【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修五導(dǎo)學(xué)案：《正弦定理》

第1課時(shí)正弦定理1.把握正弦定理及其證明過(guò)程.2.依據(jù)已知三角形的邊和角,利用正弦定理解三角形.3.能依據(jù)正弦定理及三角變換公式推斷三角形的外形.古埃準(zhǔn)時(shí)代,尼羅河經(jīng)常泛濫,古埃及人為了爭(zhēng)辯尼羅河水運(yùn)行的規(guī)律,預(yù)備測(cè)量各種數(shù)據(jù).當(dāng)尼羅河漲水時(shí),古埃及人想測(cè)量某處河面的寬度(如圖),假如古埃及人通過(guò)測(cè)量得到了AB的長(zhǎng)度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的寬度CD,古埃及人是如何利用這些數(shù)據(jù)計(jì)算的呢?問(wèn)題1:在上面的問(wèn)題中,△ABC的已知元素有和邊.

若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,則BC=,CD=.

解三角形:的過(guò)程.

問(wèn)題2:正弦定理:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等,即.

問(wèn)題3:正弦定理的拓展:①a∶b∶c=;

②設(shè)R為△ABC外接圓的半徑,則asinA=bsinB=問(wèn)題4:在△ABC中,已知a、b和A時(shí),解的狀況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式①

②

③

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解1.在△ABC中,下列等式總能成立的是().A.acosC=ccosA B.bsinC=csinAC.absinC=bcsinB D.asinC=csinA2.已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列對(duì)三角形解的狀況的推斷中,正確的是().A.一解 B.兩解 C.無(wú)解 D.一解或無(wú)解3.在△ABC中,已知a=52,c=10,A=30°,則B等于.

4.在△ABC中,已知b=5,B=π4,tanA=2,求sinA和邊利用正弦定理推斷三角形的外形在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,試推斷△ABC的外形.已知兩角及其中一角的對(duì)邊,解三角形在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解這個(gè)三角形.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角,解三角形在△ABC中,a=3,b=2,B=45°.求角A,C和邊c.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,則△A.直角三角形 B.等邊三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,則A=,b=,c=.

在△ABC中,已知a=6,c=2,A=60°,求B、C及b的值.1.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,則().A.B=45°或135° B.B=135°C.B=45° D.以上答案都不對(duì)2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=2,b=6,B=120°,則a等于().A.6 B.2 C.3 D.23.在△ABC中,cosA=12,cosB=32,則△ABC中三邊的比值a∶b∶c=4.在△ABC中,若B=60°,AC=3,AB=6,求A.(2021年·北京卷)在△ABC中,a=3,b=5,sinA=13,則sinB等于()A.15 B.59 C.5考題變式(我來(lái)改編):其次章解三角形第1課時(shí)正弦定理學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題1:∠ABC、∠BACAB233已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素問(wèn)題2:asinA=b問(wèn)題3:sinA∶sinB∶sinC2R問(wèn)題4:a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.D依據(jù)正弦定理有:asinA=csinC,所以asinC=csinA2.B由于a,b,A的關(guān)系滿(mǎn)足bsinA<a<b,故有兩解.3.105°或15°依據(jù)正弦定理得:sinC=csinAa=10sin30°52=22,∴C=45°或135°4.解:由于△ABC中,tanA=2,所以A是銳角,又sinAcosA=2,sin2A+cos2聯(lián)立解得sinA=255,再由正弦定理得asinA=bsinB重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】在△ABC中,依據(jù)正弦定理:asinA=bsinB=c∵sin2A=sin2B+sin2C,∴(a2R)2=(b2R)2+(即a2=b2+c2,∴A=90°,∴B+C=180°-A=90°.由sinA=2sinBcosC,得sin90°=2sinBcos(90°-B),∴sin2B=12∵B是銳角,∴sinB=22,∴B=45°,C=45°∴△ABC是等腰直角三角形.【小結(jié)】(1)推斷三角形的外形,可以從三邊的關(guān)系入手,也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手.從條件動(dòng)身,利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化,求出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系,從而作出精確?????推斷.(2)推斷三角形的外形,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形等,要特殊留意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)分.探究二:【解析】∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由asinA=csinC得a=csinA由bsinB=csinC得b=csinBsin∵sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=2+64,∴b=20×2+64=【小結(jié)】解三角形時(shí),假如已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊,由三角形內(nèi)角和定理,可以計(jì)算出三角形的另一個(gè)角,由正弦定理可計(jì)算出三角形的另兩邊.探究三:【解析】由正弦定理得asinA=bsinB,3sinA=2sin45°,∴sinA=32,∴A=60°,由正弦定理得:c=bsinCsin[問(wèn)題]本題中依據(jù)sinA=32得出的角A肯定是60°嗎[結(jié)論]角A不肯定是60°,∵a>b,∴角A還可能是120°.于是正確的解答如下:由正弦定理得asinA=bsinB,∴sinA=32∵a>b,∴A=60°或A=120°.當(dāng)A=60°時(shí),C=180°-45°-60°=75°,c=bsinCsin當(dāng)A=120°時(shí),C=180°-45°-120°=15°,c=bsinCsin【小結(jié)】已知三角形的兩個(gè)角求第三個(gè)角時(shí)留意三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用,求邊時(shí)可用正弦定理的變式,把要求的邊用已知條件表示出來(lái)再代入計(jì)算.已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),首先運(yùn)用正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值,再利用三角形中大邊對(duì)大角看能否推斷所求的這個(gè)角是銳角,當(dāng)已知的角為大邊對(duì)的角時(shí),則能推斷另一邊所對(duì)的角為銳角;當(dāng)已知小邊對(duì)的角時(shí),則不能推斷.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:B由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑),∴sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,即tan應(yīng)用二:45°464(3+1)A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由正弦定理bsinB=asinA,得b=asinBsinA=8×sin60°sin45°=46,由asinA=csin應(yīng)用三:由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得sinC=∵c<a,∴C<A=60°,∴C=45°,∴B=180°-A-C=180°-60°-45°=75°,b=asinBsinA=6sin75°sin60°=22sin(30°基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.C由正弦定理得:sinB=22,∵a>b,∴B=45°2.D由正弦定理6sin120°=2sinC?sinC=12,于是C=30°?A=3.3∶1∶2依據(jù)cosA=12,cosB=32可得:A=60°,B=3