【2021高考復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)配套黃金練習(xí)：8.1

第八章8.1第1課時(shí)高考數(shù)學(xué)（理）黃金配套練習(xí)一、選擇題1．一個(gè)長(zhǎng)方體其一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線是()A．2eq\r(3)B．3eq\r(2)C．6D.eq\r(6)答案D解析設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三棱長(zhǎng)分別為a、b、c，則ab＝eq\r(2)，bc＝eq\r(3)，ac＝eq\r(6)，解得：a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)，故對(duì)角線長(zhǎng)l＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝eq\r(6).2．圓柱的側(cè)面開(kāi)放圖是邊長(zhǎng)為6π和4π的矩形，則圓柱的全面積為()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π)(3π＋2)答案C解析分清哪個(gè)為母線，哪個(gè)為底面圓周長(zhǎng)，應(yīng)分類爭(zhēng)辯．3．已知正方體外接球的體積是eq\f(32,3)π，那么正方體的棱長(zhǎng)等于()A．2eq\r(2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(4\r(2),3)D.eq\f(4\r(3),3)答案D解析由題意知V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，∴R＝2，外接球直徑為4，即正方體的體對(duì)角線，設(shè)棱長(zhǎng)為a，則體對(duì)角線l＝eq\r(3)a＝4，a＝eq\f(4\r(3),3).4．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，全部棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D．5πa2答案B解析如圖，O1，O分別為上、下底面的中心，D為O1O的中點(diǎn)，則DB為球的半徑，有r＝DB＝eq\r(OD2＋OB2)＝eq\r(\f(a2,4)＋\f(a2,3))＝eq\r(\f(7a2,12))，∴S表＝4πr2＝4π×eq\f(7a2,12)＝eq\f(7,3)πa2.5．將棱長(zhǎng)為3的正四周體的各頂點(diǎn)截去四個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正四周體(使截面平行于底面)，所得幾何體的表面積為()A．7eq\r(3)B．6eq\r(3)C．3eq\r(3)D．9eq\r(3)答案A解析原正四周體的表面積為4×eq\f(9\r(3),4)＝9eq\r(3)，每截去一個(gè)小正四周體，表面減小三個(gè)小正三角形，增加一個(gè)小正三角形，故表面積削減4×2×eq\f(\r(3),4)＝2eq\r(3)，故所得幾何體的表面積為7eq\r(3).故選A.6.水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個(gè)正方體的表面開(kāi)放圖，若圖中“2”在正方體的上面，則這個(gè)正方體的下面是()A．0B．8C．奧D．運(yùn)答案B7.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y(tǒng)，DP＝z(x，y，z大于零)，則四周體PEFQ的體積()A．與x，y，z都有關(guān)B．與x有關(guān)，與y，z無(wú)關(guān)C．與y有關(guān)，與x，z無(wú)關(guān)D．與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān)答案D解析由于點(diǎn)Q到直線A1B1的距離為2eq\r(2)，EF＝1，故ΔEFQ的面積為定值，所以這個(gè)三角形的面積與x，y無(wú)關(guān)，由于點(diǎn)P到平面EFQ的距離等于點(diǎn)P到平面A1B1CD的距離，這個(gè)距離等于點(diǎn)P到直線A1D的距離，等于eq\f(\r(2),2)z，故四周體PEFQ的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)z＝eq\f(1,3)z，故四周體PEFQ的體積只與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān)．8．半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為()A.eq\r(5)π：6B.eq\r(6)π：2C．π：2D．5π：12答案B解析方法一：作過(guò)正方體對(duì)角面的截面，如圖，設(shè)半球的半徑為R，正方體的棱長(zhǎng)為a，那么CC′＝a，OC＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△C′CO中，由勾股定理得CC′2＋OC2＝OC′2，即a2＋(eq\f(\r(2),2)a)2＝R2，∴R＝eq\f(\r(6),2)a，∴V半球＝eq\f(2,3)πR3＝eq\f(2,3)π(eq\f(\r(6),2)a)3＝eq\f(\r(6),2)πa3，V正方體＝a3.