【優(yōu)化方案】2022高考總復(fù)習(xí)(人教A版)高中數(shù)學(xué)-第七章-立體幾何-第6講-空間向量及其運(yùn)算

第6講空間向量及其運(yùn)算1．空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb．(2)共面對(duì)量定理：假如兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空間向量基本定理：假如三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．2．兩個(gè)向量的數(shù)量積(與平面對(duì)量基本相同)(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間中任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉．通常規(guī)定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱(chēng)向量a，b相互垂直，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：①a·e＝|a|cos〈a，e〉；②a⊥b?a·b＝0；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.(4)向量的數(shù)量積滿(mǎn)足如下運(yùn)算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交換律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(支配律)．3．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a(chǎn)＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))).(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．[做一做]1．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥c，b∥c B．a(chǎn)∥b，a⊥cC．a(chǎn)∥c，a⊥b D．以上都不對(duì)解析：選C.∵c＝(－4，－6，2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.2．若向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以與m，n構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是()A．a(chǎn) B．bC．c D．2a解析：選C.∵a＋b，a－b分別與a，b，2a共面，∴它們分別與a＋b，a－b均不能構(gòu)成一組基底．1．辨明四個(gè)易誤點(diǎn)(1)留意向量夾角與兩直線夾角的區(qū)分．(2)共線向量定理中a∥b?存在唯一的實(shí)數(shù)λ∈R，使a＝λb易忽視b≠0.(3)共面對(duì)量定理中，留意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)是唯一存在的．(4)向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換律、支配律，但不滿(mǎn)足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不愿定成立．2．建立空間直角坐標(biāo)系的原則(1)合理利用幾何體中的垂直關(guān)系，特殊是面面垂直．(2)盡可能地讓相關(guān)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上．3．利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解問(wèn)題的方法用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問(wèn)題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長(zhǎng)度，一般用向量的模來(lái)解決；解決垂直問(wèn)題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要留意兩種角的范圍不同，最終應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．[做一做]3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C.不妨設(shè)AB＝AC＝AA1＝1，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則B(0，－1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(－1，0，1)，∴eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(0，1，1)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(AC1,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))|·|\o(AC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))〉＝60°，∴異面直線BA1與AC1所成的角等于60°.4．已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和|eq\o(AB,\s\up6(→))|分別是________．解析：設(shè)P(x，y，z)是AB的中點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(3，2，1)＋(1，0，4)]＝(2，1，eq\f(5,2))，dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（3－1）2＋（2－0）2＋（1－4）2)＝eq\r(17).答案：(2，1，eq\f(5,2))，eq\r(17)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一)__空間向量的線性運(yùn)算__________________如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).[解](1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a.∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c)＋(a＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.[規(guī)律方法]用已知向量表示某一向量的方法：用已知不共面的向量表示某一向量時(shí)，應(yīng)結(jié)合圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知向量表示出來(lái)．1.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．(1)化簡(jiǎn)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________．(2)用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________．解析：(1)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).(2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．∴eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).答案：(1)eq\o(A1A,\s\up6(→))(2)eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二)__共線、共面對(duì)量定理的應(yīng)用____________已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD∥平面EFGH.[證明](1)連接BG(圖略)，則eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面對(duì)量定理的推論知，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)由于eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.[規(guī)律方法]在求一個(gè)向量由其他向量來(lái)表示的時(shí)候，通常是利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點(diǎn)，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近．常見(jiàn)的向量處理方法見(jiàn)下表：三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同過(guò)點(diǎn)Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任意一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對(duì)空間任意一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任意一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)空間任意一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))2.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿(mǎn)足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)推斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個(gè)向量是否共面；(2)推斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．解：(1)由題知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且基線過(guò)同一點(diǎn)M，∴M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__空間向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算(高頻考點(diǎn))通過(guò)近幾年高考試題可以看出，試題以空間向量的運(yùn)算為主，特殊是數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，更是考查的熱點(diǎn)．高考中對(duì)空間向量的數(shù)量積的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算；(2)線與線垂直問(wèn)題；(3)線段長(zhǎng)度問(wèn)題．已知空間三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求a和b的夾角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b與ka－2b相互垂直，求k的值．[解]∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．(1)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1＋0＋0,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10)，∴a和b的夾角θ的余弦值為－eq\f(\r(10),10).(2)∵ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)且(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0.解得k＝－eq\f(5,2)或k＝2.[規(guī)律方法](1)空間向量數(shù)量積的計(jì)算方法：①定義法：設(shè)向量a，b的夾角為θ，則a·b＝|a||b|·cosθ.②坐標(biāo)法：設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(2)數(shù)量積的應(yīng)用：①求夾角：設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角．②求長(zhǎng)度(距離)：運(yùn)用公式|a|2＝a·a，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題．③解決垂直問(wèn)題：利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題．3.(1)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A．a(chǎn)2 B.eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2 D.eq\f(\r(3),4)a2(2)已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，則向量a＋b與a－b的夾角是________．(3)已知點(diǎn)A(1，2，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|的值是________．解析：(1)設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量?jī)蓛蓨A角為60°.又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，故eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.(2)∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝(cos2θ＋1＋sin2θ)－(sin2θ＋1＋cos2θ)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)，即向量a＋b與a－b的夾角為90°.(3)設(shè)P(x，y，z)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y－2，z－1)．eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，3－y，4－z)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，得點(diǎn)P坐標(biāo)為(－eq\f(1,3)，eq\f(8,3)，3)，又D(1，1，1)．∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(77),3).答案：(1)C(2)90°(3)eq\f(\r(77),3)1．已知點(diǎn)A(－3，0，－4)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，則|AB|等于()A．12 B．9C．25 D．10解析：選D.點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0，4)，故|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（－3－3）2＋（0－0）2＋（－4－4）2)＝10.2．(2022·高考廣東卷)已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是()A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)解析：選B.對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)b＝(1，－1，0)，則cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1×1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).由于0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正確．3．已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則x，y的值分別為()A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2) D．x＝eq\f(1,2)，y＝1解析：選C.如圖，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).4．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－1 B．0C．1 D．不確定解析：選B.如圖，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.5．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為()A.eq\f(33,7)，－eq\f(15,7)，4 B.eq\f(40,7)，－eq\f(15,7)，4C.eq\f(40,7)，－2，4 D．4，eq\f(40,7)，－15解析：選B.∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4.又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，1，4)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）＋5y＋6＝0，,3（x－1）＋y－12＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7).))6．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，過(guò)點(diǎn)P作平面yOz的垂線PQ，點(diǎn)Q在平面yOz上，則垂足Q的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：由題意知點(diǎn)Q即為點(diǎn)P在平面yOz內(nèi)的射影，所以垂足Q的坐標(biāo)為(0，eq\r(2)，eq\r(3))．答案：(0，eq\r(2)，eq\r(3))7．在下列條件中，使M與A、B、C確定共面的是________．①eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0；④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.解析：∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，則eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))為共面對(duì)量，即M、A、B、C四點(diǎn)共面．答案：③8．已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a、b、c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))＝________．解析：如圖所示，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c－a)．答案：eq\f(1,2)(b＋c－a)9．(2021·鄭州模擬)已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c.求(1)a，b