2025年高考數(shù)學一輪復習之統(tǒng)計

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學一輪復習之統(tǒng)計一．選擇題（共10小題）1．高三某班56人參加了數(shù)學模擬考試，通過抽簽法，抽取了8人的考試成績?nèi)缦拢?3，71，91，80，82，85，106，93，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與70%分位數(shù)分別為（）A．81，95.5 B．81，85 C．83.5，92 D．83.5，912．樣本數(shù)據(jù)14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位數(shù)為（）A．16 B．17 C．23 D．243．某臺機器每天生產(chǎn)10000個零件，現(xiàn)連續(xù)12天檢測，得到每天的次品零件個數(shù)依次為：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，則這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第60百分位數(shù)之和是（）A．29 B．30 C．30.5 D．314．已知樣本數(shù)據(jù)為x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7，去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）A．極差 B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．方差5．南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale）設計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大?。硻C構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據(jù)此圖，以下說法正確的是（）A．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量先增加后減少 B．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2022年最多 C．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增 D．2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍6．甲、乙兩位選手在某次射擊比賽中的成績（每個成績上面點的個數(shù)表示這個成績出現(xiàn)的次數(shù)）如圖所示，則下列說法不正確的是（）A．甲成績的平均數(shù)等于乙成績的平均數(shù) B．甲成績的中位數(shù)大于乙成績的中位數(shù) C．甲成績的極差大于乙成績的極差 D．甲成績的方差小于乙成績的方差7．已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：x12345y66788根據(jù)上表可得回歸直線方程y?=0.6x+a?，據(jù)此可以預測當A．8.5 B．9 C．9.5 D．108．某校運動會，一位射擊運動員10次射擊射中的環(huán)數(shù)依次為：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．則下列說法錯誤的是（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8 B．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7 C．這組數(shù)據(jù)的極差為4 D．這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為99．某校為了解在校學生對中國傳統(tǒng)文化的傳承認知情況，隨機抽取了100名學生進行中國傳統(tǒng)文化知識考試，并將這100名學生成績整理得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖（分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六組），下列結(jié)論中不正確的是（）A．圖中的a＝0.012 B．若從成績在[70，80），[80，90），[90，100]內(nèi)的學生中采用分層抽樣抽取10名學生，則成績在[80，90）內(nèi)的有3人 C．這100名學生成績的中位數(shù)約為65 D．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則這100名學生的平均成績約為68.210．對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取抽簽法抽樣、隨機數(shù)法抽樣和分層隨機抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p2，則（）A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1 C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3二．填空題（共5小題）11．某新能源汽車4S店五月份的前8天汽車銷量（單位：輛）分別為：3，7，11，5，8，15，21，9，則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為．12．為了研究某班學生的腳步x（單位厘米）和身高y之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為y?=4x+70．該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為13．用模型y＝aebx擬合一組數(shù)據(jù)組（xi，yi）（i＝1，2，…，9），其中y1y2?y9=e51．設z＝lny，變換后的線性回歸方程為z?=x+5，則x114．某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料的質(zhì)量y（噸）的相關性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應數(shù)據(jù)（x，y），如表所示．