《金版學(xué)案》2022屆高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-2-16定積分及其簡(jiǎn)單應(yīng)用-

第十六節(jié)定積分及其簡(jiǎn)潔應(yīng)用題號(hào)1234答案1.下列式子中，正確的是()A.f(x)dx＝f(b)－f(a)＋CB.f(x)dx＝f′(b)－f′(a)C.f′(x)dx＝f(b)－f(a)D．[f(x)dx]′＝f(x)解析：由微積分基本定理(牛頓－萊布尼茲公式)易知，C正確．答案：C2．如圖所示，圖中曲線方程為y＝x2－1，用定積分表達(dá)圍成封閉圖形(陰影部分)的面積是()A．|eq\o\al(2,0)(x2－1)dx|B.eq\o\al(1,0)(x2－1)dxC.eq\o\al(2,0)|x2－1|dxD.eq\o\al(1,0)(x2－1)dx＋eq\o\al(2,1)(x2－1)dx解析：由微積分基本定理的幾何意義可得：圖中圍成封閉圖形(陰影部分)的面積S＝eq\o\al(1,0)(1－x2)dx＋eq\o\al(2,1)(x2－1)dx＝eq\o\al(2,0)|x2－1|dx.故選C.答案：C3．(2022·鄭州調(diào)研)如圖所示，在一個(gè)邊長為1的正方形AOBC內(nèi)，曲線y＝x2和曲線y＝eq\r(x)圍成一個(gè)葉形圖(陰影部分)，向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)解析：依題意知，題中的正方形區(qū)域的面積為12＝1，陰影區(qū)域的面積等于eq\a\vs4\al()eq\o\al(1,0)(eq\r(x)－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up6(\f(3,2))－\f(1,3)x3))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝eq\f(1,3)，因此所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率等于eq\f(1,3).故選D.答案：D4．已知a＝eq\o\al(e,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))dx，函數(shù)y＝ax－bx(a≠b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝logbx是()A．增函數(shù)B．減函數(shù)C．常數(shù)函數(shù)D．增函數(shù)或減函數(shù)解析：由于a＝eq\a\vs4\al()eq\o\al(e,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))dx＝(lnx＋x)|eq\o\al(e,1)＝e，所以函數(shù)y＝ax－bx＝ex－bx，由于此函數(shù)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即e－x－b－x＝－ex＋bx，eq\f(bx－ex,bxex)＝bx－ex恒成立，所以b＝eq\f(1,e)，所以函數(shù)y＝logbx＝logeq\s\do9(\f(1,e))x是減函數(shù)．故選B.答案：B5．由曲線y＝ex與直線x＝0、直線y＝e所圍成的圖形的面積為________．解析：曲線y＝ex與直線x＝0、直線y＝e所圍成的圖形的面積S＝e－eq\o\al(1,0)exdx＝1.答案：16．計(jì)算定積分eq\a\vs4\al(eq\o\al(1,－1))(x2＋sinx)dx＝________．解析：(x2＋sinx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－cosx))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－cos1))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－1,3)－cos（－1）))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7.一物體受到與它運(yùn)動(dòng)方向相反的力F(x)＝eq\f(1,10)ex＋x的作用，則它從x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝1時(shí)F(x)所做的功等于________．解析：由題意知F(x)所做的功為－eq\o\al(1,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)ex＋x))dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)ex＋\f(1,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(1,0)))＝－eq\f(e,10)－eq\f(2,5).答案：－eq\f(e,10)－eq\f(2,5)8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝a(a＞0)與拋物線y＝x2所圍成的封閉圖形的面積為eq\f(8\r(2),3)，則a＝________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝a，))可得A(－eq\r(a)，a)，B(eq\r(a)，a)，S＝eq\r(a)－eq\r(a)(a－x2)dx＝(ax－eq\f(1,3)x3)|eq\r(a)－eq\r(a)＝2(aeq\r(a)－eq\f(1,3)aeq\r(a))＝eq\f(4a\s\up6(\f(3,2)),3)＝eq\f(8\r(2),3)，解得a＝2.答案：29．求下列定積分：(1)eq\f(x3－3x2＋5,x2)dx；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)dx；(3)(sinx－sin2x)dx.解析：(1)eq\f(x3－3x2＋5,x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3＋\f(5,x2)))dx＝(eq\f(1,2)x2－3x－eq\f(5,x))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(4,2))＝eq\f(5,4).(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋2))dx＝(eq\f(1,2)x2＋lnx＋2x)eq\a\vs4\al(|eq\o\al(3,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)＋ln3＋6))－(2＋ln2＋4)＝lneq\f(3,2)＋eq\f(9,2).(3)eq\a\vs4\al(（sinx－sin2x）dx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cosx＋\f(1,2)cos2x))eq\a\vs4\al(|\s\up6(\f(π,3))0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,4)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,4).10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx在點(diǎn)x＝1處有極值－2.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)求曲線y＝f(x)與x軸所圍成的圖形的面積．解析：(1)由題意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2且f′(1)＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＝－2，,3＋2a＋b＝0，))解得a＝0，b＝－3，(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.作出曲線y＝x3－3x的圖象(如圖所示)，所求面積為陰影部分的面積．由x3－3x＝0，得曲線y＝x3－3x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(－eq\r(3)，0)，(0，0)和(eq\r(3)，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以(－eq\r(3)，0)