【優(yōu)化設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)(人教版必修4)第三章章末綜合檢測(cè)

(時(shí)間：100分鐘，滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的)1．cos230°－sin230°的值是()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：選A.cos230°－sin230°＝cos60°＝eq\f(1,2).2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,5)，則sin2x的值為()A.eq\f(19,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(14,25) D.eq\f(7,25)解析：選D.sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,25).3．函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是()A.eq\f(π,2) B．πC．2π D．4π解析：選B.f(x)＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，故T＝eq\f(2π,2)＝π.4．cos76°cos16°＋cos14°cos74°－2cos75°cos15°的值等于()A．0 B.eq\f(\r(3),2)C．1 D．－eq\f(1,2)解析：選A.由于cos76°cos16°＋cos14°cos74°＝cos76°·cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝eq\f(1,2)，2cos75°·cos15°＝2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)，所以原式＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，故選A.5．若2sin2x＝cos2x＋1，且cosx≠0，則tan2x＝()A.eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．2 D.eq\f(8,17)解析：選A.由已知得4sinxcosx＝2cos2x，∴tanx＝eq\f(1,2)，∴tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(4,3)，故選A.6．已知銳角α的終邊上一點(diǎn)P(sin40°，1＋cos40°)，則銳角α＝()A．80° B．70°C．20° D．10°解析：選B.易知點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為eq\r(sin240°＋（1＋cos40°）2)＝eq\r(2＋2cos40°)＝eq\r(2＋2×（2cos220°－1）)＝2cos20°，由三角函數(shù)的定義可知cosα＝eq\f(sin40°,2cos20°)＝eq\f(2sin20°cos20°,2cos20°)＝sin20°，∵點(diǎn)P在第一象限，且角α為銳角，∴α＝70°.7．假如α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)cos(π－α)等于()A.eq\f(2\r(2),5) B．－eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(2),5) D．－eq\f(2\r(2),5)解析：選B.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)cos(π－α)＝eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)cosα＝eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\r(2)cosα.∵sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(3,5).∴eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\r(2)cosα＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)－eq\r(2)×eq\f(3,5)＝－eq\f(\r(2),5).8.eq\f(sin10°＋sin50°,sin35°·sin55°)的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．2 D．4解析：選C.原式＝eq\f(sin（30°－20°）＋sin（30°＋20°）,sin35°·cos35°)＝eq\f(2sin30°·cos20°,\f(1,2)sin70°)＝eq\f(cos20°,\f(1,2)sin70°)＝2.9．在△ABC中，若cosAcosB＝－cos2eq\f(C,2)＋1，則△ABC確定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形解析：選C.由已知得2cosAcosB＝－2cos2eq\f(C,2)＋2＝－(cosC＋1)＋2＝cos(A＋B)＋1＝cosAcosB－sinAsinB＋1，∴cosAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)＝1，又－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B，故選C.10．函數(shù)y＝sinxcosx＋eq\r(3)cos2x－eq\r(3)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()A．(eq\f(2π,3)，－eq\f(\r(3),2)) B．(eq\f(5π,6)，－eq\f(\r(3),2))C．(－eq\f(2π,3)，eq\f(\r(3),2)) D．(eq\f(π,3)，－eq\r(3))解析：選B.y＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3)（1＋cos2x）,2)－eq\r(3)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sin(2x＋eq\f(π,3))－eq\f(\r(3),2)，h(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))的對(duì)稱中心為(－eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)，0)，k∈Z，∴y＝sin(2x＋eq\f(π,3))－eq\f(\r(3),2)的對(duì)稱中心為(－eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)，－eq\f(\r(3),2))，k∈Z，閱歷證知B正確．二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上)11．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值為________．解析：由已知得cosα＝－eq\f(4,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)sinα＝－eq\f(\r(2),10).答案：－eq\f(\r(2),10)12．已知α，β為銳角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，則tanα＝________.解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ.∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵β為銳角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴tanα＝1.答案：113．已知A，B為銳角，且滿足tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cos(A＋B)＝________．