x3456y2.534m根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y?=0.7x+0.35，則表中m的值為15．某校數(shù)學建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重W（單位：克）與脈搏率f（單位：心跳次數(shù)/分鐘）的對應數(shù)據(jù)（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根據(jù)生物學常識和散點圖得出f與W近似滿足f＝cWk（c，k為參數(shù)）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，計算得x=8，y=5，i=18yi2=214．由最小二乘法得經(jīng)驗回歸方程為y?=b?x+7.4，則k的值為三．解答題（共5小題）16．近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應的年份代碼依次為1，2，3，4，5．（1）根據(jù)散點圖判斷，y＝a+bx和y＝c+dx2哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關于x的回歸方程；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；b?=ii=15xi2=55，i17．某學校舉辦一場毽球比賽．已知毽球比賽的規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．甲隊教練現(xiàn)在對甲、乙兩隊得到發(fā)球權與得分的相關性進行分析，根據(jù)以往比賽結(jié)果得到下表所示的數(shù)據(jù)：甲隊得分乙隊得分合計甲隊發(fā)球302050乙隊發(fā)球104050合計4060100（1）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)回答，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為發(fā)球權與得分有關嗎？（2）用以往頻率估計概率，且第一回合是甲隊發(fā)球，設第n回合是甲隊發(fā)球的概率為pn．（i）求數(shù)列{pn}的通項公式；（ii）設qn=3附：χ2=n(ad-bc)2(aa＝P（X2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82818．某公司為了解年研發(fā)資金x（單位：億元）對年產(chǎn)值y（單位：億元）的影響，對公司近8年的年研發(fā)資金xi和年產(chǎn)值yi（i∈N，1≤i≤8）的數(shù)據(jù)對比分析中，選用了兩個回歸模型，并利用最小二乘法求得相應的y關于x的經(jīng)驗回歸方程：①y?=13.05x﹣48.4；②（1）求c的值；（2）已知①中的殘差平方和S1≈3610，②中的殘差平方和S2≈658，請根據(jù)決定系數(shù)選擇擬合效果更好的經(jīng)驗回歸方程，并利用該經(jīng)驗回歸方程預測年研發(fā)資金為20億元時的年產(chǎn)值．參考數(shù)據(jù)：i=18xi=64，參考公式；刻畫回歸模型擬合效果的決定系數(shù)R219．人工智能發(fā)展迅猛，在各個行業(yè)都有應用．某地圖軟件接入了大語言模型后，可以為用戶提供更個性化的服務，某用戶提出：“請統(tǒng)計我早上開車從家到公司的紅燈等待時間，并形成統(tǒng)計表．”地圖軟件就將他最近100次從家到公司的導航過程中的紅燈等待時間詳細統(tǒng)計出來，將數(shù)據(jù)分成了[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），[95，105]（單位：秒）這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求圖中a的值；（2）估計該用戶紅燈等待時間的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該用戶在接下來的10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時間低于85秒的次數(shù)．20．為全面貫徹黨的二十大和中央經(jīng)濟工作會議精神，落實國務院2023年重點工作分工要求，深入實施就業(yè)優(yōu)先戰(zhàn)略，多措并舉穩(wěn)定和擴大就業(yè)崗位，全力促發(fā)展惠民生，經(jīng)國務院同意，2023年職業(yè)技能等級證書補貼政策正式公布，參加失業(yè)保險1年以上的企業(yè)職工或領取失業(yè)保險金人員取得職業(yè)資格證書或職業(yè)技能等級證書的，可申請技能提升補貼，每人每年享受補貼次數(shù)最多不超過三次，政策實施期限截至2023年12月31日．某機構(gòu)從本市眾多申報人員中隨機抽取200人進行統(tǒng)計，得到他們的首次補貼金額的統(tǒng)計表（如下）：2000元以下不低于2000元合計男8020100女7030100合計15050200（1）根據(jù)上述2×2列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認為首次補貼金額超過2000元與性別有關？（2）從補貼金額不低于2000元的樣本中按照分層抽樣的方法隨機抽取5人進行職業(yè)分析，再從這5人中隨機抽取2人進行年收入評估，求抽取的2人都是女性的概率．附：K2P（K2≥k0）0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828

