《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修5)教師用書：3.7簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用-講義

第7課時簡潔線性規(guī)劃的應(yīng)用1.了解線性規(guī)劃的實際意義,能把實際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.2.把握線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡潔的實際問題.重點:用線性規(guī)劃解決實際問題.難點:從實際問題中構(gòu)造平面區(qū)域和目標函數(shù).上一課時我們共同學(xué)習(xí)了簡潔線性規(guī)劃的基本概念,了解了圖解法的步驟等,線性規(guī)劃是一種重要的數(shù)學(xué)工具,是函數(shù)、不等式、解析幾何等學(xué)問的綜合交匯點,地位重要,這一講我們將共同探究線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用.問題1:用線性規(guī)劃的方法解決實際問題中的最值問題是線性規(guī)劃的實際應(yīng)用.

問題2:線性規(guī)劃常見的具體問題(1)物資調(diào)配問題;(2)產(chǎn)品支配問題;(3)下料問題;(4)利潤問題;(5)飼料、養(yǎng)分等問題.問題3:解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟:(1)列表轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題;(2)設(shè)出相關(guān)變量,列出線性約束條件對應(yīng)的不等式(組),寫出目標函數(shù);(3)正確畫出可行域,求出目標函數(shù)的最值及相應(yīng)的變量值;(4)寫出實際答案.

問題4:線性規(guī)劃的整數(shù)解問題:線性規(guī)劃實際應(yīng)用中經(jīng)常遇到的實際問題是一些整數(shù)解問題,這要求在解題時取值應(yīng)當找到符合條件的整數(shù)點,即整點,不是整點應(yīng)當找出最優(yōu)解旁邊的整點.

