2021高考數(shù)學(xué)(文-江蘇專用)二輪復(fù)習(xí)-專題一-第二講-平面向量、解三角形4-【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】

正弦定理、余弦定理的簡潔應(yīng)用例1(2022·蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江一模)設(shè)函數(shù)f(x)=6cos2x-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期和值域;(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f(B)=0且b=2,cosA=,求a和sinC的值.【分析】(1)把函數(shù)f(x)化為Asin(ωx+φ)+B的形式,求出最小正周期及值域;(2)由f(B)=0,可求得B,再結(jié)合正弦定理、三角函數(shù)的和差公式求a和sinC的值.【解答】(1)f(x)=6×-sin2x=3cos2x+3-sin2x=2cos+3,所以f(x)的最小正周期T==π,值域?yàn)閇3-2,3+2].(2)由f(B)=0,得cos=-.由于B為銳角,所以<2B+<,所以2B+=,所以B=.由于cosA=,A∈,所以sinA==.在△ABC中,由正弦定理得a===.所以sinC=sin(π-A-B)=sin=cosA+sinA=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查倍角公式,正、余弦定理,求三角函數(shù)的值域,先把函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,通過求ωx+φ的范圍,得函數(shù)f(x)的值域是最常用的方法.變式(2022·南京學(xué)情調(diào)研)在銳角三角形ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知向量m=,n=,且m⊥n.(1)求角A的大小;(2)若a=7,b=8,求△ABC的面積.【解答】(1)由于m·n=0,所以sinA-cosA=0.由于0°<A<90°,所以cosA≠0,則tanA=,所以A=60°.(2)方法一:由正弦定理得=.又a=7,b=8,A=60°,則sinB=sin60°=.由于△ABC為銳角三角形,所以cosB=.由于sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,所以S△ABC=absinC=10.方法二:由于a=7,b=8,A=60°,所以由余弦定理可知,49=64+c2-2×8c×,即c2-8c+15=0,解得c=3或c=5.當(dāng)c=3時(shí),c2+a2-b2=9+49-64<0,所以cosB<0,不符合題意;當(dāng)c=5時(shí),c2+a2-b2=25+49-64>0,所以cosB>0,符合題意.所以S△ABC=bcsinA=10.正、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用例2(2022·湖南卷)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(例2)(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的長.【分析】(1)已知△ACD的三條邊,利用∠CAD的余弦定理即可得到該角的余弦值.(2)利用(1)問得到的∠CAD的余弦值,結(jié)合正、余弦之間的關(guān)系即可求得該角的正弦值,再利用正、余弦之間的關(guān)系即可得到sin∠BAD,而∠CAD與∠BAD之差即為∠BAC,則利用正弦的和差公式即可得到角∠BAC的正弦值,再利用△ABC的正弦定理即可求得邊BC的長.【解答】(1)已知△DAC的三邊,依據(jù)余弦定理可得cos∠CAD===,所以cos∠CAD=.(2)由于∠BAD為平面四邊形ABCD的內(nèi)角,所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0,sin∠BAD==且sin∠CAD==,再由正弦的和差公式可得sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-sin∠CADcos∠BAD=×-×=+=,再由△ABC的正弦定理可得=?BC=×=3.正、余弦定理與向量的綜合應(yīng)用例3(2022·南通二調(diào))在△ABC中,已知·=9,·=-16.求:(1)AB的值;(2)的值.【分析】(1)依據(jù)已知條件,將兩式相減可求得AB,也可依據(jù)向量數(shù)量積公式,結(jié)合余弦定理,求出AB.(2)依據(jù)正弦的和差公式,再利用正弦定理、余弦定理求得結(jié)果.【解答】(1)方法一:由于·=9,·=-16,所以·-·=9+16=25,即·(+)=25,即||2=25,故AB=5.方法二:設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則由條件得bccosA=9,accosB=16.兩式相加得c(bcosA+acosB)=9+16=25,即c2=25,故AB=c=5.方法三:設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則由條件得bccosA=9,accosB=16.由余弦定理得(b2+c2-a2)=9,(c2+a2-b2)=16,兩式相加得c2=25,故AB=c=5.(2)=,由正弦定理得====.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的加法及向量的數(shù)量積公式,考查正弦定理,余弦定理,兩角和與差的三角函數(shù).在三角形中的向量問題,可利用向量的數(shù)量積公式,轉(zhuǎn)化為解三角形問題.變式(2022·徐州三檢)在△ABC中,C=,向量m=(sinA,1),n=(1,cosB),且m⊥n.(1)求角A的大小;(2)若點(diǎn)D在邊BC上,且3=,AD=,求△ABC的面積.【解答】(1)由題意知m·n=sinA+cosB=0,又C=,A+B+C=π,所以sinA+cos=0,即sinA-cosA+sinA=0,即sin=0,又0<A<,所以A-∈,所以A-=0,即A=.(2)設(shè)||=x,由3