2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.1-平面向量的概念及線性運(yùn)算-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.1-平面向量的概念及線性運(yùn)算-專項(xiàng)訓(xùn)練【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1．已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb2．如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))3．矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)．若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，則λ2＋μ2＝()A．eq\f(5,8) B．eq\f(1,4)C．1 D．eq\f(5,16)4．(多選)設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)5．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________．6．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正確命題有________(填序號(hào)).7．如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近B點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)試用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．(多選)下列命題中正確的是()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向與a，b之一的方向一定相同2．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CA,\s\up6(→))|)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(4,3)3．如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝λeq\o(FD,\s\up6(→))＋μeq\o(FE,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．44．已知等腰梯形ABCD滿足AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)P，且AB＝2CD＝2BC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))B．|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|C．eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))5．已知直線l上有三點(diǎn)A，B，C，O為l外一點(diǎn)，又等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a1＋a3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋2a10eq\o(OC,\s\up6(→))，則S11＝()A．eq\f(11,4) B．3C．eq\f(11,2) D．eq\f(13,2)6．設(shè)P，Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為()A．eq\f(4,5) B．eq\f(8,5)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,10)7．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心間的距離是垂心和重心間的距離之半．這個(gè)定理就是著名的歐拉線定理．設(shè)在△ABC中，點(diǎn)O，H，G分別是其外心、垂心、重心，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是________(填序號(hào)).①eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(OG,\s\up6(→))；②eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；③設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，則有eq\o(AH,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))；④eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).8．已知在△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝eq\f(π,3).若OC與線段AB交于點(diǎn)P，且滿足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，則λ＋μ的最大值為________．9．如圖，在△ABC中，M為線段BC的中點(diǎn)，G為線段AM上一點(diǎn)，eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GM,\s\up6(→))，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB，AC于P，Q兩點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AP,\s\up6(→))(x＞0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AQ,\s\up6(→))(y＞0)，則eq\f(4,x)＋eq\f(1,y＋1)的最小值為________．10．如圖，已知正六邊形ABCDEF，M，N分別是對(duì)角線AC，CE上的點(diǎn)，使得eq\f(AM,AC)＝eq\f(CN,CE)＝r，當(dāng)r＝________時(shí)，B，M，N三點(diǎn)共線．參考答案【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1．解析：因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a與b共線同向，故D正確．答案：D2．解析：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，易得eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).答案：D3．解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，∴λ2＋μ2＝eq\f(1,16)＋eq\f(9,16)＝eq\f(5,8).答案：A4．解析：若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故A正確；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，則點(diǎn)M在邊CB的延長(zhǎng)線上，故B錯(cuò)誤；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)M是△ABC的重心，故C正確；如圖，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，則M為AN的中點(diǎn)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)，故D正確．答案：ACD5．解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0.又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①錯(cuò)誤；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正確；eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正確；eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0，故④正確．答案：②③④7．(1)解：在△ABC中，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,4)(b－a)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b.(2)證明：因?yàn)閑q\o(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,3)b))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))與eq\o(BE,\s\up6(→))共線，且有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．解析：對(duì)于A選項(xiàng)，0平行于任何向量，若b＝0，滿足a∥b，b∥c，但不一定滿足a∥c，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，首尾順次相接，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，兩個(gè)單位向量互相平行，這兩個(gè)單位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，零向量的方向是任意的，故D錯(cuò)誤．答案：BC2．解析：由eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝3eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(CA,\s\up6(→))|，即eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CA,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4).答案：B3．解析：∵eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(FO,\s\up6(→))＝4×eq\f(1,2)(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))，∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.答案：D4．解析：依題意，顯然△APB∽△CPD，故有eq\f(AB,CD)＝eq\f(AP,PC)＝eq\f(PB,PD)＝eq\f(2,1)，即AP＝2PC，PB＝2PD，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，故A正確；又四邊形ABCD是等腰梯形，故AP＝PB，即|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|，故B正確；在△ABD中，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，故C正確；又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以D錯(cuò)誤．答案：D5．解析：∵點(diǎn)A，B，C是直線l上不同的三點(diǎn)，∴存在非零實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))?eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))?eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OC,\s\up6(→)).∵若eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a1＋a3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋2a10eq\o(OC,\s\up6(→))，∴1＋λ＝a1＋a3，－λ＝2a10，∴a1＋a3＋2a10＝1.∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴2a2＋2a10＝1?a2＋a10＝eq\f(1,2)＝a1＋a11，∴S11＝eq\f(11(a1＋a11),2)＝eq\f(11,4).答案：A6．解析：如圖，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)).由平行四邊形法則知NP∥AB，∴△ABP的面積與△ABC的面積之比為eq\f(1,5).同理，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得△ABQ的面積與△ABC的面積之比為eq\f(2,3)，∴△ABP的面積與△ABQ的面積之比為eq\f(1,5)∶eq\f(2,3)＝eq\f(3,10).答案：D7．解析：由題意作圖，如圖所示，易知BC的中點(diǎn)D與A，G共線．由題意得，eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))，OD⊥BC，AH⊥BC，所以O(shè)D∥AH，所以eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(OG,\s\up6(→))，所以①正確；由題意得，eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))＝－eq\o(GA,\s\up6(→))，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以②正確；由題意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以eq\o(AH,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，故③錯(cuò)誤；向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的模相等，方向不同，故④錯(cuò)誤．答案：①②8．解析：∵線段OC與線段AB交于點(diǎn)P，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OP,\s\up6(→))(x≥1)，則xeq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(λ,x)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,x)eq\o(OB,\s\up6(→)).又∵P，A，B三點(diǎn)共線，則eq\f(λ,x)＋eq\f(μ,x)＝1，即λ＋μ＝x.∵OA＝OB＝1，∴當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，|eq\o(OP,\s\up6(→))|最小，此時(shí)x最大．又∠AOB＝eq\f(π,3)，故此時(shí)|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2).又因?yàn)閨eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→))，即x＝2，即λ＋μ的最大值為2.答案：29．解析：因?yàn)镸為線段BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))).又因?yàn)閑q\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GM,\s\up6(→))，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AP,\s\up6(→))(x＞0)，eq