艾爾多斯—莫迪爾不等式設(shè)P為△ABC內(nèi)部或邊界上一點,P到三邊距離分別為PD,PE,PF,則PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF),當且僅當△ABC為正三角形,且P為三角形中心時上式取等號.這是用于幾何問題的證明和求最大(小)值時的一個重要不等式.1.某班方案用少于100元的錢購買單價分別為2元和1元的大小彩球裝飾聯(lián)歡晚會的會場,依據(jù)需要,大球數(shù)不少于10個,小球數(shù)不少于20個,請你給出幾種不同的購買方案?【解析】設(shè)可購買大球x個,小球y個.依題意有其整數(shù)解為…,都符合題目要求(滿足2x+y-100<0即可).2.某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品,每件銷售收入分別為3000元、2000元.甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工,在每臺A、B設(shè)備上加工1件甲產(chǎn)品所需工時分別為1h、2h,加工1件乙產(chǎn)品所需工時分別為2h、1h,A、B兩種設(shè)備每月有效使用工時數(shù)分別為400h和500h.如何支配生產(chǎn)可使收入最大?【解析】設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件,每月收入為z千元,目標函數(shù)為z=3x+2y,需要滿足的條件是作直線z=3x+2y,如圖.當經(jīng)過點A(200,100)時取得最大值80萬元.即當生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件、乙產(chǎn)品100件,每月收入為80萬元.3.某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力、煤和電耗如下表:產(chǎn)品品種勞動力(個)煤(噸)電(千瓦)A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)A產(chǎn)品每噸的利潤是7萬元,生產(chǎn)B產(chǎn)品每噸的利潤是12萬元,現(xiàn)因條件限制,該企業(yè)僅有勞動力300個,煤360噸,并且供電局只能供電200千瓦,試問該企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多少噸,才能獲得最大利潤?【解析】設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各x、y噸,利潤為z萬元,則z=7x+12y,且滿足以下條件:作出可行域如圖陰影所示.當直線7x+12y=0向右上方平行移動時,經(jīng)過M(20,24)時,z取最大值.∴該企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時,才能獲得最大利潤.4.某養(yǎng)分師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的養(yǎng)分中至少含64個單位的碳水化合物,42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.假如一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的養(yǎng)分要求,并且花費最少,應(yīng)當為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐?【解析】設(shè)為該兒童分別預(yù)訂x,y個單位的午餐和晚餐,共花費z元,則z=2.5x+4y,且滿足以下條件:即作直線l:2.5x+4y=0,平移直線l至l0,當l0經(jīng)過C點時,可使z達到最小值.由解得即C(4,3),此時,z=2.5×4+4×3=22.答:午餐和晚餐分別預(yù)定4個單位和3個單位,花費最少,且為22元.下料問題某車間有一批長250cm的坯料,現(xiàn)因產(chǎn)品需要,要將它截成長為130cm和110cm兩種不同木料,生產(chǎn)任務(wù)規(guī)定:長130cm木料100根,長110cm木料150根,問如何開料,使總的耗坯數(shù)最少?【方法指導(dǎo)】這是下料問題.【解析】有兩種截料方法.130110余料第一種方法1110其次種方法0230需要量100150設(shè)第一種方法截x根,其次種方法截y根,總的耗坯數(shù)為z,則z=x+y.畫出可行域如圖所示,由圖可知在點(100,25)處取得最小值.答:用100根截成130cm木料和110cm木料各一根,另用25【小結(jié)】本題是一道用線性規(guī)劃求解的實際應(yīng)用問題,留意是求目標函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解.物資調(diào)配問題某運輸公司接受了向抗洪救災(zāi)地區(qū)每天送至少180t支援物資的任務(wù).該公司有8輛載重6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車,有10名駕駛員,每輛卡車每天來回的次數(shù)為A型卡車4次,B型卡車3次;每輛卡車每天來回的成本費為A型卡車320元,B型卡車504元.請為公司支配一下,應(yīng)如何調(diào)配車輛,才能使公司所花的成本費最低?【方法指導(dǎo)】這是物資支配問題.【解析】設(shè)需A型、B型卡車分別為x輛和y輛.列表分析數(shù)據(jù).A型車B型車限量車輛數(shù)xy10運物噸數(shù)24x30y180費用320x504yz由表可知,x,y滿足的線性條件為:且z=320x+504y.作出線性區(qū)域,如圖所示,可知當直線z=320x+504y過A(7.5,0)時,z最小,但A(7.5,0)不是整點,連續(xù)向上平移直線z=320x+504y可知,(5,2)是最優(yōu)解.這時zmin=320×5+504×2=2608,即用5輛A型車,2輛B型車,成本費最低.【小結(jié)】(1)解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟:①設(shè)出未知數(shù);②列出約束條件(要留意考慮數(shù)據(jù)、變量、不等式的實際含義及計量單位的統(tǒng)一);③建立目標函數(shù);④求最優(yōu)解.(2)對于有實際背景的線性規(guī)劃問題,可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域,此時,變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點.產(chǎn)品支配問題預(yù)算用2000元購買單價為50元的桌子和20元的椅子,并期望桌椅的總數(shù)盡可能多,但椅子數(shù)不能少于桌子數(shù),且不多于桌子數(shù)的1.5倍.問:桌、椅各買多少才合適?【方法指導(dǎo)】首先應(yīng)用字母設(shè)出相應(yīng)量,然后確定目標函數(shù)及線性約束條件,畫出可行域,最終通過平移目標函數(shù)求得最終答案.【解析】設(shè)桌、椅分別買x、y張,由題意得,且z=x+y.畫出可行域如圖所示,由解得∴點A的坐標為(,).由解得∴點B的坐標為(25,).以上不等式所表示的區(qū)域即以A(,),B(25,),O(0,0)為頂點的△AOB及其內(nèi)部.對△AOB內(nèi)的點P(x,y),由x+y=z,有y=-x+z,這是斜率為-1,y軸上截距為z的平行直線系.只有點P與B重合,即取x=25,y=時,z取最大值.∵y∈N,∴y=37,故買桌子25張,椅子37張時,是最優(yōu)選擇.【小結(jié)】要留意結(jié)合實際問題,確定未知數(shù)x,y等是否有限制,如探究三中必需x≥0,y≥0且x,y∈N.要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格,每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示:規(guī)格類型鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211其次種鋼板123今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊,問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品,且使所用鋼板張數(shù)最少?【解析】設(shè)需截第一種鋼板x張,其次種鋼板y張,則且x,y都是整數(shù).求目標函數(shù)z=x+y取得最小值時的x,y的值.如圖,當x=3,y=9或x=4,y=8時,z取得最小值.∴需截第一種鋼板3張,其次種鋼板9張或第一種鋼板4張,其次種鋼板8張時,可得所需三種規(guī)格成品,且使所用鋼板張數(shù)最少.有糧食和石油兩種物資,可用輪船與飛機兩種方式運輸,每天每艘輪船和每架飛機的運輸效果見表.方式效果種類輪船運輸量/t飛機運輸量/t糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)運輸至少2000t糧食和1500t石油,需至少支配多少艘輪船和多少架飛機?【解析】設(shè)需支配x艘輪船和y架飛機,則即目標函數(shù)為z=x+y.作出可行域,如圖所示.作出在一組平行直線x+y=t(t為參數(shù))中經(jīng)過可行域內(nèi)某點且和原點距離最小的直線,此直線經(jīng)過直線6x+3y-40=0和y=0的交點A(,0),直線方程為x+y=.由于不是整數(shù),而最優(yōu)解(x,y)中x,y必需都是整數(shù),所以可行域內(nèi)點(,0)不是最優(yōu)解.經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(橫、縱坐標都是整數(shù)的點)且與原點距離最近的直線經(jīng)過的整點是(7,0),即為最優(yōu)解,則至少要支配7艘輪船和0架飛機.投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時,每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元,需場地200平方米,可獲利潤300萬元;投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時,每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元,需場地100平方米,可獲利潤200萬元.現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元,場地900平方米,問:應(yīng)作怎樣的組合投資,可使獲利最大?【解析】設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸,生產(chǎn)B產(chǎn)品y百噸,利潤為S百萬元,則約束條件為目標函數(shù)為S=3x+2y.作出可行域(如圖),將目標函數(shù)變形為y=-x+,它表示斜率為-,在y軸上截距為的直線,平移直線y=-x+,當它經(jīng)過直線2x+y=9與2x+3y=14的交點(,)時,最大,也即S最大,此時,S=3×+2×=14.75.因此,生產(chǎn)A產(chǎn)品325噸,B產(chǎn)品250噸,利潤最大,且為1475萬元.1.在“家電下鄉(xiāng)”活動中,某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn).現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用.每輛甲型貨車運輸費用為400元,可裝洗衣機20臺;每輛乙型貨車運輸費用為300元,可裝洗衣機10臺.若每輛車至多運一次,則該廠所花的最少運輸費用為().A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元【解析】設(shè)需使用甲型貨車x輛,乙型貨車y輛,運輸費用z元,依據(jù)題意,得線性約束條件:線性目標函數(shù)z=400x+300y,畫出可行域如圖所示,解得當x=4,y=2時,zmin=2200.【答案】B2.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品,已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中,要求每天消耗A,B原料都不超過12千克,通過合理支配生產(chǎn)方案,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是().A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元【解析】設(shè)該公司每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶,乙產(chǎn)品y桶,則利潤函數(shù)z=300x+400y,如圖,在的交點(4,4)處取得最大值.zmax=300×4+400×4=2800元.【答案】C3.某試驗室需購某處化工原料106千克,現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝,一種是每袋35千克,價格為140元;另一種是每袋24千克,價格是120元.在滿足需要的條件下,最少需花費元.