2025年高考數(shù)學一輪復習之統(tǒng)計參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．高三某班56人參加了數(shù)學模擬考試，通過抽簽法，抽取了8人的考試成績?nèi)缦拢?3，71，91，80，82，85，106，93，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與70%分位數(shù)分別為（）A．81，95.5 B．81，85 C．83.5，92 D．83.5，91【考點】抽簽法簡單隨機抽樣及其步驟．【專題】對應思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】D【分析】將題目中的8個數(shù)從小到大排列，再由中位數(shù)與百分位數(shù)的定義得答案．【解答】解：將題目中的8個數(shù)從小到大排列為：71，73，80，82，85，91，93，106，中位數(shù)為第四、五兩個數(shù)的平均數(shù)，等于82+852又∵8×70%＝5.6，∴這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為第六個數(shù)，等于91．∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與70%分位數(shù)分別為83.5，91．故選：D．【點評】本題考查中位數(shù)與百分位數(shù)的定義，是基礎題．2．樣本數(shù)據(jù)14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位數(shù)為（）A．16 B．17 C．23 D．24【考點】百分位數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：樣本數(shù)據(jù)14，16，18，20，21，22，24，28，共8個，8×0.75＝6，故第三四分位數(shù)為22+242故選：C．【點評】本題主要考查百分位數(shù)的定義，是基礎題．3．某臺機器每天生產(chǎn)10000個零件，現(xiàn)連續(xù)12天檢測，得到每天的次品零件個數(shù)依次為：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，則這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第60百分位數(shù)之和是（）A．29 B．30 C．30.5 D．31【考點】用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)；百分位數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】B【分析】先將零件個數(shù)從小到大排列，然后根據(jù)中位數(shù)以及百分位數(shù)的求解公式分別求解，進而可以求解．【解答】解：零件個數(shù)從小到大排列為：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，所以中位數(shù)為13+152因為12×60%＝7.2，所以第60百分位數(shù)為第8個數(shù)，即為16．所以這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第60百分位數(shù)之和是14+16＝30．故選：B．【點評】本題考查了中位數(shù)以及百分位數(shù)的求解，屬于基礎題．4．已知樣本數(shù)據(jù)為x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7，去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）A．極差 B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．方差【考點】用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】C【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)和方差的定義判斷．【解答】解：根據(jù)題意，將7個數(shù)據(jù)從小到大排列，去掉一個最高分和一個最低分，得到5個有效評分，原始數(shù)據(jù)和有效評分相比，最中間的數(shù)沒有發(fā)生改變，所以中位數(shù)不改變，而極差、平均數(shù)和方差都有可能發(fā)生改變．故選：C．【點評】本題主要考查了數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，屬于基礎題．5．南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale）設計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大?。硻C構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據(jù)此圖，以下說法正確的是（）A．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量先增加后減少 B．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2022年最多 C．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增 D．2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍【考點】統(tǒng)計圖表獲取信息．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】D【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖中信息逐項判斷即可．【解答】解：對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A說法錯誤；對于B和C，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，0.96﹣0.48＝0.48，2017年，1.88﹣0.96＝0.92，2018年，2.95﹣1.88＝1.07，2019年，3.56﹣2.95＝0.61，2020年，4.15﹣3.56＝0.59，2021年，4.77﹣4.15＝0.62，2022年，5.27﹣4.77＝0.5，則知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量不是逐年遞增，故B說法錯誤，C說法錯誤；對于D，由5.27＞10×0.48，則2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故D說法正確．故選：D．【點評】本題主要考查了統(tǒng)計圖的應用，考查了學生的計算能力，屬于基礎題．6．甲、乙兩位選手在某次射擊比賽中的成績（每個成績上面點的個數(shù)表示這個成績出現(xiàn)的次數(shù)）如圖所示，則下列說法不正確的是（）A．甲成績的平均數(shù)等于乙成績的平均數(shù) B．