中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《解答壓軸幾何綜合題》專項檢測卷含答案

第頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《解答壓軸幾何綜合題》專項檢測卷含答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、解答題1.（2024·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．（1）如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；（2）如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說明理由；（3）①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若關(guān)于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．2.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點，連接，①若，過作交于點，求證：；②若時，則______．（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．3.（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點，將沿翻折到處，延長交邊于點．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點，且將沿翻折到處，延長交邊于點延長交邊于點且求的長．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，為邊上三等分點，將沿翻折得到，直線交于點求的長．4.（2024·廣東深圳·鹽田區(qū)一模）如圖，等腰中，，，點為邊上一點，于點，延長交于點．（1）求證：；（2）當(dāng)平分時，求的值；（3）當(dāng)點為的三等分點時，請直接寫出的值．5.（2024·廣東深圳·福田區(qū)三模）【初步探究】如圖1，四邊形是矩形，點P是平面內(nèi)任一點，則下列結(jié)論成立的是（）A．；B．C．；D．【深入探究】如圖2，正方形的邊長為4，的半徑為2，點P是上一動點，連接，，，設(shè)，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的結(jié)論）①求的最小值；②直接寫出的最大值，并直接寫出此時的長．6.（2024·廣東深圳·33校聯(lián)考二模）在學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)時，創(chuàng)新小組同學(xué)們借助三角形和菱形感受旋轉(zhuǎn)帶來圖形變化規(guī)律和性質(zhì)．【操作探究】（1）如圖1，已知，，將繞著直角邊中點G旋轉(zhuǎn)，得到，當(dāng)?shù)捻旤cD恰好落在的斜邊上時，斜邊與交于點H．①猜想：_________②證明：．【問題解決】（2）在（1）的條件下，已知，，求的長．【拓展提升】（3）如圖2，在菱形中，，，將菱形繞著中點M順時針旋轉(zhuǎn)，得到菱形，當(dāng)菱形的頂點E分別恰好落在菱形的邊和對角線上時，菱形的邊與邊相交于點N，請直接寫出的長．7.（2024·廣東深圳·33校聯(lián)考一模）在矩形中，點E是射線上一動點，連接，過點B作于點G，交直線于點F．（1）當(dāng)矩形是正方形時，以點F為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．①如圖1，若點E在線段上，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________；②如圖2，若點E在線段的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點E在線段上，以和為鄰邊作，M是中點，連接，，，求的最小值．8.（2024·廣東深圳·南山區(qū)一模）如圖1，在等腰三角形中，，，點分別在邊上，，連接，點分別為的中點．

（1）觀察猜想：圖中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，的大小是_______；（2）探究證明：把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接，判斷的形狀，試說明理由；（3）拓展延伸：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．9.（2024·廣東深圳·寶安區(qū)二模）如圖，在菱形中，對角線，交于點，過點作的垂線，垂足為點，延長到點，使，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，，求．10.（2024·廣東深圳·寶安區(qū)二模）（1）【問題探究】如圖1，正方形中，點F、G分別在邊、上，且于點P，求證：；（2）【知識遷移】如圖2，矩形中，，，點E、F、G、H分別在邊、、、上，且于點P．若，求的長；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在菱形中，，，點E在直線上，，交直線于點F．請直接寫出線段的長．11.（2024·廣東深圳·寶安區(qū)三模）如圖1．四邊形、都是矩形，點G在上，且，，，小李將矩形繞點C順時針轉(zhuǎn)，如圖2所示：（1）①他發(fā)現(xiàn)的值始終不變，請你幫他計算出的值______．②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點B、E、F在同一條直線上時，求出AG的長度是多少?（2）如圖3，中，，，，G為的中點，點D為平面內(nèi)的一個動點．且，將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α°，得到，則四邊形的面積的最大值為______．12.（2024·廣東深圳·福田區(qū)二模）問題探究：如圖1，在正方形，點分別在邊上，于點點分別在邊上，．（1）①判斷與的數(shù)量關(guān)系：_____；②推斷：______(填數(shù)值)；（2）類比探究：如圖2，在矩形中，．將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，交于點，連接交于點．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用1：如圖3，四邊形中，，，，點分別在邊上，求的值．