因此V半球：V正方體＝eq\f(\r(6),2)πa3:a3＝eq\r(6)π:2.方法二：將半球補(bǔ)成整個(gè)球，同時(shí)把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個(gè)同樣的正方體，構(gòu)成的長(zhǎng)方體剛好是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線便是它的外接球的直徑，設(shè)原正方體棱長(zhǎng)為a，球的半徑是R，則依據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線性質(zhì)，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，∴R＝eq\f(\r(6),2)a.從而V半球＝eq\f(2,3)πR3＝eq\f(2,3)π(eq\f(\r(6),2)a)3＝eq\f(\r(6),2)πa3，V正方體＝a3.因此V半球:V正方體＝eq\f(\r(6),2)πa3:a3＝eq\r(6)π:2.9.如圖所示，正四棱錐P－ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上．假如VP－ABCD＝eq\f(16,3)，則球O的表面積是()A．4πB．8πC．12πD．16π答案D二、填空題10.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為_(kāi)_______．解析方法一設(shè)AB＝a，AD＝b，DD′＝c，則長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′的體積V＝abc.又S△A′DD′＝eq\f(1,2)bc，且三棱錐C－A′DD′的高為CD＝a.∴V三棱錐C－A′DD′＝eq\f(1,3)S△A′DD′·CD＝eq\f(1,6)abc.則剩余部分的幾何體積V剩＝abc－eq\f(1,6)abc＝eq\f(5,6)abc.故V棱錐C－A′D′D∶V剩＝eq\f(1,6)abc∶eq\f(5,6)abc＝1∶5.方法二已知長(zhǎng)方體可以看成側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′，設(shè)它的底面ADD′A′面積為S，高為h，則它的體積為V＝Sh.而棱錐C－A′DD′的底面面積為eq\f(1,2)S，高是h，因此，棱錐C－A′DD′的體積VC－A′DD′＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh.余下的體積是Sh－eq\f(1,6)Sh＝eq\f(5,6)Sh.所以棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為eq\f(1,6)Sh∶eq\f(5,6)Sh＝1∶5.11．已知一個(gè)圓錐的開(kāi)放圖如圖所示，其中扇形的圓心角為120°，底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．答案eq\f(2\r(2)π,3)解析由于扇形弧長(zhǎng)為2π，所以圓錐母線長(zhǎng)為3，高為2eq\r(2)，所求體積V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3).12．已知A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)210°，則所得幾何體的體積為_(kāi)_______．答案eq\f(35π,12)解析如圖，∵V圓錐＝eq\f(1,3)(π·2)2·2＝eq\f(8,3)π.V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)π·1·(22＋2×1＋12)＝eq\f(7,3)π.∴四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)360°所得幾何體的體積為eq\f(8π,3)＋eq\f(7π,3)＝5π.∴繞y軸旋轉(zhuǎn)210°所得幾何體的體積為eq\f(210,360)×5π＝eq\f(35π,12).13．一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為eq\f(9,8)，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為_(kāi)_______．答案eq\f(4π,3)三、解答題14．已知正四棱錐S－ABCD中，SA＝2eq\r(3)，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為多少？解析設(shè)正四棱錐S－ABCD的底邊長(zhǎng)為2x，則AC＝BD＝2eq\r(2)x，高h(yuǎn)＝eq\r(12－2x2)，所以體積V＝eq\f(1,3)×4x2eq\r(12－2x2).∴V2＝eq\f(16,9)x4(12－2x2)，∴(V2)′＝eq\f(64×12,9)x3－eq\f(64,3)x5，由(V2)′＝0，得x＝2.15．已知六棱錐P－ABCDEF，其中底面為正六邊形，點(diǎn)P在底面上的投影為正六邊形中心，底面邊長(zhǎng)為2cm，側(cè)棱長(zhǎng)為3cm，求六棱錐P－ABCDEF的體積．分析由已知條件可以推斷六棱錐為正六棱錐，要求其體積，求出高即可．解析如圖，O為正六邊形中心，則PO為六棱錐的高，G為CD中點(diǎn)，則PG為六棱錐的斜高，由已知得：CD＝2cm，則OG＝eq\r(3)，CG＝1，在Rt△PCG中，PC＝3，CG＝1，則PG＝eq\r(PC2－CG2)＝2eq\r(2).