甲成績的中位數(shù)大于乙成績的中位數(shù) C．甲成績的極差大于乙成績的極差 D．甲成績的方差小于乙成績的方差【考點】用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】D【分析】根據(jù)甲、乙兩位選手在某次射擊比賽中的成績，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差的計算方法，逐項判定，即可求解．【解答】解：由甲、乙兩位選手在某次射擊比賽中的成績，對于A中，可得甲成績的平均數(shù)為x1乙成績的平均數(shù)為x2可得x1=x2，所以甲成績的平均數(shù)等于對于B中，甲成績的中位數(shù)為9，乙成績的中位數(shù)為8.5，所以甲成績的中位數(shù)大于乙成績的中位數(shù)，所以B正確；對于C中，甲成績的極差為10﹣7＝3，乙成績的極差10﹣8＝2，所以甲成績的極差大于乙成績的極差，所以C正確；對于D中，甲成績的方差為s1乙成績的方差為s1所以甲成績的方差大于乙成績的方差，所以D錯誤．故選：D．【點評】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7．已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：x12345y66788根據(jù)上表可得回歸直線方程y?=0.6x+a?，據(jù)此可以預測當A．8.5 B．9 C．9.5 D．10【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【答案】D【分析】由已知求得樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程求解a?，再取x＝8【解答】解：x=1+2+3+4+55則樣本點的中心為（3，7），代入y?得7=0.6×3+a∴y?取x＝8時，預測y＝0.6×8+5.2＝10．故選：D．【點評】本題考查線性回歸方程及其應用，考查運算求解能力，是基礎題．8．某校運動會，一位射擊運動員10次射擊射中的環(huán)數(shù)依次為：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．則下列說法錯誤的是（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8 B．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7 C．這組數(shù)據(jù)的極差為4 D．這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為9【考點】眾數(shù)．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由平均數(shù)、眾數(shù)、方差和百分位數(shù)的計算公式分析選項，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=110（7+7+10+9+7+6+9+10+7+8）＝8對于B，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7，B正確；對于C，數(shù)據(jù)的極差為10﹣6＝4，C正確；對于D，數(shù)據(jù)從小到大排列為6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為12（9+10）＝9.5，D故選：D．【點評】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、極差的計算，涉及百分位數(shù)的計算，屬于基礎題．9．某校為了解在校學生對中國傳統(tǒng)文化的傳承認知情況，隨機抽取了100名學生進行中國傳統(tǒng)文化知識考試，并將這100名學生成績整理得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖（分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六組），下列結(jié)論中不正確的是（）A．圖中的a＝0.012 B．若從成績在[70，80），[80，90），[90，100]內(nèi)的學生中采用分層抽樣抽取10名學生，則成績在[80，90）內(nèi)的有3人 C．這100名學生成績的中位數(shù)約為65 D．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則這100名學生的平均成績約為68.2【考點】頻率分布直方圖的應用．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)分層抽樣的定義可判斷B，根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義判斷CD．【解答】解：對于A，由頻率分布直方圖可知（0.008×2+a+0.02×2+0.032）×10＝1，解得a＝0.012，所以A正確；對于B，這100名學生中成績在[70，80），[80，90），[90，100]內(nèi)的頻率分別為0.2，0.12，0.08，所以采用分層抽樣抽取的10名學生中成績在[80，90）內(nèi)的有10×0.120.4對于C，因為0.08+0.2＝0.28＜0.5，0.08+0.2+0.32＝0.6＞0.5，所以這100名學生成績的中位數(shù)在[60，70）之間，設中位數(shù)為x，則（x﹣60）×0.032＝0.22，所以x＝66.875，故C錯誤；對于D，根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得x=45×0.08+55×0.2+65×0.32+75×0.2+85×0.12+95×0.08=68.2，故D故選：C．【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了中位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎題．10．對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取抽簽法抽樣、隨機數(shù)法抽樣和分層隨機抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p2，則（）A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1 C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3【考點】抽簽法簡單隨機抽樣及其步驟．