（4）拓展應(yīng)用2：如圖2，在（2）的條件下，連接CP，若，，求的長．13.（2024·廣東深圳·光明區(qū)二模）在四邊形中，點為線段上的動點（點與點不重合），連接，線段的垂直平分線與分別相交于點，連接．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，若四邊形為矩形，，求證：；【能力提升】如圖2，若四邊形為矩形，是等腰三角形，求的長：【拓展應(yīng)用】如圖3，若四邊形為菱形，的垂直平分線與、分別相交于點，連接．若是等邊三角形，求的值．14.（2024·廣東深圳·33校三模）數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片．由于折痕所在的直線不同，折出的圖形也不同，請根據(jù)下面不同的折痕解決下列問題：問題（1）：如圖，在矩形紙片中，將紙片沿對角線對折，邊對折后與邊相交于點E，試判斷形狀，并說明理由．問題（2）：如圖，在矩形中，，以為折痕對折，B點落在的中點F處，求折痕的長問題（3）：如圖，在矩形中，，P在直線上，Q在邊上，以為折痕對折，B點落在邊上對應(yīng)點為F，當(dāng)P到A點的距離為1時，直接寫出折痕的長．15.（2024·廣東深圳·龍華區(qū)二模）如圖1，在正方形中，點E是邊上一點，F(xiàn)為的中點，將線段繞點F順時針旋轉(zhuǎn)至線段，連接．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)線段與之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，并運用“特殊到一般”的思想開展了探究．【特例分析】當(dāng)點E與點B重合時，小組成員經(jīng)過討論得到如下兩種思路：

思路一思路二第一步如圖2，連接，，證明；如圖3，將線段繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，證明；第二步利用相似三角形的性質(zhì)及線段與之間的關(guān)系，得到線段與之間的數(shù)量關(guān)系．利用全等三角形的性質(zhì)及線段與之間的關(guān)系，得到線段與之間的數(shù)量關(guān)系．圖形表達(dá)（1）①在上述兩種思路中，選擇其中一種完成其相應(yīng)的第一步的證明：②寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系式：______；【深入探究】（2）如圖1，當(dāng)點E與點B不重合時，（1）中線段與之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請加以證明：若不成立，請說明理由；【拓展延伸】（3）連接，記正方形的面積為，的面積為，當(dāng)是直角三角形時，請直接寫出的值．16.（2024·廣東深圳·羅湖區(qū)二模）【問題提出】(1)如圖1，在邊長為的等邊中，點在邊上，，連接，則的面積為____【問題探究】(2)如圖2，已知在邊長為的正方形中，點在邊上，點在邊上，且，若，求的面積；【問題解決】(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來水搶修，需要在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開挖一個的工作面，其中、分別在、邊上不與點、、重合，且，為了減少對該路段的交通擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個面積最小的若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由．17.（2024·廣東深圳·羅湖區(qū)三模）【問題探究】課外興趣小組活動時，同學(xué)們正在解決如下問題：如圖1，在矩形中，點E，F(xiàn)分別是邊，上的點，連接，，且于點G，若，，求的值．（1）請你幫助同學(xué)們解決上述問題，并說明理由．【初步運用】（2）如圖2，在中，，，點D為的中點，連接，過點A作于點點E，交于點F，求的值．【靈活運用】（3）如圖3，在四邊形中，，，，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，且，垂足為G，則______．18.（2024·廣東深圳·南山區(qū)三模）如圖①，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在邊、上，于點O，點G，H分別在邊、上，．（1）問題解決：①寫出與的數(shù)量關(guān)系：________；②的值為________；（2）類比探究，如圖②，在矩形中，（k為常數(shù)），將矩形沿折疊，使點C落在邊上的點E處，得到四邊形交于點P，連接交于點O．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用，如圖③，四邊形中，，，，，點E、F分別在邊、上，求的值．19.（2024·廣東深圳·南山區(qū)二模）（1）問題呈現(xiàn)：如圖1，和都是直角三角形，，且．連接，，求的值．（2）類比探究：如圖2，是等腰直角三角形，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，延長交于點，設(shè)，求的長；（3）拓展提升：如圖3，在等邊中，，是邊上的中線，點從點移動到點，連接，以為邊長，在的上方作等邊，求點經(jīng)過的路徑長．20.（2024·廣東深圳·九下期中）（）請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖，寫出完整的證明過程．（）初步探究：如圖，在四邊形中，于點，連接，．的度數(shù)為；求長．（）拓展運用：如圖，在平行四邊形中，是邊上一點，．按以下步驟作圖：以點為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交于點；分別以點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線．過點作交于點，過點作于點，為射線上一動點，連接，若，直接寫出的值．例：如圖，在中，是斜邊上的中線．求證：．證明：延長至點，使，連接．…參考答案一、解答題1.（2024·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．（1）如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；（2）如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說明理由；（3）①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若關(guān)于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．