經(jīng)濟數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件：樣本及抽樣分布

樣本及抽樣分布第一節(jié)總體與樣本第二節(jié)統(tǒng)計量第三節(jié)數(shù)理統(tǒng)計中的幾種常見分布第四節(jié)正態(tài)總體的抽樣分布第一節(jié)總體與樣本

從理論上講，只要對隨機變量進行大量的觀測(或?qū)嶒?，被研究的隨機變量的概率特征一定能顯現(xiàn)出來。如：進行大量射擊，則射手的水平高低、平均中靶環(huán)數(shù)、射中每個環(huán)數(shù)概率都可大概知曉?？墒菍嶋H進行的觀測（或?qū)嶒灒┐螖?shù)只能是有限的，有的甚至是少量的．因此，我們關(guān)心的問題就是怎樣有效地利用收集到的有限的資料，盡可能地對被研究的隨機變量的概率特征作出精確而可靠的結(jié)論．

例如，我們考察某廠生產(chǎn)的一大批燈泡的質(zhì)量。在正常生產(chǎn)情況下，燈泡的質(zhì)量主要表現(xiàn)為它們的平均壽命是穩(wěn)定的.然而，由于生產(chǎn)中各種隨機因素的影響，各個燈泡的壽命是不完全相同的．要檢驗燈泡的平均壽命就需要測試每一個的壽命。實際上，由于受到人力、物力等的限制，不可能對每一個燈泡的壽命進行測試，特別地，測定燈泡壽命的試驗具有破壞性，因此對全部燈泡一一進行測試也不可能。一般只是從所有燈泡中抽取一些進行測試，再根據(jù)這一部分?jǐn)?shù)據(jù)來推斷整體的情況。如：上面的例子中，該廠生產(chǎn)的所有燈泡的壽命就是總體，而每一個燈泡的壽命就是個體．一、總體與個體總體：被研究的對象的全體，個體：組成總體的各個元素．

以X表示燈泡的壽命，每個燈泡的壽命對應(yīng)的X一個取值,則所有燈泡的壽命即為X取值的全體。二、抽樣與樣本上例中，從所有的燈泡中抽取一個測試其壽命，就相當(dāng)于對燈泡的壽命這個隨機變量X進行一次試驗（或觀測），得到的一個具體的燈泡壽命的數(shù)據(jù)。從總體中抽取一個個體，就是對代表總體的隨機變量X進行一次試驗（或觀測），得到的一個試驗數(shù)據(jù)（或觀測值）．

從總體中抽取一部分個體，就是對隨機變量進行若干次試驗（觀測），得到的若干個試驗數(shù)據(jù)（或觀測值）．從總體中抽取若干個個體的過程稱為抽樣。抽樣得到的一組試驗數(shù)據(jù)（觀測值）稱為樣本。樣本中所含個體的數(shù)量稱為樣本容量。

由于樣本隨每次抽樣觀察而改變，所以容量為的樣本可以看做一個維隨機變量，而一旦取定一組樣本，就得到了個具體的數(shù)，稱為樣本的一次觀測值，簡稱樣本觀測值．常用的抽樣方式是簡單隨機抽樣：（1）代表性：

這種隨機的、獨立的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣，由此得到的樣本稱為簡單隨機樣本．樣本中的每一個分量與總體X有相同的分布；（2）獨立性：每次抽樣的結(jié)果既不影響其它各次抽樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響，即是相互獨立的。如果是從總體X中抽取的簡單隨機樣本，則相互獨立且與總體X同分布．

今后，如不加特殊說明，本書中提到的抽樣和樣本指的都是簡單隨機抽樣和簡單隨機樣本．第二節(jié)統(tǒng)計量

為了對總體X進行推斷，需要從總體中抽取樣本，再對樣本進行加工處理，也就是說需要根據(jù)不同的問題構(gòu)造出適用的樣本函數(shù)．

由于總體X的分布未知，作為分布的重要特征的參數(shù)一般也未知，所以作為推斷的依據(jù)，我們要求構(gòu)造的樣本函數(shù)中不含有任何未知參數(shù)．定義1設(shè)為來自總體X的一個簡單隨機樣本，如果樣本函數(shù)中不含有任何未知參數(shù)，則稱這類樣本函數(shù)為統(tǒng)計量．例如：總體,是其樣本，當(dāng)未知時，因為都是隨機變量，所以統(tǒng)計量也是一個隨機變量，若是樣本觀測值，則即為統(tǒng)計量的觀測值．不是統(tǒng)計量是統(tǒng)計量(1)樣本均值：觀測值：(2)樣本方差觀測值：數(shù)理統(tǒng)計中最常用的統(tǒng)計量及其觀測值有：(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差：觀測值：(4)樣本k階原點矩：觀測值：(5)樣本k階中心矩：觀測值：

例1從總體中抽取一組樣本，其樣本觀測值如下：19.120.021.218.819.620.522.021.619.420.3計算樣本均值、樣本方差及樣本二階中心矩的觀測值．解：把上述10個數(shù)據(jù)逐個輸入計算器或計算機中，不難求得第三節(jié)數(shù)理統(tǒng)計中的幾種常見分布一、分布則稱X服從自由度為n的

分布，記為定義1設(shè)隨機變量相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則隨機變量其中伽瑪函數(shù)通過積分來定義。服從的隨機變量的概率密度函數(shù)為的圖像：定義2設(shè)連續(xù)性隨機變量X的概率密度函數(shù)為，對于給定的實數(shù)和,有則稱為隨機變量X的分布的上分位點．則稱為分布的上分位點。定義3若，且滿足例如：已知,．本書附表3中，對于不同的,給出了的值．二、t分布

的圖形如圖所示:定義4設(shè)，，且獨立服從自由度為的分布則隨機變量記為服從t(n)的隨機變量X的概率密度函數(shù)為

的圖形如圖所示:故當(dāng)足夠大時,分布近似于分布。但對于較小的，分布與分布相差較大.的點為分布的上分位點.對于給定的，，稱滿足條件

t分布的上分位點可由附表4查得。例如：已知隨機變量，則．三、F分布

的圖形如圖所示:定義6且相互獨立，服從自由度為的分布則隨機變量記為服從分布的隨機變量X的概率密度函數(shù)為對于給定的,稱滿足條件的點為分布的上分位點定理3且相互獨立，服從自由度為的分布則隨機變量記為注：F分布的分位點可由附表5查得。利用這個等式，查附錄表，可以計算當(dāng)時的的值例如從總體X中抽取容量n的樣本，第四節(jié)正態(tài)總體的抽樣分布樣本均值與樣本方差分別是定理1若是來自正態(tài)總體的樣本，則樣本均值與樣本方差相互獨立，并且

例1設(shè)總體，從總體中抽取容量為9的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對值小于2的概率,如果（1）已知總體方差；（2）總體方差未知，但已知樣本方差的觀測值解：（1）解：（2）例1設(shè)總體，從總體中抽取容量為9的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對值小于2的概率,如果（1）已知總體方差；（2）總體方差未知，但已知樣本方差的觀測值（2）未知，求。解：（1）例2設(shè)總體，從總體中抽取容