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2025屆高中畢業(yè)班11月聯(lián)考數(shù)學(xué)(全卷滿分150分,考試時間120分鐘)注意事項:1.答題前,考生務(wù)必將學(xué)校、班級、姓名、考號填寫在答題卡上.2.考生請在答題卡上作答(答題注意事項見答題卡),在本試題上作答無效.一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知集合,,則等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解絕對值不等式得B,再根據(jù)交集的概念運算即可.【詳解】由得,所以,故.故選:B2.若,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè),,利用復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)相等的概念求出,再利用復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】設(shè),,則,所以,解得,所以,.故選:D.3.設(shè),向量,,則是的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用是否推出關(guān)系來判斷充要關(guān)系即可.【詳解】當時,向量,,此時有,所以,故是充分條件;當時,,解得,故不是必要條件;所以是的充分不必要條件,故選:B.4.已知焦點在軸上的橢圓的焦距為2,則其離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出,再根據(jù)橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】因為焦點在軸上的橢圓的焦距為2,所以,解得,所以橢圓的離心率.故選:B.5.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,若定義,則函數(shù),在區(qū)間內(nèi)的圖象是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知,利用求出,再根據(jù)題給定義,化簡求出的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷,即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意,的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,所以的周期為,則,所以,由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象,以及正弦函數(shù)的圖象,解題關(guān)鍵是對新定義的理解.6.如圖甲,在邊長為4的正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點,將,,分別沿DE,EF,DF折起,使得A,B,C三點重合于點,如圖乙,若三棱錐的所有頂點均在球O的球面上,則球O的體積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將三棱錐補成一個長方體,由三棱錐的外接球即為長方體的外接球求解.【詳解】解:由題意可得,,,且,,,所以三棱錐可補成一個長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,如圖所示:設(shè)長方體的外接球的半徑為R,可得,所以外接球的體積為.故選:D.7.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān),如圖是一個三角垛,最頂層有1個小球,第二層有3個,第三層有6個,第四層有10個,,設(shè)第層有個球,則的值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得,用累加法求得,從而得,再利用裂項相消法求解即可.【詳解】由題意可得,,,,,于是有,所以,,,,,,將以上個式子相加,得,所以,所以.故選:D.8.已知函數(shù),若,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù),得到,表示出,再借助導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.【詳解】∵,,∴,令,∴在上單調(diào)遞增,∴,即,∴,令,則,當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增;∴當時,函數(shù)取得最小值,即,∴,故選:B.二、多選題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.關(guān)于空間向量,以下說法正確的是()A.若直線l的方向向量為,平面的一個法向量為,則B若空間中任意一點O,有,則四點共面C.若空間向量,滿足,則與夾角為鈍角D.若空間向量,,則在上的投影向量為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意,由平面法向量的定義分析A,由空間向量基本定理分析B,由向量平行的性質(zhì)分析C,由投影向量分析D.【詳解】對于A:若直線的方向向量為,平面的一個法向量為,易得,即,則有,A正確;對于B:在中,由于,故四點共面,B正確;對于C:當,反向共線時,也成立,但與夾角不為鈍角,C錯誤;對于D,在上的投影向量為,D正確.故選:ABD.10.下列說法中,正確的是()A.若,則B.已知隨機變量服從正態(tài)分布;則C.已知兩個變量具有線性相關(guān)類系,其回歸直線方程為;若,則D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2,則數(shù)據(jù)的方差為4【答案】BC【解析】【分析】利用條件概率公式判斷A;利用正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B;利用回歸方程的性質(zhì)判斷C;利用數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】對于選項A:因為,則,所以,故A錯誤;對于選項B:因為隨機變量服從正態(tài)分布,,所以,故B正確,對于選項C:因為,所以,將代入中,得到,解得,故C正確,對于選項D:因為樣本數(shù)據(jù)的方差為,所以數(shù)據(jù)的方差為,故D錯誤.故選:BC.11.如圖,邊長為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直,動點分別在正方形對角線和上移動,且,則下列結(jié)論中正確的有()A.,使B.線段存在最小值,最小值為C.直線與平面所成的角恒為45°D.,都存在過且與平面平行的平面【答案】AD【解析】【分析】利用向量的線性運算可得,結(jié)合向量的模的計算可判斷B的正誤,結(jié)合向量夾角的計算可判斷C的正誤,結(jié)合共面向量可判斷D的正誤.【詳解】因為四邊形正方形,故,而平面平面,平面平面,平面,故平面,而平面,故.設(shè),則,其中,由題設(shè)可得,,對于A,當即時,,故A正確;對于B,,故,當且僅當即時等號成立,故,故B錯誤;對于C,由B的分析可得,而平面的法向量為且,故,此值不是常數(shù),故直線與平面所成角不恒為定值,故C錯誤;對于D,由B的分析可得,故為共面向量,而平面,故平面,故D正確;故選:AD三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)12.已知,,則____________.