【答案】（1），（2），理由見解析（3）①見解析；②或．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；（2）根據(jù)題意可推出，得到，設(shè)，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長交于點；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；在延長線上取點F，使，連接；②根據(jù)①中的三種情況討論：第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二種情況，延長、交于點，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；第三種情況無交點，不符合題意．【小問1詳解】解：，為的中點，，，，，，，即，解得，，；故答案為：1；；【小問2詳解】解：，理由如下：根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點，，；又，，；設(shè)，則，，，，，，，，；【小問3詳解】解：①第一種情況：作的平行線，使，連接，則四邊形為平行四邊形；延長交于點，，，，，，，即，為的中點；故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第二種情況：作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接，故為的中點；同理可證明：，則，則四邊形是平行四邊形；故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第三種情況：作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；在延長線上取點F，使，連接，則為的中點，同理可證明，從而，故四邊形是平行四邊形；故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：②若按照圖1作圖，由題意可知，，四邊形是平行四邊形，，，是等腰三角形；過P作于H，則，，，，，，；,，，，即∴若按照圖2作圖，延長、交于點，同理可得：是等腰三角形，連接，，，，，；同理，，，，，，即，，若按照圖3作圖，則：沒有交點，不存在PE（不符合題意）故答案為：或．【點睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識點，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．2.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點，連接，①若，過作交于點，求證：；②若時，則______．（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）或或【解析】【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明結(jié)合已知條件，即可證明；②由①可得，，證明，得出，根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分三種情況討論，①當(dāng)點在邊上時，如圖所示，延長交的延長線于點，連接，過點作于點，證明，解，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，建立方程解方程即可求解；②當(dāng)點在邊上時，如圖所示，連接，延長交的延長線于點，過點作，則，四邊形是平行四邊形，同理證明，根據(jù)得出，建立方程，解方程即可求解；③當(dāng)點在邊上時，如圖所示，過點作于點，求得，而，得出矛盾，則此情況不存在．【詳解】解：（1）①∵四邊形是矩形，則，∴，又∵，∴，，∴，又∵，∴；②由①可得，∴∴，又∵∴,故答案為：．（2）∵在菱形中，，∴，，則，∵，∴，∵∴，∴，∵，∴,又，∴，∴，∴；（3）①當(dāng)點在邊上時，如圖所示，延長交的延長線于點，連接，過點作于點，∵平行四邊形中，，，∴，,∵，∴∴，∴∴在中，，則，，∴∴，∵，∴∴∴∴設(shè)，則，，，∴解得：或，即或，②當(dāng)點在邊上時，如圖所示，連接，延長交的延長線于點，過點作，則，四邊形是平行四邊形，設(shè)，則，，∵∴∴，∴∴，∵∴過點作于點，在中，，∴，，∴，則，∴，∴，，∴∴，即，∴即解得：（舍去）即；③當(dāng)點在邊上時，如圖所示，過點作于點，在中，，，∴，∵，∴，∵，∴點不可能在邊上，綜上所述，的長為或或．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．3.（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點，將沿翻折到處，延長交邊于點．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點，且將沿翻折到處，延長交邊于點延長交邊于點且求的長．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，為邊上三等分點，將沿翻折得到，直線交于點求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）的長為或【解析】【分析】（1）根據(jù)將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；（2）延長，交于，設(shè)，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設(shè)，則，因，有，即解得的長為；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時，延長交于，過作于，設(shè)，，則，，由是的角平分線，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時，延長交延長線于，過作交延長線于，同理解得，．【詳解】證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：延長，交于，如圖：設(shè)，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，設(shè)，則，，，，即，解得，的長為；（3）（Ⅰ）當(dāng)時，延長交于，過作于，如圖：設(shè)，，則，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分線，，即①，，，，，在中，，②，聯(lián)立①②可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時，延長交延長線于，過作交延長線于，如圖：同理，，即，由得：，可解得，，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．