組，得到由于，基礎(chǔ)解系含有一個(gè)解向量，取為自由未知量，得同解方程組為令＝1，則基礎(chǔ)解系為通解為，其中為任意常數(shù)。（2）同理將＝1代入原方程組，得到由于，基礎(chǔ)解系含有一個(gè)解向量，取為自由未知量，得同解方程組為令＝1，則基礎(chǔ)解系為通解為其中為任意常數(shù)。第五節(jié)非齊次方程組

解的結(jié)構(gòu)證明3.5.1非齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）設(shè)都是的解向量，則為對應(yīng)的齊次方程的解。證明（2）設(shè)是的解，是對應(yīng)的齊次方程的解，則仍是非齊次方程的解。設(shè)是的任意解，是的一個(gè)特解，則就是的任意解。又設(shè)是的基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組的通解為其中為非齊次方程的一個(gè)特解，為對應(yīng)的齊次方程的通解。

3.5.2非齊次線性方程組解的性質(zhì)例3.5.1

求下述方程組的通解解：由于，所以方程組有無窮解。令，得方程組的一個(gè)特解為又原方程組對應(yīng)的齊次方程組的同解方程組為：其基礎(chǔ)解系為：取為自由未知量，同解方程組為：故原方程組通解為：其中，為任意常數(shù)。解練習(xí)1

求下述方程組的解所以方程組有無窮多解.且原方程組等價(jià)于方程組所以原方程組的一個(gè)特解為又原方程組對應(yīng)的齊次方程組的同解方程組為：

令得齊次方程組的基礎(chǔ)解系為：故原方程組通解為：練習(xí)2求方程組的通解主要內(nèi)容典型例題第三章矩陣的初等變換

與線性方程組

習(xí)題課

矩陣的初等變換初等變換等價(jià)矩陣初等矩陣秩的定義相關(guān)定理及性質(zhì)矩陣的秩相關(guān)定理行階梯形矩陣行最簡形矩陣矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形有解判別定理方程組的解法線性方程組１初等變換的定義初等變換逆變換

三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換。反身性傳遞性對稱性２矩陣的等價(jià)由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣。３初等矩陣

（１）換法變換：對調(diào)兩行（列），得初等矩陣E(i,j)。

（２）倍法變換：以數(shù)k（非零）乘某行（列），得初等矩陣E(i(k))。

（３）消法變換：以數(shù)k乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣E(ij(k))。經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元。例如４行階梯形矩陣經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0。例如５行最簡形矩陣對行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都為0。例如６矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡單的矩陣。定義７矩陣的秩定義定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)。８矩陣秩的性質(zhì)及定理定理定理９線性方程組有解判別定理

齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，寫出通解。

非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡形矩陣，寫出通解