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合抽簽法抽樣、隨機數(shù)法抽樣和分層隨機抽樣的定義，即可求解．【解答】解：在抽簽法抽樣、隨機數(shù)法抽樣和分層隨機抽樣中，每個個體被抽中的概率均為p1＝p2＝p3=n故選：D．【點評】本題主要考查抽簽法抽樣、隨機數(shù)法抽樣和分層隨機抽樣的定義，屬于基礎題．二．填空題（共5小題）11．某新能源汽車4S店五月份的前8天汽車銷量（單位：輛）分別為：3，7，11，5，8，15，21，9，則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為13．【考點】百分位數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】13．【分析】結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：將數(shù)據(jù)從小到大排列得3，5，7，8，9，11，15，21，因為8×75%＝6，所以這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，即11+152故答案為：13．【點評】本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎題．12．為了研究某班學生的腳步x（單位厘米）和身高y之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為y?=4x+70．該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】方程思想；數(shù)學模型法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接把x＝24代入線性回歸方程求解．【解答】解：在回歸直線方程為y?取x＝24，解得y?故答案為：166厘米．【點評】本題考查線性回歸方程及其應用，是基礎題．13．用模型y＝aebx擬合一組數(shù)據(jù)組（xi，yi）（i＝1，2，…，9），其中y1y2?y9=e51．設z＝lny，變換后的線性回歸方程為z?=x+5，則x1【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】6．【分析】根據(jù)回歸直線方程，必過樣本點中心(x【解答】解：因為線性回歸方程為z?=x因為y1y2?y9=e51．所以ln（y即z=所以x=z-5=所以x1+x2+…+x9＝9x=9×2故答案為：6．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎題．14．某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料的質(zhì)量y（噸）的相關性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應數(shù)據(jù)（x，y），如表所示．x3456y2.534m根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y?=0.7x+0.35，則表中m的值為4.5【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】4.5．【分析】根據(jù)經(jīng)驗回歸方程y?=0.7x+0.35過樣本中心點（x，【解答】解：由題意可知，x=1因為經(jīng)驗回歸方程y?=0.7x+0.35過樣本中心點（x，所以y=0.7×4.5+0.35＝3.5所以y=14×（2.5+3+4+解得m＝4.5．故答案為：4.5．【點評】本題主要考查了經(jīng)驗回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎題．15．某校數(shù)學建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重W（單位：克）與脈搏率f（單位：心跳次數(shù)/分鐘）的對應數(shù)據(jù)（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根據(jù)生物學常識和散點圖得出f與W近似滿足f＝cWk（c，k為參數(shù)）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，計算得x=8，y=5，i=18yi2=214．由最小二乘法得經(jīng)驗回歸方程為y?=b?x+7.4，則k的值為﹣0.3【考點】決定系數(shù)與模型的擬合效果．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】﹣0.3；0.98．【分析】把x=8，y=5代入經(jīng)驗回歸方程y?=b?x+7.4，求出b?【解答】解：∵x=8，y=5，經(jīng)驗回歸方程為∴5＝8b?+∴b?=-對f＝cWk（c，k為參數(shù)）兩邊同時取對數(shù)得，lnf＝lnc+klnW，∵令xi＝lnWi，yi＝lnfi，∴k=b?由公式可知，R2≈1-0.28i=18(故答案為：﹣0.3；0.98．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，考查了決定系數(shù)R2的計算，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）16．近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應的年份代碼依次為1，2，3，4，5．（1）根據(jù)散點圖判斷，y＝a+bx和y＝c+dx2哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關于x的回歸方程；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；b?=ii=15xi2=55，i【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線．【專題】方程思想；數(shù)學模型法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】（1）y＝c+dx2適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型；（2）y?