4.（2024·廣東深圳·鹽田區(qū)一模）如圖，等腰中，，，點為邊上一點，于點，延長交于點．（1）求證：；（2）當(dāng)平分時，求的值；（3）當(dāng)點為的三等分點時，請直接寫出的值．【答案】（1）見解析（2）（3）或【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的判定進(jìn)行推理證明；（1）證明，列出比例證明即可；（2）作交延長線于W，證，再利用三角函數(shù)求解即可；（3）作交于P，然后分類討論，根據(jù)相似求出比值即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴；【小問2詳解】解：作交延長線于W，∴，，∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，，∴，，∴．【小問3詳解】解：作交于P，當(dāng)時，∴，，，，∴，，∴，∴，∴．當(dāng)時，∴，，∴，，∴，∴，∴．綜上所述，當(dāng)點D為的三等分點時，的值為或6．5.（2024·廣東深圳·福田區(qū)三模）【初步探究】如圖1，四邊形是矩形，點P是平面內(nèi)任一點，則下列結(jié)論成立的是（）A．；B．C．；D．【深入探究】如圖2，正方形的邊長為4，的半徑為2，點P是上一動點，連接，，，設(shè)，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的結(jié)論）①求的最小值；②直接寫出的最大值，并直接寫出此時的長．【答案】22.D23.①；②【解析】【分析】（1）如圖所示，過點P作于點F，交的延長線于點E，交的延長線于點G，利用勾股定理證明選項D正確；（2）①連接、，則，由（1）知，，所以當(dāng)最小時，的最小；②如圖所示，在、上分別截取，利用相似三角形的性質(zhì)證明，，由，推出（等號成立時，點P在直線與的交點處，如圖），可得的最大值為，再求出此時的值即可．22題詳解】如圖所示，過點P作于點F，交的延長線于點E，交的延長線于點G，則四邊形、四邊形、四邊形都是矩形，，，，，，，，，，故選：D；【23題詳解】①的最小值為．理由如下：如圖所示，連接、，則，由（1）知，，當(dāng)最小時，的最小，而（等號成立時，點P位于上），的最小為；②如圖所示，在、上分別截取，，，，，，同理可得（等號成立時，點P在直線與的交點處，如下圖）的最大值為連接、，交于點F，則，，，，，，，，．【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角線解決問題．6.（2024·廣東深圳·33校聯(lián)考二模）在學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)時，創(chuàng)新小組同學(xué)們借助三角形和菱形感受旋轉(zhuǎn)帶來圖形變化規(guī)律和性質(zhì)．【操作探究】（1）如圖1，已知，，將繞著直角邊中點G旋轉(zhuǎn)，得到，當(dāng)?shù)捻旤cD恰好落在的斜邊上時，斜邊與交于點H．①猜想：_________②證明：．【問題解決】（2）在（1）的條件下，已知，，求的長．【拓展提升】（3）如圖2，在菱形中，，，將菱形繞著中點M順時針旋轉(zhuǎn)，得到菱形，當(dāng)菱形的頂點E分別恰好落在菱形的邊和對角線上時，菱形的邊與邊相交于點N，請直接寫出的長．【答案】（1）①.②.詳見解析（2）（3）和【解析】【分析】（1）①由等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，得出的度數(shù)；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可推導(dǎo)出；（2）由，利用計算出，再根據(jù)，計算出，最后計算出；（3）當(dāng)E落在上，由推導(dǎo)出，得到F在的延長線上，根據(jù)的面積等于菱形的一半，得到的長度，最后算出；當(dāng)E落在上，推導(dǎo)出E在菱形的對角線上，由，推導(dǎo)出E、M、B、N四點共圓，再利用和計算、，最后算出、．【小問1詳解】①由題意可知，，A、D、C在以G為圓心，為半徑的圓上，，②證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，．【小問2詳解】，，由勾股定理得，，銳角頂點D恰好落在的斜邊上，，A、D、C在以G為圓心，為半徑的圓上，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，經(jīng)檢驗，是方程的解，，．【小問3詳解】①當(dāng)E落在上時，如圖所示，連接、、，由M是中點和旋轉(zhuǎn)可知，，又，，又四邊形是菱形和在同一直線，F(xiàn)在的延長線上，由（1）①可知（已證），，菱形中，，，如圖所示，，，，又，，在中，，，，和菱形等底等高，；②當(dāng)落在上時，如圖所示，作交于點由旋轉(zhuǎn)可知，，四邊形是菱形，在對角線的中點上，即在和的交點上是的中點，是的中點，，由旋轉(zhuǎn)可知，、、、四點共圓如下圖所示，連接和，，在中，，【點睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形相似的判定與性質(zhì)、圓周角定理的性質(zhì)與應(yīng)用、四點共圓等知識點，解題的關(guān)鍵是熟知以上定理并能作出相應(yīng)的圖形．7.（2024·廣東深圳·33校聯(lián)考一模）在矩形中，點E是射線上一動點，連接，過點B作于點G，交直線于點F．（1）當(dāng)矩形是正方形時，以點F為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．①如圖1，若點E在線段上，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________；②如圖2，若點E在線段的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點E在線段上，以和為鄰邊作，M是中點，連接，，，求的最小值．【答案】（1）①相等；垂直；②成立，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）①證明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再證明四邊形BEHF為平行四邊形，從而可得結(jié)果；②根據(jù)（1）中同樣的證明方法求證即可；（2）說明C、E、G、F四點共圓，得出GM的最小值為圓M半徑的最小值，設(shè)BE=x，證明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．