【解析】設(shè)需要35千克的x袋,24千克的y袋,則總的花費為z元求z=140x+120y的最小值.由圖解法求出zmin=500,此時,x=1,y=3.【答案】5004.要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格,兩種鋼管可同時截得三種規(guī)格的鋼管的根數(shù)如下表所示:規(guī)格類型鋼管類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格甲種鋼管214乙種鋼管231今需A、B、C三種規(guī)格的鋼管各13、16、18根,問各截這兩種鋼管多少根可得所需三種規(guī)格鋼管,且使所用鋼管根數(shù)最少?【解析】設(shè)需截甲種鋼管x根,乙種鋼管y根,則作出可行域(如圖):目標函數(shù)為z=x+y,作出一組平行直線x+y=t(t為參數(shù))中經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最近的直線,此直線經(jīng)過直線4x+y=18和直線x+3y=16的交點A(,),直線方程為x+y=.由于和都不是整數(shù),所以可行域內(nèi)的點(,)不是最優(yōu)解,經(jīng)過可行域內(nèi)的整點且與原點距離最近的直線是x+y=8,經(jīng)過的整點是B(4,4),它是最優(yōu)解.答:要截得所需三種規(guī)格的鋼管,且使所截兩種鋼管的根數(shù)最少的方法是截甲種鋼管、乙種鋼管各4根.1.(2021年·山東卷)在平面直角坐標系xOy中,M為不等式組所表示的區(qū)域上一