解析：由A，B為銳角，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，得tan(A＋B)＝－1，A＋B＝eq\f(3π,4)，故cos(A＋B)＝－eq\f(\r(2),2).答案：－eq\f(\r(2),2)14．已知eq\r(3)sinxcosx＋3cos2x－eq\f(3,2)＝Asin(2x＋φ)，其中A>0，0<φ<2π，則A＝________，φ＝________．解析：eq\r(3)sinxcosx＋3cos2x－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(3,2)cos2x＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴A＝eq\r(3)，φ＝eq\f(π,3).答案：eq\r(3)eq\f(π,3)15．若函數(shù)y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))與函數(shù)y＝sin2x＋acos2x的圖象的對(duì)稱軸相同，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))),2)，這個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程是2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，取k＝0，得其中一條對(duì)稱軸方程是x＝－eq\f(π,6).假如x＝－eq\f(π,6)是函數(shù)y＝sin2x＋acos2x的對(duì)稱軸，則當(dāng)x＝－eq\f(π,6)時(shí)，這個(gè)函數(shù)取得最值，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝±eq\r(1＋a2)，即－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)a＝±eq\r(1＋a2)，解得a＝－eq\f(\r(3),3).當(dāng)a＝－eq\f(\r(3),3)時(shí)，函數(shù)y＝sin2x＋acos2x＝sin2x－eq\f(\r(3),3)cos2x＝eq\f(2\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x－\f(1,2)cos2x))＝－eq\f(2\r(3),3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，明顯符合要求．答案：－eq\f(\r(3),3)三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．已知tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，其中0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<β<π.求：(1)tan(α－β)的值；(2)α＋β的值．解：(1)∵tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2＋\f(1,3),1－\f(2,3))＝7.(2)∵tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1，且0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<β<π，∴eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2).∴α＋β＝eq\f(5π,4).17．已知函數(shù)f(x)＝2asineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋sin2eq\f(x,2)－cos2eq\f(x,2)(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小正周期及圖象的對(duì)稱軸；(2)當(dāng)a＝2時(shí)，在f(x)＝0的條件下，求eq\f(cos2x,1＋sin2x)的值．解：f(x)＝asinx－cosx.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝sinx－cosx＝eq\r(2)sin(x－eq\f(π,4))，則函數(shù)f(x)的最小正周期為2π.令x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．則函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸是x＝kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．(2)當(dāng)a＝2，f(x)＝0時(shí)，有0＝2sinx－cosx，則tanx＝eq\f(1,2)，則原式＝eq\f(cos2x－sin2x,（cosx＋sinx）2)＝eq\f(cosx－sinx,cosx＋sinx)＝eq\f(1－tanx,1＋tanx)＝eq\f(1,3).18．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(2\r(7),7)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(1,2)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).求：(1)coseq\f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．解：(1)∵eq\f(π,2)<α<π，0<β<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<α－eq\f(β,2)<π，－eq\f(π,4)<eq\f(α,2)－β<eq\f(π,2).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(\r(21),7)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(3),2).∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(7),7)))×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(21),14).(2)∵eq\f(π,4)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(3π,4)，∴sineq\f(α＋β,2)＝eq\r(1－cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(7),14).∴taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(sin\f(α＋β,2),cos\f(α＋β,2))＝－eq\f(5\r(3),3).∴tan(α＋β)＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(3),11).19．已知銳角α，β滿足tan(α－β)＝sin2β，求證：tanα＋tanβ＝2tan2β.證明：由于tan(α－β)＝sin2β，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，sin2β＝2sinβcosβ＝eq\f(2sinβcosβ,sin2β＋cos2β)＝eq\f(2tanβ,1＋tan2β)，所以eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2tanβ,1＋tan2β)，整理得：tanα＝eq\f(3tanβ＋tan3β,1－tan2β).所以tanα＋tanβ＝eq\f(3tanβ＋tan3β＋tanβ－tan3β,1－tan2β)＝eq\f(2×2tanβ,1－tan2β)＝2tan2β.20．已知函數(shù)f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x)).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)的最大值并求f(x)取得最大值時(shí)的x的取值集合；(3)若f(x)＝eq\f(6,5)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a