【詳解】解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH為等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，F(xiàn)H⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH，故答案為：相等；垂直；②成立，理由是：當(dāng)點E在線段BC的延長線上時，同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH為等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，F(xiàn)H⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH；（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，∴C、E、G、F四點共圓，∵四邊形BCHF是平行四邊形，M為BH中點，∴M也是EF中點，∴M是四邊形BCHF外接圓圓心，則GM的最小值為圓M半徑的最小值，∵AB=3，BC=2，設(shè)BE=x，則CE=2-x，同（1）可得：∠CBF=∠BAE，又∵∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE∽△BCF，∴，即，∴CF=，∴EF===，設(shè)y=，當(dāng)x=時，y取最小值，∴EF的最小值為，故GM的最小值為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，圓的性質(zhì)，難度較大，找出圖形中的全等以及相似三角形是解題的關(guān)鍵．8.（2024·廣東深圳·南山區(qū)一模）如圖1，在等腰三角形中，，，點分別在邊上，，連接，點分別為的中點．

（1）觀察猜想：圖中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_______，的大小是_______；（2）探究證明：把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接，判斷的形狀，試說明理由；（3）拓展延伸：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．【答案】（1），；（2）為等腰直角三角形，理由見解析；（3）．【解析】【分析】（）根據(jù)，，得，再根據(jù)三角形中位線定理可知，，，，利用平行線的性質(zhì)可證得；（）先通過證明，得，，再由()同理可證；（）由三角形三邊關(guān)系可知：，由()知：是等邊三角形，，則最大值為，即可求得的最大面積．【小問1詳解】解：∵，，∴，∵點分別為中點，∴，，，，∴，，，∴，∵∠，∴，故答案為：，；【小問2詳解】解：為等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知：，又∴，，∴，∴，，∵點分別為的中點，∴，，，，∴，，，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形；【小問3詳解】解：由三角形三邊關(guān)系可知：，即，∴的最大值為，由()知，是等腰直角三角形，，∴時，最大，．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形的三邊性質(zhì)，等腰直角三角形的判定等知識，利用平行線的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．9.（2024·廣東深圳·寶安區(qū)二模）如圖，在菱形中，對角線，交于點，過點作的垂線，垂足為點，延長到點，使，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得且，再證明，則四邊形是平行四邊形，然后證明，即可得出結(jié)論．（2）過點作于點，則，得，由菱形的性質(zhì)和勾股定理得，再由菱形面積求出的長，進(jìn)而由勾股定理求出的長，然后由三角形面積求出的長，即可解決問題．【小問1詳解】證明：四邊形菱形，且，，，即，，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是矩形；【小問2詳解】解：如圖，過點作于點，則，，四邊形是菱形，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)定義等知識，熟練掌握矩形的判定和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.（2024·廣東深圳·寶安區(qū)二模）（1）【問題探究】如圖1，正方形中，點F、G分別在邊、上，且于點P，求證：；（2）【知識遷移】如圖2，矩形中，，，點E、F、G、H分別在邊、、、上，且于點P．若，求的長；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在菱形中，，，點E在直線上，，交直線于點F．請直接寫出線段的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或【解析】【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得，，而，則，即可根據(jù)“”證明，得；(2)作于點M，交于點J，作于點N，交于點I，由矩形的性質(zhì)得，，可證明四邊形是矩形，則，，所以，再證明四邊形是矩形，得，，所以，而，可證明，進(jìn)而證明，得，則，所以，即可求得的長是；(3)作于點M，交的延長線于點M，由菱形的性質(zhì)得，，則，求得，，則，再分兩種情況討論，一是點E在線段上，則，，，求得，設(shè)設(shè)于點G，，則，求得，則，由，求得，則；二是E在線段的延長線上，則，，求得，設(shè)設(shè)于點L，則，求得，則，由，求得，則．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）如圖2，作于點M，交于點J，作于點N，交于點I，則，∵四邊形是矩形，，，∴，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∵于點P，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得或（不符合題意，舍去），∴的長是．