【答案】【解析】【分析】利用同角的正弦余弦的平方和為1可求得,進而利用兩角和的余弦公式即可求值.【詳解】因為,,所以,所以.故答案為:.13.已知甲盒中有3個白球,2個黑球;乙盒中有1個白球,2個黑球.若從這8個球中隨機選取一球,該球是白球的概率是______;若從甲、乙兩盒中任取一盒,然后從所取到的盒中任取一球,則取到的球是白球的概率是______.【答案】①.12##②.【解析】【分析】根據(jù)古典概型的計算公式及全概率的計算公式直接得解.【詳解】根據(jù)題意,從這個8個球中隨機選取一球,該球是白球的概率是;設(shè)“取出甲盒”為事件,“取出乙盒”為事件,“取到的球是白球”為事件,則.所以從甲、乙兩盒中任取一盒,然后從所取到的盒中任取一球,則取到的球是白球的概率是.故答案為:;.14.已知橢圓的長軸長和短軸長分別等于雙曲線的焦距和虛軸長,在橢圓上任取一點P,過點P作圓的兩條切線PM,PN.切點分別為M,N,則的最小值為______.【答案】0【解析】【分析】由已知可求得橢圓方程為,利用兩點間的距離可求得,設(shè),得,換元,利用函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意,橢圓的長軸長和短軸長分別等于雙曲線的焦距和虛軸長,故,,所以橢圓方程為.設(shè)點Px,y,則,可得,由圓,可得圓心,,∵,則,不妨設(shè),則,令,,則,由對勾函數(shù)性質(zhì)可知,在遞增,故,此時,故的最小值為0.故答案為:0.【點睛】關(guān)鍵點點睛:重點利用向量數(shù)量積的最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,通過構(gòu)造函數(shù)的方法求最值,通過換元將幾何問題代數(shù)化,利用函數(shù)單調(diào)性進行最值分析,充分展示了數(shù)學(xué)中的抽象與簡化技巧.四、解答題(本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)15.在中,角,,的對邊分別為,,,已知.(1)求;(2)若,,為的中點,求.【答案】(1)1(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角化,結(jié)合和差角公式即可求解,(2)根據(jù)余弦定理可得,進而根據(jù)向量的模長公式即可求解.【小問1詳解】因為,由正弦定理得,中,,則有,,,又,,,,【小問2詳解】根據(jù)余弦定理有,則有,解得或(舍去),為的中點,則,,.16.如圖,三棱柱中,四邊形均為正方形,分別是棱的中點,為上一點.(1)證明:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)連接,則有平面平面,可得平面;(2)建立空間直角坐標系,利用空間向量進行計算即可.【小問1詳解】連接.因為,且,又分別是棱的中點,所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面平面,所以平面,因為,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面平面,所以平面,因為平面,所以平面平面,因為平面,所以平面.【小問2詳解】四邊形均為正方形,所以.所以平面.因為,所以平面.從而.又,所以為等邊三角形.因為是棱的中點,所以.即兩兩垂直.以為原點,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè),則,所以.設(shè)n=x,y,z為平面的法向量,則,即,可取.因為,所以.設(shè)直線與平面所成角為,則,即直線與平面所成角正弦值為.17.已知函數(shù).(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)當時,若函數(shù)有最小值2,求a的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得答案;(2)對求導(dǎo),得到的單調(diào)性,可得,再令,證得,即,可得出答案.【小問1詳解】當時,,的定義域為,則,則,,由于函數(shù)在點處切線方程為,即.【小問2詳解】的定義域為,,當時,令,解得:;令,解得:,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,,即則令,設(shè),,令,解得:;令,解得:,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以,解得:.18.已知橢圓C:,若橢圓的焦距為4且經(jīng)過點,過點的直線交橢圓于P,Q兩點.(1)求橢圓方程;(2)求面積的最大值,并求此時直線的方程;(3)若直線與x軸不垂直,在x軸上是否存在點使得恒成立?若存在,求出s的值;若不存在,說明理由.【答案】(1)(2)面積最大值為,直線或(3)存在,【解析】【分析】(1)由焦距是4求出,將代入橢圓方程求出,得到答案;(2)根據(jù)題意設(shè)直線,與橢圓方程聯(lián)立可得,由,代入運算化簡,利用不等式求出面積的最大值;(3)根據(jù)題意有,轉(zhuǎn)化為,由第二問代入運算得解.【小問1詳解】由題意,,將點代入橢圓方程得,解得,,所以橢圓的方程為.【小問2詳解】根據(jù)題意知直線的斜率不為0,設(shè)直線,Px1,y1聯(lián)立,消去整理得,,,且,,令,,,當且僅當,即,即時,等號成立,所以面積的最大值為,此時直線的方程為或.【小問3詳解】軸上存在點使得,理由如下:因為,所以,即,整理得,即,即,則,又,解得,所以在軸上存在點使得.19.某校開展科普知識團隊接力闖關(guān)活動,該活動共有兩關(guān),每個團隊由位成員組成,成員按預(yù)先安排的順序依次上場,具體規(guī)則如下:若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功,則該成員繼續(xù)闖第二關(guān),否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān);若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功,則該團隊接力闖關(guān)活動結(jié)束,否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān);當?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場參加了闖關(guān),該團隊接力闖關(guān)活動結(jié)束.已知A團隊每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率均為,且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響,每關(guān)結(jié)果也互不影響.(1)用隨機變量X表示A團隊第位成員的闖關(guān)數(shù),求X的分布列;(2)已知A團隊第位成員上場并闖過第二關(guān),求恰好是第3位成員闖過第一關(guān)的概率;(3)記隨機變量表示A團隊第位成員上場并結(jié)束闖關(guān)活動,證明單調(diào)遞增,并求使的n的最大值.【答案】(1)分布列見解析;(2);(3)證明見解析,最大值為5.【解析】【分析】(1)求出對應(yīng)隨機變量的概率,列出分布列即可;(2)根據(jù)條件概率的公式,計算即可得解;(3)求出,再得出期望,作差證明單調(diào)性,利用錯位相減法求出,根據(jù)單調(diào)性解不等式得解.【小問1詳解】X的所有可能取值為0,1,2,,,,的分布列如下:X012P
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