【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修1-2教案：第3章-拓展資料：高考數(shù)學(xué)類比題考查類型探求

高考數(shù)學(xué)類比題考查類型探求從近幾年高考數(shù)學(xué)試題中不難看出，類比題已成為高考試題的熱點(diǎn)問題。筆者認(rèn)為求解類比推理問題的關(guān)鍵在于確定類比物，建立類比項(xiàng)，通過對數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)算、推理過程等進(jìn)行類比分析，從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在聯(lián)系。下舉例談?wù)劯呖紨?shù)學(xué)類比題考查類型。圖象特征類比型例1、如圖1，對于函數(shù)上任意兩點(diǎn)A,B，連線段AB必在弧線段AB的上方，設(shè)點(diǎn)C分的比為(>0)，則由點(diǎn)C在點(diǎn)上方可得不等式。請分析函數(shù)y=lnx(x>0)的圖象，類比上述不等式可以得到的不等式是.解析:本題的類比物是函數(shù)與函數(shù)y=lnx(x>0)的圖象，而類比項(xiàng)是a,b與之間建立的不等關(guān)系.首先弄清不等式的來龍去脈。按題給信息，該不等式是“由點(diǎn)C在點(diǎn)上方”得到的，也就是說該不等式是這一幾何特征的代數(shù)化。由于C分的比為(>0)，又由于A,B，所以是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而是C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是點(diǎn)的縱坐標(biāo)。因此由C點(diǎn)在點(diǎn)的上方.即得。最終.作出函數(shù)y=lnx(x>0)的圖象(如圖2)進(jìn)行比較分析.設(shè)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)A,B)，點(diǎn)C分的比為(>0)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為為。點(diǎn)坐標(biāo)為。明顯有C點(diǎn)在點(diǎn)的下方。因此可以得到的不等式是。點(diǎn)評：本題通過兩類函數(shù)的圖象特征結(jié)合定比分點(diǎn)公式類比得出函數(shù)一個重要不等式性質(zhì)，其實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的凹凸性。運(yùn)算法則類比型例2、已知命題：若數(shù)列為等差數(shù)列，且。現(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且若類比上述結(jié)論，則可得到。解析:本題的類比物是等差數(shù)列與等比數(shù)列，類比項(xiàng)是數(shù)列的第m+n項(xiàng)與第m項(xiàng)、第n項(xiàng)的等量關(guān)系，由于在等差數(shù)列中，由等差數(shù)列性質(zhì)得。所以在等比數(shù)列中，同樣由等比數(shù)列的性質(zhì)得。點(diǎn)評：實(shí)際上，等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比是“運(yùn)算法則”的比較，是等差數(shù)列中的“和、差、積、商”與等比數(shù)列中的“積、商、冪、開方”一一對應(yīng)，即等差數(shù)列中的“”在等比數(shù)列中變?yōu)椤啊?“”變?yōu)椤啊保虼说念惐软?xiàng)為。三、計(jì)算方法類比型例3、對于數(shù)學(xué)問題“”。我們計(jì)算可得。請你分析該數(shù)學(xué)問題，用類比推理的方法，給出類似的一組可以求的條件：。解析：應(yīng)當(dāng)說本題的類比物與類比項(xiàng)是難以確定的。我們首先來分析一下原數(shù)學(xué)問題是如何由條件求出，將條件利用兩角和與差的余弦公式開放，由?？紤]到是由確定的，可以設(shè)想條件應(yīng)當(dāng)是關(guān)于的二元方程，類比原問題條件形式，自然聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，因此，這組條件可以是：。點(diǎn)評:本題是開放題，條件可以多種多樣，一般寫出，只要即可。)現(xiàn)在我們不難發(fā)覺，本題的類比物實(shí)際上是一種三角運(yùn)算結(jié)構(gòu)的“定式”，類比項(xiàng)是兩角和與差的正、余弦公式。四、性質(zhì)定義類比型例4、我們知道：在拋物線中，以過拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切，類比這一拋物線性質(zhì)，爭辯橢圓或雙曲線中，以過焦點(diǎn)的弦為直徑的與對應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系，同樣可以得出類似的性質(zhì).請你寫出一個正確的性質(zhì)。