（3）線段的長為或，理由如下：如圖3，作于點M，交的延長線于點M，則，∵四邊形是菱形，，，∴，，∴，∴，，∴，，∴，當(dāng)點E在線段上，且，則，∴，∴，設(shè)于點G，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；如圖4，點E在線段的延長線上，且，則，∴，∴，設(shè)于點L，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，綜上所述，線段的長為或．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．11.（2024·廣東深圳·寶安區(qū)三模）如圖1．四邊形、都是矩形，點G在上，且，，，小李將矩形繞點C順時針轉(zhuǎn)，如圖2所示：（1）①他發(fā)現(xiàn)的值始終不變，請你幫他計算出的值______．②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點B、E、F在同一條直線上時，求出AG的長度是多少?（2）如圖3，中，，，，G為的中點，點D為平面內(nèi)的一個動點．且，將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α°，得到，則四邊形的面積的最大值為______．【答案】（1）①；②或．（2）【解析】【分析】（1）①解直角三角形求出，，，可得結(jié)論．②分兩種情形：如圖中，當(dāng)點在線段上時，如圖中，當(dāng)點在的延長線上時，分別求出，，可得結(jié)論．（2）如圖3中，連接，，過點作于點．解直角三角形求出，證明，推出，由題意，推出點的運動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)點在的延長線上時，的面積最大，最大值，由此可得結(jié)論．【小問1詳解】①的值不變，理由如下：如圖1中，四邊形是矩形，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，．故答案為：；②如圖中，當(dāng)點在線段上時，連接，過點作于．，，，，，，，，，．如圖中，當(dāng)點在的延長線上時，同法可得，，綜上所述，的長為或．【小問2詳解】如圖3中，連接，，過點作于點．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，點的運動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)點在的延長線上時，的面積最大，最大值，的面積的最大值為，四邊形的面積的最大值．故答案為：．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．12.（2024·廣東深圳·福田區(qū)二模）問題探究：如圖1，在正方形，點分別在邊上，于點點分別在邊上，．（1）①判斷與的數(shù)量關(guān)系：_____；②推斷：______(填數(shù)值)；（2）類比探究：如圖2，在矩形中，．將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，交于點，連接交于點．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用1：如圖3，四邊形中，，，，點分別在邊上，求的值．（4）拓展應(yīng)用2：如圖2，在（2）的條件下，連接CP，若，，求的長．【答案】（1）；1（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得，．所以，又知，所以，于是，可得．②證明四邊形是平行四邊形即可解決問題．（2）如圖2中，過點作于．證明即可解決問題．（3）如圖3，過點作，交的延長線于點，過點作，連接，證明，得出，證明，可得出，由勾股定理求出，則可得出答案．（4）過點作交的延長線于．利用相似三角形的性質(zhì)求出，即可解決問題．【小問1詳解】解：（1）①證明：四邊形是正方形，，．．，．．，．故答案為：．②結(jié)論：．理由：，，，，四邊形平行四邊形，，，，．故答案為：1．【小問2詳解】結(jié)論：．理由：如圖2中，過點作于．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，，，，，，，四邊形是矩形，，．【小問3詳解】如圖3，過點作，交的延長線于點，過點作，連接，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，且，，且，，，，，，，(不合題意，舍去)，，，由（2）的結(jié)論可知：．【小問4詳解】解：如圖2中，過點作交的延長線于．，設(shè)，，，，，，，或(舍棄)，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．13.（2024·廣東深圳·光明區(qū)二模）在四邊形中，點為線段上的動點（點與點不重合），連接，線段的垂直平分線與分別相交于點，連接．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，若四邊形為矩形，，求證：；【能力提升】如圖2，若四邊形為矩形，是等腰三角形，求的長：【拓展應(yīng)用】如圖3，若四邊形為菱形，的垂直平分線與、分別相交于點，連接．若是等邊三角形，求的值．【答案】探究發(fā)現(xiàn)：見解析能力提升：或拓展應(yīng)用：【解析】【分析】探究發(fā)現(xiàn)：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，然后得到，然后利用證明即可；能力提升：分、和三種情況，分別解題即可；拓展應(yīng)用：過點作于點，可得到，然后可得點F、Q重合即可解題．【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：∵四邊形為矩形，，∴，∴，∴，又∵垂直平分，∴，∴；能力提升：當(dāng)時，過點F作于點P，則四邊形為矩形，設(shè)，連接，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，解得，∴，∵垂直平分，∴，，在中，，即，解得或（舍）；當(dāng)時，過點F作于點P，則四邊形為矩形，∴，又∵，∴，∴，∴，舍去；當(dāng)時，連接，∵垂直平分，∴，∴是菱形，∴，∴點D和E重合，∴；故當(dāng)或時，是等腰三角形；拓展應(yīng)用:過點作于點，∵，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∴，∴，又∵是等邊三角形，∴，，∴點F、Q重合，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，．作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．14.