（3）估計2024年的企業(yè)利潤為99.25億元．【分析】（1）由散點圖直接得結(jié)論；（2）利用最小二乘法求出d?與c?的值，可得y關于（3）在（2）中求得回歸方程中，取x＝6求解y值即可．【解答】解：（1）由散點圖可知，y＝c+dx2適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型；（2）由題意得：x2=1d?c?∴y關于x的回歸方程為y?（3）在（2）中求得回歸方程y?令x＝6，得y?=68.65+0.85×62=99.25【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查運算求解能力，是基礎題．17．某學校舉辦一場毽球比賽．已知毽球比賽的規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．甲隊教練現(xiàn)在對甲、乙兩隊得到發(fā)球權與得分的相關性進行分析，根據(jù)以往比賽結(jié)果得到下表所示的數(shù)據(jù)：甲隊得分乙隊得分合計甲隊發(fā)球302050乙隊發(fā)球104050合計4060100（1）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)回答，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為發(fā)球權與得分有關嗎？（2）用以往頻率估計概率，且第一回合是甲隊發(fā)球，設第n回合是甲隊發(fā)球的概率為pn．（i）求數(shù)列{pn}的通項公式；（ii）設qn=3附：χ2=n(ad-bc)2(aa＝P（X2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828【考點】獨立性檢驗．【專題】對應思想；分析法；推理和證明；數(shù)學運算．【答案】（1）犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為發(fā)球權與得分有關．（2）（i）{pn}的通項公式pn（ⅱ）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進行計算即可．（2）（i）由等比數(shù)列的性質(zhì)代入求解首項和公比即可．（ii）由所給表格數(shù)據(jù)，根據(jù)（i）式代入求解即可．【解答】解：（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，χ2所以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為發(fā)球權與得分有關．（2）（i）由題意p＝1，pn所以pn即pn所以{pn-13}是以所以pn-1（ⅱ）證明：因為qn=3設h（x）＝x﹣sinx，x∈（0，1），因為h'（x）＝1﹣cosx＞0，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，顯然qn＞qn+1，則h（qn）＞h（qn+1），所以qn﹣sinqn＞qn+1﹣sinqn+1，則35(2i=1【點評】本題主要考查的是古典概型概率公式求概率，屬于復雜題．18．某公司為了解年研發(fā)資金x（單位：億元）對年產(chǎn)值y（單位：億元）的影響，對公司近8年的年研發(fā)資金xi和年產(chǎn)值yi（i∈N，1≤i≤8）的數(shù)據(jù)對比分析中，選用了兩個回歸模型，并利用最小二乘法求得相應的y關于x的經(jīng)驗回歸方程：①y?=13.05x﹣48.4；②（1）求c的值；（2）已知①中的殘差平方和S1≈3610，②中的殘差平方和S2≈658，請根據(jù)決定系數(shù)選擇擬合效果更好的經(jīng)驗回歸方程，并利用該經(jīng)驗回歸方程預測年研發(fā)資金為20億元時的年產(chǎn)值．參考數(shù)據(jù)：i=18xi=64，參考公式；刻畫回歸模型擬合效果的決定系數(shù)R2【考點】決定系數(shù)與模型的擬合效果．【專題】綜合題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】（1）﹣8.98；（2）295.02億元．【分析】（1）令u＝x2，求出(u，y（2）由公式得回歸方程②y?=0.76x【解答】解：（1）令u＝x2，則y?因為i=18又y=因為直線y?=0.76u所以56=0.76×從而c?所以c?（2）因為3610＞658，所以-3610所以1-3610i因為R2越大擬合效果越好，所以回歸方程②y?當x＝20時，y?所以頂測當年研發(fā)資金為20億元時，年產(chǎn)值大約為295.02億元．【點評】本題主要考查線性回歸方程，屬于中檔題．19．人工智能發(fā)展迅猛，在各個行業(yè)都有應用．某地圖軟件接入了大語言模型后，可以為用戶提供更個性化的服務，某用戶提出：“請統(tǒng)計我早上開車從家到公司的紅燈等待時間，并形成統(tǒng)計表．”地圖軟件就將他最近100次從家到公司的導航過程中的紅燈等待時間詳細統(tǒng)計出來，將數(shù)據(jù)分成了[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），[95，105]（單位：秒）這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求圖中a的值；（2）估計該用戶紅燈等待時間的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該用戶在接下來的10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時間低于85秒的次數(shù)．【考點】補全頻率分布直方圖．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】（1）a＝0.035；（2）79.3；（3）7次．【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1以及直方圖數(shù)據(jù)即可求解．（2）先確認頻率分布直方圖中頻率為0.5的位置，再結(jié)合中位數(shù)定義求解即可．（3）根據(jù)頻率分布直方圖求出紅燈等待時間低于85秒的頻率即可求解．【解答】解：（1）因為各組頻率之和為1，組距為10，所以10×（0.01+0.025+a+0.02+0.01）＝1，解得a＝0.035．