解析：本題的類比物是圓錐曲線中的拋物線、橢圓與雙曲線，類比項(xiàng)是以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系，首先我們探求拋物線中“以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切”的實(shí)質(zhì).如圖3,A,B,M(M為圓心)在準(zhǔn)線l上的射影為.由拋物線的定義知，所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切?，F(xiàn)在利用圓錐曲線的統(tǒng)確定義“到焦點(diǎn)距離與其到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率”，考慮橢圓或雙曲線中的類似問題，如圖4，設(shè)曲線C是橢圓或雙曲線的一部分，離心率為e。A、B、M在準(zhǔn)線l上的射影為.由統(tǒng)確定義知，所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切。若曲線C是橢圓，則“0<e<1,MM/>AB，以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相離.若曲線C是雙曲線，則e>1,MM'<AB，以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相交.因此，類比得出的性質(zhì)是“在橢圓中，以過橢圓焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必與橢圓的相應(yīng)準(zhǔn)線相離”，或“在雙曲線中，以過雙曲線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必與雙曲線的相應(yīng)準(zhǔn)線相交”。點(diǎn)評：解析幾何的爭辯對象是直線、圓和圓錐曲線，因此，在圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間相互類比，是類比推理的主要內(nèi)容．在解析幾何中，通過類比，有利于發(fā)覺新定理以及開拓解題思路的重要方法．五、平面空間類比型例5、在DEF中有余弦定理：.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABC-的3個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明。解析：依據(jù)類比猜想得出.其中為側(cè)面為與所成的二面角的平面角.證明：作斜三棱柱的直截面DEF，則為面與面所成角，在中有余弦定理：，同乘以，得即點(diǎn)評：本題考查由平面三角形的余弦定理到空間斜三棱柱的拓展推廣，由于類比是數(shù)學(xué)發(fā)覺的重要源泉，因此平常的教學(xué)與復(fù)習(xí)中更要留意類比等思想方法的學(xué)習(xí)。六、新定義類比型例6、規(guī)定：，其中，是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)是正整數(shù)，且的一種推廣.（1）求的值；（2）組合數(shù)的兩共性質(zhì)（）是否都能推廣到（是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由；（3）已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)，是正整數(shù)時，.解析：本題“新的規(guī)定（是正整數(shù)）”是組合數(shù)（是正整數(shù)，且）的一種推廣.這個結(jié)論是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中沒有的，目的是考查考生對相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的自覺運(yùn)用以及創(chuàng)新思維力氣.解：（1）依據(jù)新規(guī)定直接進(jìn)行演算即可（2）性質(zhì)①不能推廣.反例：當(dāng)時，有意義，但無意義.性質(zhì)②能推廣，且推廣形式不變：是正整數(shù)）.證明如下：===（3）需要就與的大小作出規(guī)律劃分并進(jìn)行嚴(yán)密的論證.當(dāng)時，都是正整數(shù)，就是組合數(shù)，結(jié)論明顯成立；當(dāng)時，，結(jié)論也成立；當(dāng)時，，是正整數(shù)，故.綜上所述，當(dāng)，是正整數(shù)時，.點(diǎn)評：本題以組合數(shù)為載體考查運(yùn)用類比推理和分類爭辯的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算力氣和創(chuàng)新思維力氣。波利亞說過，假如沒有相像推理，那么無論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中，甚至在其他任何領(lǐng)域中，原來可以發(fā)覺的東西，也可能無從發(fā)覺。因此，在教學(xué)中必需重視培育同學(xué)的類比推理和歸納推理的力氣。依據(jù)教材特點(diǎn)，在傳授新學(xué)問時，有意識地引導(dǎo)同學(xué)，通過類比與歸納得出新的學(xué)問，逐步學(xué)會類比推理的方法。在進(jìn)行學(xué)問復(fù)習(xí)時，經(jīng)常對相關(guān)