（2024·廣東深圳·33校三模）數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片．由于折痕所在的直線不同，折出的圖形也不同，請根據(jù)下面不同的折痕解決下列問題：問題（1）：如圖，在矩形紙片中，將紙片沿對角線對折，邊對折后與邊相交于點E，試判斷形狀，并說明理由．問題（2）：如圖，在矩形中，，以為折痕對折，B點落在的中點F處，求折痕的長問題（3）：如圖，在矩形中，，P在直線上，Q在邊上，以為折痕對折，B點落在邊上對應(yīng)點為F，當(dāng)P到A點的距離為1時，直接寫出折痕的長．【答案】（1）等腰三角形，理由見解析；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）由矩形性質(zhì)得，則，由折疊得，所以，則是等腰三角形；（2）連接交于點L，由矩形的性質(zhì)得，，，由折疊得，點F與點B關(guān)于直線對稱，則，所以，可證明，由，求得，由，求得；（3）分兩種情況討論，一是點P在線段上，且，連接交于點K，則，，，因為垂直平分，所以，，可證明，則，所以，則，由，求得，所以；二是點P在線段的延長線上，且，則，連接交于點，由，得，求得，由，求得，則．【詳解】解：（1）是等腰三角形，理由：如圖1，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵將矩形沿對角線對折，邊對折后與邊相交于點E，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）如圖2，連接交于點L，∵四邊形是矩形，，∴，∵為折痕對折，B點落在的中點F處，∴，點F與點B關(guān)于直線對稱，∴，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴折痕的長為．（3）折痕的長為或，理由：如圖3，點P在線段上，且，連接交于點K，∵四邊形是矩形，，∴，∵以為折痕對折，B點落在邊上對應(yīng)點為F，∴點F與點B關(guān)于直線對稱，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；如圖4，點P在線段的延長線上，且，連接交于點R，∵垂直平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，綜上所述，折痕的長為或．【點睛】本題重點考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余、同角的余角相等、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、分類討論數(shù)學(xué)思想的運用等知識與方法，此題綜合性強，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15.（2024·廣東深圳·龍華區(qū)二模）如圖1，在正方形中，點E是邊上一點，F(xiàn)為的中點，將線段繞點F順時針旋轉(zhuǎn)至線段，連接．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)線段與之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，并運用“特殊到一般”的思想開展了探究．【特例分析】當(dāng)點E與點B重合時，小組成員經(jīng)過討論得到如下兩種思路：

思路一思路二第一步如圖2，連接，，證明；如圖3，將線段繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，證明；第二步利用相似三角形的性質(zhì)及線段與之間的關(guān)系，得到線段與之間的數(shù)量關(guān)系．利用全等三角形的性質(zhì)及線段與之間的關(guān)系，得到線段與之間的數(shù)量關(guān)系．圖形表達(dá)（1）①在上述兩種思路中，選擇其中一種完成其相應(yīng)的第一步的證明：②寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系式：______；【深入探究】（2）如圖1，當(dāng)點E與點B不重合時，（1）中線段與之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請加以證明：若不成立，請說明理由；【拓展延伸】（3）連接，記正方形的面積為，的面積為，當(dāng)是直角三角形時，請直接寫出的值．【答案】（1）①選擇思路一，證明見解析；選擇思路二，證明見解析；②或；（2）成立，證明見解析；（3）4或【解析】【分析】（1）①選擇思路一：連接，如圖所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，即可推出，，據(jù)此可證明；選擇思路二：將線段繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再證明，即可證明；②選擇思路一：利用相似三角形的性質(zhì)即可得到答案；選擇思路二：由全等三角形的性質(zhì)得到，過點H作于M，證明四邊形是正方形，推出，進(jìn)而得到，即可得到；（2）連接，同理可證明；得到；再由直角三角形的性質(zhì)得到，則；（3）由于，則，進(jìn)而得到，故當(dāng)為直角三角形，不能作為斜邊；當(dāng)時，和共線，則E和A重合，G和D重合，由正方形的性質(zhì)可得，則；當(dāng)時，連接，過B作于M，如圖：證明，設(shè)，則，，由勾股定理得，則；證明是等腰直角三角形，得到，則，由勾股定理得，則，據(jù)此可得．【詳解】解：（1）①選擇思路一：證明：連接，如圖所示，∵四邊形是正方形∴，，由旋轉(zhuǎn)得，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴，∴；選擇思路二：證明：將線段繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴；②思路一：由（1）①知，∴，∵為的中點，∴∴，∴，即；思路二：由（1）①知，∴，如圖所示，過點H作于M，則四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即；綜上所述，；（2）如圖所示，連接，∵四邊形是正方形∴，，由旋轉(zhuǎn)得，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴，∴；∴；∵在中，點F為的中點，∴，∴，∴；（3）∵E在邊上，∴，∴，∵，∴，∵為直角三角形，∴不能作為斜邊，①當(dāng)時，∵，∴和共線，∴E和A重合，G和D重合，如圖：∴由正方形的性質(zhì)可得，∴；當(dāng)時，連接，過B作于M，如圖：由（2）知，，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，，中，由勾股定理得，∴；在中，F(xiàn)是中點，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．