在Rt△POG中，PG＝2eq\r(2)，OG＝eq\r(3)，則PO＝eq\r(PG2－OG2)＝eq\r(5).VP－ABCDEF＝eq\f(1,3)SABCDEF·PO＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)×22×eq\r(5)＝2eq\r(15).16．棱長(zhǎng)為a的正四周體的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，求此球的表面積．解析以正四周體的每條棱作為一個(gè)正方體的面的一條對(duì)角線構(gòu)造如圖所示的正方體，則該正四周體的外接球也就是正方體的外接球．由圖知正方體的棱長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)a，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\f(\r(6),2)a，設(shè)正四周體的外接球的半徑為R，則2R＝eq\f(\r(6),2)a，∴R＝eq\f(\r(6),4)a，于是球的表面積S＝4π·(eq\f(\r(6),4)a)2＝eq\f(3,2)πa2.拓展練習(xí)·自助餐1．正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．3∶2答案C解析如圖，設(shè)棱錐的高為h，VD-GAC＝VG-DAC＝eq\f(1,3)S△ADC·eq\f(1,2)h，VP-GAC＝eq\f(1,2)VP-ABC＝VG-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·eq\f(h,2).又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，故VD-GAC∶VP-GAC＝2∶1.2．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使體積最大，則高應(yīng)為_(kāi)_______．答案eq\f(20\r(3),3)解析設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則h2＋r2＝202，∴r＝eq\r(400－h(huán)2)，∴圓錐體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)h＝eq\f(1,3)π(400h－h(huán)3)，令V′＝eq\f(1,3)π(400－3h2)＝0得h＝eq\f(20\r(3),3)，當(dāng)h<eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′>0；當(dāng)h>eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′<0，∴h＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，體積最大．3.在右圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長(zhǎng)最短50cm、最長(zhǎng)為80cm，則斜截圓柱側(cè)面面積S＝________cm2.答案2600π4．把一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則全部小正方體的表面積為_(kāi)_______．答案18a2老師備選題1．如圖1，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖1中容器內(nèi)水面的高度是________．圖1圖2答案eq\f(3,2)a解析如圖1中容器內(nèi)液面的高度為h，液體的體積為V，則V＝S△ABCh，又如題圖2中液體組成了一個(gè)直四棱柱，其底面積為eq\f(3,4)S△ABC，高度為2a，則V＝eq\f(3,4)S△ABC·2a，∴h＝eq\f(\f(3,4)SABC·2a,S△ABC)＝eq\f(3,2)a，故填eq\f(3,2)a.2．如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，長(zhǎng)度為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與共一頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為_(kāi)_____．答案eq\f(π,6)解析由于ABCD－A1B1C1D1是正方體，所以DD1⊥DN，故三角形DMN是直角三角形，斜邊MN＝2，又由于P為MN中點(diǎn)，所以DP＝1，即P點(diǎn)到定點(diǎn)D的距離等于常數(shù)1，因此P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D為球心，1為半徑的球面被正方體所截得的部分，所以所求幾何體的體積V＝eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(π,6).3．若正方體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為()A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)答案B解析由正方體的對(duì)稱性可知，任意兩個(gè)面的中心的連線長(zhǎng)度相等，故所得凸多面體為兩個(gè)共底的特殊正四