（2）因為10×（0.01+0.025）＝0.35＜0.5，10×（0.01+0.025+0.035）＝0.7＞0.5所以中位數(shù)位于第三組[75，85）中，設中位數(shù)為x，則0.1+0.25+0.035（x﹣75）＝0.5，解得x=75+0.150.035（3）由題紅燈等待時間低于85秒的頻率為0.1+0.25+0.35＝0.7，故估計該用戶在接下來的10次中紅燈等待時間低于85秒的次數(shù)為10×0.7＝7次．【點評】本題考查頻率分布直方圖、中位數(shù)、頻率、頻數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．20．為全面貫徹黨的二十大和中央經(jīng)濟工作會議精神，落實國務院2023年重點工作分工要求，深入實施就業(yè)優(yōu)先戰(zhàn)略，多措并舉穩(wěn)定和擴大就業(yè)崗位，全力促發(fā)展惠民生，經(jīng)國務院同意，2023年職業(yè)技能等級證書補貼政策正式公布，參加失業(yè)保險1年以上的企業(yè)職工或領取失業(yè)保險金人員取得職業(yè)資格證書或職業(yè)技能等級證書的，可申請技能提升補貼，每人每年享受補貼次數(shù)最多不超過三次，政策實施期限截至2023年12月31日．某機構(gòu)從本市眾多申報人員中隨機抽取200人進行統(tǒng)計，得到他們的首次補貼金額的統(tǒng)計表（如下）：2000元以下不低于2000元合計男8020100女7030100合計15050200（1）根據(jù)上述2×2列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認為首次補貼金額超過2000元與性別有關？（2）從補貼金額不低于2000元的樣本中按照分層抽樣的方法隨機抽取5人進行職業(yè)分析，再從這5人中隨機抽取2人進行年收入評估，求抽取的2人都是女性的概率．附：K2P（K2≥k0）0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828【考點】獨立性檢驗；古典概型及其概率計算公式．【專題】計算題；對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】（1）沒有90%的把握認為首次補貼金額超過2000元與性別有關；（2）0.3．【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)計算K2，與臨界值比較即可得解；（2）由抽樣比例分別求出男性和女性的人數(shù)，列舉出基本事件，由古典概型即可得解．【解答】解：（1）K2所以沒有90%的把握認為首次補貼金額超過2000元與性別有關；（2）由題意知，按照分層抽樣隨機抽取5人中，男性有20×550=2（人），記為女性有30×550=3（人），記為A，從a，b，A，B，C中隨機抽取2人的所有基本事件有（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10種，其中，2人都是女性的事件有（A，B），（A，C），（B，C），共3種，所以抽取的2人都是女性的概率為310【點評】本題主要考查獨立性檢驗，古典概型概率公式，考查運算求解能力，屬于中檔題．

考點卡片1．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．抽簽法簡單隨機抽樣及其步驟抽簽法簡單隨機抽樣及其步驟3．補全頻率分布直方圖補全頻率分布直方圖4．頻率分布直方圖的應用頻率分布直方圖的應用5．統(tǒng)計圖表獲取信息【知識點的認識】統(tǒng)計圖表反映了被描述對象的重要內(nèi)容和數(shù)據(jù)情況，它簡單明了，有利于我們把握數(shù)據(jù)的特點，統(tǒng)計圖還能直觀、生動地傳遞信息．【解題方法點撥】由統(tǒng)計圖表獲取信息的步驟：一、看統(tǒng)計圖表特征；二、讀統(tǒng)計圖表數(shù)據(jù)信息并進行分析；三、尋找出統(tǒng)計圖表中數(shù)據(jù)的變化趨勢或規(guī)律；四、對統(tǒng)計圖表的數(shù)據(jù)與信息作分析、推測，為對解決問題作出合理的判斷提供依據(jù)．注意：①要避免統(tǒng)計圖的誤導，首先要仔細觀察統(tǒng)計圖，其次要關注數(shù)據(jù)的來源、收集方式及描述形式，這樣才能獲得準確的信息；②對數(shù)據(jù)的收集、整理等一定要重視它的普遍性、代表性、公正性，不能以點帶面，以偏概全，夸大局部的作用．【命題方向】能正確解讀統(tǒng)計圖表，從中獲取必要、準確的信息，并進站簡單的決策；處理生活中常見的不規(guī)范統(tǒng)計圖帶來的錯誤信息，提高對統(tǒng)計圖表的認識能力．6．用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)【知識點的認識】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應用最為廣泛．（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即x=2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點【解題方法點撥】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的選取：（1）平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況；（2）中位數(shù)不受極端值影響，有時用它代表全體數(shù)據(jù)的中等水平（或一般水平）；（3）眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的集中情況（即多數(shù)水平）．根據(jù)頻率分布直方圖估算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：（1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點的橫坐標就是眾數(shù)．（2）中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可以估計中位數(shù)的值．（3）平均數(shù)：是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點．平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積（即落在該組中的頻率）乘以小矩形底