16.（2024·廣東深圳·羅湖區(qū)二模）【問題提出】(1)如圖1，在邊長為的等邊中，點在邊上，，連接，則的面積為____【問題探究】(2)如圖2，已知在邊長為的正方形中，點在邊上，點在邊上，且，若，求的面積；【問題解決】(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來水搶修，需要在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開挖一個的工作面，其中、分別在、邊上不與點、、重合，且，為了減少對該路段的交通擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個面積最小的若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在一個面積最小的，其最小值為平方米【解析】【分析】（1）過點作于點，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算即可求解；（2）延長到使得，連接，證明，，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；（3）把繞點順時針旋轉(zhuǎn)并把邊長縮小為原來的，得到，得出，過點作于，作于，則四邊形是矩形，則，得出當(dāng)?shù)拿娣e最小時，的面積最小；作的外接圓，圓心為，連接，，，過點作于，當(dāng)最小時，的面積最小，進(jìn)而求得當(dāng)、、三點共線時，有最小值，最小值為米，然后根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作于點，∵等邊的邊長為，∴，，∴又∵，∴的面積為，故答案為：．（2）如圖所示，延長到使得，連接，四邊形是正方形，，，，，，∠，，，，又，，，，又，；（3）把繞點順時針旋轉(zhuǎn)并把邊長縮小為原來的，得到，，，，，過點作于，作于，則四邊形是矩形，，，，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，的面積最??；如圖所示，作的外接圓，圓心為，連接，，，過點作于，設(shè)，，，，，，當(dāng)最小時，的面積最小，，，，當(dāng)、、三點共線時，有最小值，最小值為米，平方米存在一個面積最小的，其最小值為平方米．【點睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．17.（2024·廣東深圳·羅湖區(qū)三模）【問題探究】課外興趣小組活動時，同學(xué)們正在解決如下問題：如圖1，在矩形中，點E，F(xiàn)分別是邊，上的點，連接，，且于點G，若，，求的值．（1）請你幫助同學(xué)們解決上述問題，并說明理由．【初步運用】（2）如圖2，在中，，，點D為的中點，連接，過點A作于點點E，交于點F，求的值．【靈活運用】（3）如圖3，在四邊形中，，，，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，且，垂足為G，則______．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出，，，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出．（2）過點作的垂線，過點作的垂線，垂足為，過點作的平行線，分別交兩條垂線于、，則四邊形為矩形，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出答案．（3）過作于，交的延長線于點，證明，得出，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，，則，，由勾股定理得出，則可得出答案．【詳解】解：（1）四邊形是矩形，且，，，，，，，，，，，．（2）過點作的垂線，過點作的垂線，垂足為，過點作的平行線，分別交兩條垂線于、，如圖：則四邊形為矩形，為的中點，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，由（1）知：，．（3）過作于，交的延長線于點，如圖：，即，，四邊形是矩形，，，在和中，，，，，，，，，，，設(shè)，，則，，，在中，由勾股定理得：，，解得：或（舍去），，故答案為：．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.（2024·廣東深圳·南山區(qū)三模）如圖①，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在邊、上，于點O，點G，H分別在邊、上，．（1）問題解決：①寫出與的數(shù)量關(guān)系：________；②的值為________；（2）類比探究，如圖②，在矩形中，（k為常數(shù)），將矩形沿折疊，使點C落在邊上的點E處，得到四邊形交于點P，連接交于點O．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用，如圖③，四邊形中，，，，，點E、F分別在邊、上，求的值．【答案】（1）①；②1．（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)證明，則可得，再證明四邊形是平行四邊形，則可得，進(jìn)而可得，即可求解．（2）作于M，先證，則可得，再證四邊形是矩形，則可得，由此可得，由可得．（3）過點C作，交的延長線于點M，過點B作，連接，根據(jù)證明，則可得，再證，則可得，由此得，在中，根據(jù)勾股定理列方程即可求出的長，進(jìn)而求出的長，由此可得的值．【小問1詳解】①證明：∵四邊形是正方形，，．．，．．，．故答案為：．②結(jié)論：．理由：，，，，∴四邊形平行四邊形，，，，∴；【小問2詳解】．理由：如圖2，作于M．，，，，，，∴，，∴四邊形是矩形，，∴，∵（k為常數(shù)），∴．【小問3詳解】如圖③，過點C作，交的延長線于點M，過點B作，連接，，，，∴四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，又，，，，，，（不合題意，舍去），或，，由（2）的結(jié)論可知：．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．19.（2024·廣東深圳·南山區(qū)二模）（1）問題呈現(xiàn)：如圖1，和都是直角三角形，，且．連接，，求的值．（2）類比探究：如圖2，是等腰直角三角形，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，延長