【名師一號】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修4雙基限時練23

雙基限時練(二十三)向量應(yīng)用舉例一、選擇題1．已知三個力eq\o(F1,\s\up16(→))＝(－2，－1)，eq\o(F2,\s\up16(→))＝(－3,2)，eq\o(F3,\s\up16(→))＝(4，－3)，同時作用于某物體上同一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力eq\o(F4,\s\up16(→))，則eq\o(F4,\s\up16(→))等于()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)解析∵eq\o(F1,\s\up16(→))＋eq\o(F2,\s\up16(→))＋eq\o(F3,\s\up16(→))＝(－2－3＋4，－1＋2－3)＝(－1，－2)，又eq\o(F1,\s\up16(→))＋eq\o(F2,\s\up16(→))＋eq\o(F3,\s\up16(→))＋eq\o(F4,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(F4,\s\up16(→))＝(1,2)．答案D2．過點(diǎn)P(2,1)，且垂直于向量a＝(－1,2)的直線方程為()A．x－2y＝0 B．x－2y－4＝0C．2x－y＝0 D．2x－y－4＝0解析設(shè)Q(x，y)為直線上異于P的任意一點(diǎn)，由題意得eq\o(PQ,\s\up16(→))·a＝0，得x－2y＝0，又P(2,1)在直線x－2y＝0上，故選A.答案A3．若向量eq\o(OF1,\s\up16(→))＝(2,2)，eq\o(OF2,\s\up16(→))＝(－2,3)分別表示兩個力F1，F(xiàn)2，則|F1＋F2|為()A．(0,5) B．(4，－1)C．2eq\r(2) D．5解析eq\o(OF1,\s\up16(→))＋eq\o(OF2,\s\up16(→))＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝5.答案D4．設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))，則O是△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．垂心 D．重心解析由eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))得eq\o(OB,\s\up16(→))·(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＝0，∴OB⊥AC，同理，OA⊥BC，OC⊥AB，∴O為△ABC的垂心．答案C5．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1，F(xiàn)2成120°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為1和2，則有()A．F1，F(xiàn)3成90°角B．F1，F(xiàn)3成150°角C．F2，F(xiàn)3成90°角D．F2，F(xiàn)3成60°角解析由F1＋F2＋F3＝0?F3＝－(F1＋F2)?Feq\o\al(2,3)＝(F1＋F2)2＝Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2|F1||F2|cos120°＝1＋4＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3?|F3|＝eq\r(3)，由|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝eq\r(3)知，F(xiàn)1，F(xiàn)3成90°角，故選A.答案A6．點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動，速度向量v＝(4，－3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動方向與v相同)，且每秒移動的距離為|v|個單位．設(shè)開頭時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10,10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析設(shè)所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x＋10，y－10)＝(20，－15)．∴x＝10，y＝－5.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10，－5)．答案C二、填空題7．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝2，且eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝2，則△ABC的外形是________．解析∵eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|·|eq\o(AC,\s\up16(→))|cosA＝4cosA＝2，∴cosA＝eq\f(1,2)，又∠A為△ABC的內(nèi)角．∴∠A＝60°.又|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|，∴△ABC為等邊三角形．答案等邊三角形8．如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10N，方向與水平面成60°，當(dāng)小車向前運(yùn)動10m，則力eq\o(F,\s\up16(→))做的功是__________．解析W＝F·cos60°·s＝5×10＝50(J)．答案50J9．已知平面上三點(diǎn)A，B，C滿足|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝1，|eq\o(CA,\s\up16(→))|＝eq\r(3)，則eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝__________.解析由題可知，△ABC為直角三角形，∠C為直角，故eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BA,\s\up16(→))＝－|eq\o(AB,\s\up16(→))|2＝－4.答案－410．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))＝(1,1)，eq\f(1,|\o(BA,\s\up16(→))|)eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(1,|\o(BC,\s\up16(→))|)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(\r(3),|\o(BD,\s\up16(→))|)eq\o(BD,\s\up16(→))，則四邊形ABCD的面積為________．解析由題意知四邊形ABCD為平行四邊形，且有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|＝eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))|)＋\f(\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BC,\s\up16(→))|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)\o(BD,\s\up16(→)),|\o(BD,\s\up16(→))|)))，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))|)＋\f(\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BC,\s\up16(→))|)))＝eq\r(3)，兩邊平方，得1＋2eq\f(\o(BA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))||\o(BC,\s\up16(→))|)＋1＝3，∴eq\f(\o(BA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))||\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq\f(1,2)，則coseq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)，即∠B＝60°，∴S＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|·|eq\o(BC,\s\up16(→))|sin60°＝eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案eq\r(3)三、解答題11．已知A(eq\r(3)，－2)與B(－eq\r(3)，4)，若PA＝PB，求動點(diǎn)P的軌跡方程．解設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M(0,1)，設(shè)P(x，y)，則eq\o(PM,\s\up16(→))＝(－x,1－y)，eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－2eq\r(3)，6)．∵PA＝PB，∴PM⊥AB.∴eq\o(PM,\s\up16(→))⊥eq\o(AB,\s\up16(→)).∴2eq\r(3)x＋6－6y＝0，即所求軌跡方程為eq\r(3)x－3y＋3＝0.12．一輛汽車在平直大路上向西行駛，車上裝著風(fēng)速計(jì)和風(fēng)向標(biāo)，測得風(fēng)向?yàn)闁|偏南30°，風(fēng)速為4m/s，這時氣象臺報告的實(shí)際風(fēng)速為2m/s，試求風(fēng)的實(shí)際方向和汽車速度的大小．解依據(jù)物理學(xué)問，有三對相對速度，車對地的速度為v車地，風(fēng)對車的速度為v風(fēng)車，風(fēng)對地的速度為v風(fēng)地，風(fēng)對地的速度可以看成車對地與風(fēng)對車的速度的合速度，即v風(fēng)地＝v風(fēng)車＋v車地，如圖所示．依據(jù)向量求和的平行四邊形法則，可知表示向量v風(fēng)地的有向線段eq\o(AD,\s\up16(→))對應(yīng)?ABDC的對角線，由于|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝4，∠ACD＝30°，|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝2，所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，|eq\o(DC,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|cos30°＝2eq\r(3)，所以風(fēng)的實(shí)際方向是正南方向，汽車速度的大小為2eq\r(3)m/s.13．如圖，D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求證：AD⊥BC.證明如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq